Órbita de transferência de Hohmann - Hohmann transfer orbit

A órbita de transferência de Hohmann, marcada como 2, de uma órbita (1) para uma órbita superior (3)

Um exemplo de uma órbita de transferência Hohmann entre a Terra e Marte, usada pela sonda InSight da NASA .
Hohmann · Terra · Marte

Em mecânica orbital , a órbita de transferência Hohmann ( / h oʊ m ə n / ) é uma órbita elíptica utilizado para transferência entre duas órbitas circulares de raios diferentes em torno de um corpo central no mesmo plano . A transferência Hohmann freqüentemente usa a menor quantidade possível de propelente ao viajar entre essas órbitas, mas as transferências bi-elípticas podem usar menos em alguns casos.

A manobra orbital para realizar a transferência de Hohmann usa dois impulsos do motor, um para mover uma espaçonave para a órbita de transferência e um segundo para sair dela. Esta manobra foi batizada em homenagem a Walter Hohmann , o cientista alemão que publicou uma descrição dela em seu livro de 1925 Die Erreichbarkeit der Himmelskörper ( The Attainability of Celestial Bodies ). Hohmann foi influenciado em parte pelo autor alemão de ficção científica Kurd Lasswitz e seu livro de 1897, Dois Planetas .

As órbitas de transferência elíptica entre diferentes corpos (planetas, luas, etc.) são freqüentemente chamadas de órbitas de transferência de Hohmann. Quando usada para viajar entre corpos celestes, uma órbita de transferência Hohmann requer que os pontos de partida e de destino estejam em locais específicos em suas órbitas, um em relação ao outro. As missões espaciais usando uma transferência Hohmann devem esperar que esse alinhamento necessário ocorra, o que abre uma chamada janela de lançamento . Para uma missão espacial entre a Terra e Marte , por exemplo, essas janelas de lançamento ocorrem a cada 26 meses. Uma órbita de transferência Hohmann também determina um tempo fixo necessário para viajar entre os pontos de partida e de destino; para uma viagem Terra-Marte, o tempo de viagem é de cerca de 9 meses. Quando a transferência é realizada entre órbitas próximas a corpos celestes com gravitação significativa, muito menos delta-v é normalmente necessário, já que o efeito Oberth pode ser empregado para as queimaduras.

Eles também são freqüentemente usados para essas situações, mas as transferências de baixa energia que levam em consideração as limitações de empuxo dos motores reais e tiram proveito dos poços de gravidade de ambos os planetas podem ser mais eficientes em termos de combustível.

Explicação

O diagrama mostra uma órbita de transferência de Hohmann para trazer uma espaçonave de uma órbita circular inferior para uma superior. É a metade de uma órbita elíptica que toca a órbita circular inferior que a espaçonave deseja deixar (verde e marcada com 1 no diagrama) e a órbita circular superior que deseja alcançar (vermelha e marcada com 3 no diagrama). A transferência (amarela e marcada com 2 no diagrama) é iniciada disparando o motor da espaçonave para acelerá-la de forma que ela siga a órbita elíptica. Isso adiciona energia à órbita da espaçonave. Quando a espaçonave atinge sua órbita de destino, sua velocidade orbital (e, portanto, sua energia orbital) deve ser aumentada novamente para mudar a órbita elíptica para uma circular maior.

Devido à reversibilidade das órbitas , as órbitas de transferência Hohmann também funcionam para trazer uma espaçonave de uma órbita superior para uma inferior; neste caso, o motor da espaçonave é acionado na direção oposta ao seu caminho atual, desacelerando a espaçonave e fazendo com que ela caia na órbita de transferência elíptica de baixa energia. O motor é então acionado novamente na distância inferior para desacelerar a espaçonave na órbita circular inferior.

A órbita de transferência de Hohmann é baseada em duas mudanças instantâneas de velocidade. É necessário combustível extra para compensar o fato de que as explosões demoram; isso é minimizado pelo uso de motores de alto empuxo para minimizar a duração das explosões. Para transferências na órbita da Terra, as duas queimaduras são rotuladas como a queima do perigeu e a queima do apogeu (ou ' ' pontapé de apogeu); de modo mais geral, são rotulados de queimaduras de periapsia e apoapsis . Alternativamente, a segunda queima para circularizar a órbita pode ser referida como uma queima de circularização .

