Teorema de Hartogs sobre holomorficidade separada - Hartogs's theorem on separate holomorphicity

Em matemática , o teorema de Hartogs é um resultado fundamental de Friedrich Hartogs na teoria de várias variáveis ​​complexas . Grosso modo, afirma que uma função "analítica separadamente" é contínua. Mais precisamente, se é uma função que é analítica em cada variável z _i , 1 ≤ i ≤ n , enquanto as outras variáveis ​​são mantidas constantes, então F é uma função contínua . ${\ displaystyle F: {\ textbf {C}} ^ {n} \ to {\ textbf {C}}}$

Um corolário é que a função F é, então, de fato, uma função analítica no sentido de n- variável (isto é, que localmente tem uma expansão de Taylor ). Portanto, 'analiticidade separada' e 'analiticidade' são noções coincidentes, na teoria de várias variáveis ​​complexas.

Começando com a hipótese extra de que a função é contínua (ou limitada), o teorema é muito mais fácil de provar e nesta forma é conhecido como lema de Osgood .

Não existe um análogo deste teorema para variáveis reais . Se assumirmos que uma função é diferenciável (ou mesmo analítica ) em cada variável separadamente, não é verdade que será necessariamente contínua. Um contra-exemplo em duas dimensões é dado por ${\ displaystyle f \ dois pontos {\ textbf {R}} ^ {n} \ to {\ textbf {R}}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Se, além disso, definimos , esta função foi bem definida derivadas parciais em e na origem, mas isso não é contínua na origem. (Na verdade, os limites ao longo das linhas e não são iguais, portanto, não há como estender a definição de para incluir a origem e ter a função contínua lá.) ${\ displaystyle f (0,0) = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle x = -y}$${\ displaystyle f}$

Referências

• Steven G. Krantz . Teoria da Função de Várias Variáveis ​​Complexas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

links externos

• "Teorema de Hartogs" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity

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