Tipo I e Tipo II

Uma órbita de transferência Hohmann ideal se transfere entre duas órbitas circulares no mesmo plano e atravessa exatamente 180 ° em torno do primário. No mundo real, a órbita de destino pode não ser circular e pode não ser coplanar com a órbita inicial. As órbitas de transferência do mundo real podem atravessar um pouco mais, ou um pouco menos, do que 180 ° em torno do primário. Uma órbita que atravessa menos de 180 ° ao redor do primário é chamada de transferência Hohmann "Tipo I", enquanto uma órbita que atravessa mais de 180 ° é chamada de transferência Hohmann "Tipo II".

As órbitas de transferência podem ter mais de 360 ° em torno do sol. Essas transferências de múltiplas revoluções às vezes são chamadas de Tipo III e Tipo IV, onde um Tipo III é um Tipo I mais 360 ° e um Tipo IV é um Tipo II mais 360 °.

Usos

Uma órbita de transferência Hohmann pode ser usada para transferir a órbita de qualquer objeto em direção a outro objeto, desde que eles compartilhem um corpo maior comum ao redor do qual orbitam. No contexto da Terra e do Sistema Solar , isso inclui qualquer objeto que orbita o sol . Um exemplo de onde uma órbita de transferência de Hohmann poderia ser usada é colocar um asteróide, orbitando o Sol, em contato com a Terra.

Cálculo

Para um corpo pequeno orbitando outro corpo muito maior, como um satélite orbitando a Terra, a energia total do corpo menor é a soma de sua energia cinética e energia potencial , e essa energia total também é igual a metade do potencial na distância média (o semi-eixo maior ): ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle E = {\ frac {mv ^ {2}} {2}} - {\ frac {GMm} {r}} = {\ frac {-GMm} {2a}}.}

Resolver esta equação para resultados de velocidade na equação vis-viva ,

{\ displaystyle v ^ {2} = \ mu \ left ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ right),}

Onde:

${\ displaystyle v}$ é a velocidade de um corpo orbital,
${\ displaystyle \ mu = GM}$ é o parâmetro gravitacional padrão do corpo primário, assumindo que não seja significativamente maior do que (o que faz ), (para a terra, isso é μ ~ 3,986E14 m ³ s ⁻² ) ${\ displaystyle M + m}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle v_ {M} \ ll v}$
${\ displaystyle r}$ é a distância do corpo orbital do foco principal,
${\ displaystyle a}$ é o semi-eixo maior da órbita do corpo.

Portanto, o delta- v (Δv) necessário para a transferência de Hohmann pode ser calculado da seguinte forma, sob a suposição de impulsos instantâneos:

{\ displaystyle \ Delta v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {1}}}} \ left ({\ sqrt {\ frac {2r_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}}} - 1 \ direita),}

para entrar na órbita elíptica a partir da órbita circular, e ${\ displaystyle r = r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$

{\ displaystyle \ Delta v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {2}}}} \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {2r_ {1}} {r_ {1} + r_ {2}}}} \ right),}

deixar a órbita elíptica para a órbita circular, onde e são respectivamente os raios das órbitas circulares de partida e chegada; o menor (maior) de e corresponde à distância periapsia ( distância apoapsis ) da órbita de transferência elíptica de Hohmann. Normalmente, é dado em unidades de m ³ / s ² , como tal, certifique-se de usar metros, não quilômetros, para e . O total é então: ${\ displaystyle r = r_ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta v}$

{\ displaystyle \ Delta v _ {\ text {total}} = \ Delta v_ {1} + \ Delta v_ {2}.}

Quer se movendo para uma órbita superior ou inferior, pela terceira lei de Kepler , o tempo necessário para a transferência entre as órbitas é

{\ displaystyle t _ {\ text {H}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi ^ {2} a _ {\ text {H}} ^ {3}} { \ mu}}} = \ pi {\ sqrt {\ frac {(r_ {1} + r_ {2}) ^ {3}} {8 \ mu}}}}

(metade do período orbital para toda a elipse), onde é o comprimento do semi-eixo maior da órbita de transferência de Hohmann. ${\ displaystyle a _ {\ text {H}}}$

Para viajar de um corpo celeste para outro, é crucial iniciar a manobra no momento em que os dois corpos estão devidamente alinhados. Considerando que a velocidade angular alvo é

{\ displaystyle \ omega _ {2} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {2} ^ {3}}}},}

alinhamento angular α (em radianos ) no momento do início entre o objeto de origem e o objeto de destino deve ser

{\ displaystyle \ alpha = \ pi - \ omega _ {2} t _ {\ text {H}} = \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} + 1 \ right) ^ {3}}} \ right).}

Exemplo

Balanço de energia total durante uma transferência de Hohmann entre duas órbitas circulares com primeiro e segundo raios

{\ displaystyle r_ {p}}

{\ displaystyle r_ {a}}

Considere uma órbita de transferência geoestacionária , começando em r ₁ = 6.678 km (altitude 300 km) e terminando em uma órbita geoestacionária com r ₂ = 42.164 km (altitude 35.786 km).

Na órbita circular menor, a velocidade é de 7,73 km / s; no maior, 3,07 km / s. Na órbita elíptica intermediária, a velocidade varia de 10,15 km / s no perigeu a 1,61 km / s no apogeu.

Portanto, o Δv para a primeira queima é 10,15 - 7,73 = 2,42 km / s, para a segunda queima 3,07 - 1,61 = 1,46 km / s, e para ambas juntas 3,88 km / s.

Isso é maior do que o Δv necessário para uma órbita de escape : 10,93 - 7,73 = 3,20 km / s. Aplicar um Δv na órbita da Terra Baixa (LEO) de apenas 0,78 km / s a mais (3,20-2,42) daria ao foguete a velocidade de escape , que é menor do que o Δv de 1,46 km / s necessário para circular a órbita geossíncrona. Isso ilustra o efeito Oberth que em grandes velocidades o mesmo Δv fornece energia orbital mais específica , e o aumento de energia é maximizado se alguém gastar o Δv o mais rápido possível, ao invés de gastar um pouco, sendo desacelerado pela gravidade, e então gastar um pouco mais para superar a desaceleração (é claro, o objetivo de uma órbita de transferência de Hohmann é diferente).

Pior caso, delta- v máximo

Como o exemplo acima demonstra, a Δ v necessário para executar uma transferência Hohmann entre duas órbitas circulares não é o maior quando o raio de destino é infinito. (A velocidade de escape é √ 2 vezes a velocidade orbital, então o Δv necessário para escapar é √ 2 - 1 (41,4%) da velocidade orbital.) O Δv necessário é maior (53,0% da velocidade orbital menor) quando o raio do maior a órbita é 15,5817 ... vezes a da órbita menor. Este número é a raiz positiva de x ³ - 15 x ² - 9 x - 1 = 0, que é . Por razões de órbita mais elevada do Δ v necessário para a segunda queima diminui mais rapidamente do que os primeiros aumenta. ${\ displaystyle 5 + 4 \, {\ sqrt {7}} \ cos \ left ({1 \ over 3} \ arctan {{\ sqrt {3}} \ over 37} \ right)}$

Aplicativo para viagens interplanetárias

Quando usado para mover uma espaçonave orbitando um planeta para orbitando outro, a situação se torna um pouco mais complexa, mas é necessário muito menos delta- v , devido ao efeito Oberth , do que a soma do delta- v necessária para escapar do primeiro planeta mais o delta- v necessário para uma transferência de Hohmann para o segundo planeta.

Por exemplo, considere uma espaçonave viajando da Terra a Marte . No início de sua jornada, a espaçonave já terá uma certa velocidade e energia cinética associada à sua órbita ao redor da Terra. Durante a queima, o motor do foguete aplica seu delta- v , mas a energia cinética aumenta como uma lei quadrada, até que seja suficiente para escapar do potencial gravitacional do planeta , e então queima mais para ganhar energia suficiente para entrar na órbita de transferência de Hohmann (em torno do Sol ). Como o motor de foguete é capaz de fazer uso da energia cinética inicial do propelente, muito menos delta- v é necessário além do necessário para atingir a velocidade de escape, e a situação ideal é quando a queima de transferência é feita na altitude mínima ( periapsia baixa ) acima do planeta. O delta- v necessário é de apenas 3,6 km / s, apenas cerca de 0,4 km / s a mais do que o necessário para escapar da Terra, embora isso resulte na espaçonave indo 2,9 km / s mais rápido do que a Terra enquanto se dirige para Marte (ver tabela abaixo).

Na outra extremidade, a espaçonave precisará de uma certa velocidade para orbitar Marte, que na verdade será menor do que a velocidade necessária para continuar orbitando o Sol na órbita de transferência, quanto mais tentando orbitar o Sol em uma órbita semelhante à de Marte. Portanto, a espaçonave terá que desacelerar para que a gravidade de Marte possa capturá-la. Esta captura de queima deve ser idealmente feita em baixa altitude para também fazer o melhor uso do efeito Oberth. Portanto, quantidades relativamente pequenas de empuxo em cada extremidade da viagem são necessárias para organizar a transferência em comparação com a situação de espaço livre.

No entanto, com qualquer transferência de Hohmann, o alinhamento dos dois planetas em suas órbitas é crucial - o planeta de destino e a espaçonave devem chegar ao mesmo ponto em suas respectivas órbitas ao redor do Sol ao mesmo tempo. Esse requisito de alinhamento dá origem ao conceito de janelas de lançamento .

O termo órbita de transferência lunar (LTO) é usado para a lua .

É possível aplicar a fórmula dada acima para calcular o Δv em km / s necessário para entrar em uma órbita de transferência de Hohmann para chegar a vários destinos da Terra (assumindo órbitas circulares para os planetas). Nesta tabela, a coluna rotulada "Δv para entrar na órbita de Hohmann a partir da órbita da Terra" fornece a mudança da velocidade da Terra para a velocidade necessária para chegar a uma elipse de Hohmann cuja outra extremidade estará na distância desejada do sol. A coluna rotulada "v saindo do LEO" fornece a velocidade necessária (em um referencial não rotativo centrado na Terra) quando 300 km acima da superfície da Terra. Isso é obtido adicionando à energia cinética específica o quadrado da velocidade (7,73 km / s) dessa órbita baixa da Terra (ou seja, a profundidade do poço gravitacional da Terra neste LEO). A coluna "Δv de LEO" é simplesmente a velocidade anterior menos 7,73 km / s.

Destino	Raio orbital ( AU )	Δv (km / s)
Destino	Raio orbital ( AU )	para entrar na órbita Hohmann da órbita da Terra	saindo do LEO	de LEO
sol	0	29,8	31,7	24,0
Mercúrio	0,39	7,5	13,3	5,5
Vênus	0,72	2,5	11,2	3,5
Marte	1,52	2,9	11,3	3,6
Júpiter	5,2	8,8	14,0	6,3
Saturno	9,54	10,3	15.0	7,3
Urano	19,19	11,3	15,7	8,0
Netuno	30,07	11,7	16,0	8,2
Plutão	39,48	11,8	16,1	8,4
Infinidade	∞	12,3	16,5	8,8

Observe que, na maioria dos casos, Δ v de LEO é menor que Δ v para entrar na órbita de Hohmann a partir da órbita da Terra.

Para chegar ao Sol, na verdade não é necessário usar um Δ v de 24 km / s. Pode-se usar 8,8 km / s para se afastar muito do Sol, então usar um Δ v desprezível para trazer o momento angular a zero e, em seguida, cair no sol. Isso pode ser considerado uma sequência de duas transferências Hohmann, uma para cima e outra para baixo. Além disso, a tabela não fornece os valores que se aplicariam ao usar a Lua como auxílio da gravidade . Também há possibilidades de usar um planeta, como Vênus, que é o mais fácil de chegar, para ajudar a chegar a outros planetas ou ao sol.

Comparação com outras transferências

Transferência bi-elíptica

A transferência bi-elíptica consiste em duas órbitas semi- elípticas . A partir da órbita inicial, uma primeira queima gasta delta-v para impulsionar a espaçonave para a primeira órbita de transferência com uma apoapsis em algum ponto distante do corpo central . Neste ponto, uma segunda queima envia a espaçonave para a segunda órbita elíptica com periapsia no raio da órbita final desejada, onde uma terceira queima é realizada, injetando a espaçonave na órbita desejada. ${\ displaystyle r_ {b}}$

Embora exijam mais uma queima do motor do que uma transferência Hohmann e geralmente exijam um tempo de viagem maior, algumas transferências bi-elípticas requerem uma quantidade menor de delta-v total do que uma transferência Hohmann quando a razão entre o semieixo principal final e inicial é 11,94 ou maior, dependendo do semi-eixo maior intermediário escolhido.

A ideia da trajetória de transferência bi-elíptica foi publicada pela primeira vez por Ary Sternfeld em 1934.

Transferência de baixo empuxo

Os motores de baixo empuxo podem realizar uma aproximação de uma órbita de transferência de Hohmann, criando uma ampliação gradual da órbita circular inicial por meio de acionamentos de motor cuidadosamente cronometrados. Isso requer uma mudança na velocidade (delta- v ) que é maior do que a órbita de transferência de dois impulsos e leva mais tempo para ser concluída.

Motores como propulsores de íons são mais difíceis de analisar com o modelo delta- v . Esses motores oferecem um empuxo muito baixo e, ao mesmo tempo, um orçamento delta- v muito mais alto, um impulso específico muito mais alto , menor massa de combustível e motor. Uma manobra de transferência Hohmann de 2 queimadas seria impraticável com um impulso tão baixo; a manobra otimiza principalmente o uso de combustível, mas nesta situação é relativamente abundante.

Se apenas manobras de baixo empuxo forem planejadas em uma missão, então disparar continuamente um motor de baixo empuxo, mas de eficiência muito alta, pode gerar um delta- v mais alto e, ao mesmo tempo, usar menos propelente do que um motor de foguete químico convencional.

Ir de uma órbita circular para outra mudando gradualmente o raio simplesmente requer o mesmo delta- v que a diferença entre as duas velocidades. Tal manobra requer mais delta- v do que uma manobra de transferência Hohmann de 2 queima, mas o faz com baixo empuxo contínuo ao invés de aplicações curtas de empuxo alto.

A quantidade de massa propulsora usada mede a eficiência da manobra mais o hardware empregado para ela. O total de delta- v medidas utilizadas a eficiência de apenas a manobra. Para sistemas de propulsão elétrica , que tendem a ser de baixo empuxo, a alta eficiência do sistema de propulsão geralmente compensa o delta-V mais alto em comparação com a manobra de Hohmann mais eficiente.

As órbitas de transferência usando propulsão elétrica ou motores de baixo empuxo otimizam o tempo de transferência para alcançar a órbita final e não o delta-v como na órbita de transferência de Hohmann. Para a órbita geoestacionária, a órbita inicial é configurada para ser supersíncrona e impulsionando continuamente na direção da velocidade no apogeu, a órbita de transferência se transforma em uma órbita circular geossíncrona. Este método, entretanto, leva muito mais tempo para ser alcançado devido ao baixo empuxo injetado na órbita.

Rede de Transporte Interplanetário

Em 1997, um conjunto de órbitas conhecido como Rede de Transporte Interplanetário (ITN) foi publicado, fornecendo delta- v propulsivo ainda mais baixo (embora muito mais lento e mais longo) caminhos entre órbitas diferentes do que as órbitas de transferência de Hohmann. A Rede de Transporte Interplanetário é diferente na natureza das transferências de Hohmann porque as transferências de Hohmann assumem apenas um grande corpo, enquanto a Rede de Transporte Interplanetário não. A Rede de Transporte Interplanetário é capaz de alcançar o uso de delta- v menos propulsivo , empregando a ajuda da gravidade dos planetas.

Veja também

Citações

Fontes

Walter Hohmann (1925). Die Erreichbarkeit der Himmelskörper . Verlag Oldenbourg em Munique. ISBN 3-486-23106-5.
Thornton, Stephen T .; Marion, Jerry B. (2003). Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas (5ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-534-40896-6.
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Vallado, DA (2001). Fundamentos de Astrodinâmica e Aplicações (2ª ed.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
Battin, RH (1999). Uma introdução à matemática e métodos da astrodinâmica . Instituto Americano de Aeronáutica e Ast, Washington, DC. ISBN 978-1-56347-342-5.

links externos

"Mecânica Orbital" . Foguete e Tecnologia Espacial . Robert A. Braeunig. Arquivado do original em 04/02/2012 . Página visitada em 2005-08-17 .
"4. Trajetórias Interplanetárias" . Noções básicas de voo espacial . JPL: NASA .

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