Lema de Itô - Itô's lemma

Em matemática , o lema de Itô é uma identidade usada no cálculo de Itô para encontrar o diferencial de uma função dependente do tempo de um processo estocástico . Ele serve como a contraparte do cálculo estocástico da regra da cadeia . Ele pode ser derivado heuristicamente formando a expansão da série de Taylor da função até suas segundas derivadas e retendo os termos até a primeira ordem no incremento de tempo e a segunda ordem no incremento do processo de Wiener . O lema é amplamente empregado em finanças matemáticas e sua aplicação mais conhecida é a derivação da equação de Black-Scholes para valores de opções.

Derivação informal

Uma prova formal do lema depende de tirar o limite de uma sequência de variáveis ​​aleatórias. Essa abordagem não é apresentada aqui, pois envolve uma série de detalhes técnicos. Em vez disso, damos um esboço de como derivar o lema de Itô expandindo uma série de Taylor e aplicando as regras do cálculo estocástico.

Suponha que X _t seja um processo de difusão-deriva de Itô que satisfaça a equação diferencial estocástica

${\ displaystyle dX_ {t} = \ mu _ {t} \, dt + \ sigma _ {t} \, dB_ {t},}$

onde B _t é um processo de Wiener . Se f ( t , x ) é uma função escalar duas vezes diferenciável, sua expansão em uma série de Taylor é

${\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \, dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \, dx + {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \, dx ^ {2} + \ cdots.}$

Substituindo X _t por x e, portanto, μ _t  dt + σ _t  dB _t por dx dá

${\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \, dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (\ mu _ {t} \, dt + \ sigma _ { t} \, dB_ {t}) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left (\ mu _ {t } ^ {2} \, dt ^ {2} +2 \ mu _ {t} \ sigma _ {t} \, dt \, dB_ {t} + \ sigma _ {t} ^ {2} \, dB_ { t} ^ {2} \ right) + \ cdots.}$

No limite dt → 0 , os termos dt ² e dt dB _t tendem a zerar mais rápido do que dB ² , que é O ( dt ) . Definindo os termos dt ² e dt dB _t para zero, substituindo dt por dB ² (devido à variação quadrática de um processo de Wiener ) e coletando os termos dt e dB , obtemos

${\ displaystyle df = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ mu _ {t} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ sigma _ {t} ^ {2}} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ right) dt + \ sigma _ {t} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} \, dB_ {t}}$

como requerido.

Formulação matemática do lema de Itô

Nas subseções a seguir, discutiremos as versões do lema de Itô para diferentes tipos de processos estocásticos.

Processos de difusão-deriva de Itô (devido a: Kunita – Watanabe)

Em sua forma mais simples, o lema de Itô afirma o seguinte: para um processo de difusão-deriva de Itô

${\ displaystyle dX_ {t} = \ mu _ {t} \, dt + \ sigma _ {t} \, dB_ {t}}$

e qualquer função escalar duas vezes diferenciável f ( t , x ) de duas variáveis ​​reais t e x , uma tem

${\ displaystyle df (t, X_ {t}) = \ left ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} + \ mu _ {t} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x} } + {\ frac {\ sigma _ {t} ^ {2}} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x ^ {2}}} \ direita) dt + \ sigma _ {t} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \, dB_ {t}.}$

Isso implica imediatamente que f ( t , X _t ) é em si um processo de difusão à deriva de Itô.

Em dimensões superiores, se é um vetor de processos Itô que ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t} = (X_ {t} ^ {1}, X_ {t} ^ {2}, \ ldots, X_ {t} ^ {n}) ^ {T}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {X} _ {t} = {\ boldsymbol {\ mu}} _ {t} \, dt + \ mathbf {G} _ {t} \, d \ mathbf {B} _ {t} }$

para um vetor e uma matriz , o lema de Itô afirma que ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {t}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} df (t, \ mathbf {X} _ {t}) & = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \, dt + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f \ right) ^ {T} \, d \ mathbf {X} _ {t} + {\ frac {1} {2}} \ left (d \ mathbf {X} _ {t} \ direita) ^ {T} \ left (H _ {\ mathbf {X}} f \ right) \, d \ mathbf {X} _ {t}, \\ & = \ left \ {{\ frac {\ parcial f} {\ partial t}} + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f \ right) ^ {T} {\ boldsymbol {\ mu}} _ {t} + {\ frac {1} {2} } \ operatorname {Tr} \ left [\ mathbf {G} _ {t} ^ {T} \ left (H _ {\ mathbf {X}} f \ right) \ mathbf {G} _ {t} \ right] \ direita \} dt + \ esquerda (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f \ direita) ^ {T} \ mathbf {G} _ {t} \, d \ mathbf {B} _ {t} \ end {alinhado }}}$

onde é o gradiente de f wrt X , H _X f é a matriz Hessiana de f wrt X e Tr é o operador de rastreamento . ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {X}} f}$

Processos de salto de Poisson

Também podemos definir funções em processos estocásticos descontínuos.

Seja h a intensidade do salto. O modelo do processo de Poisson para saltos é que a probabilidade de um salto no intervalo [ t , t + Δ t ] é h Δ t mais termos de ordem superior. h pode ser uma constante, uma função determinística do tempo ou um processo estocástico. A probabilidade de sobrevivência p _s ( t ) é a probabilidade de que nenhum salto tenha ocorrido no intervalo [0, t ] . A mudança na probabilidade de sobrevivência é

${\ displaystyle dp_ {s} (t) = - p_ {s} (t) h (t) \, dt.}$

Então

${\ displaystyle p_ {s} (t) = \ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {t} h (u) \, du \ right).}$

Seja S ( t ) um processo estocástico descontínuo. Escreva o valor de S conforme nos aproximamos de t da esquerda. Escreva para a mudança não infinitesimal em S ( t ) como resultado de um salto. Então ${\ displaystyle S (t ^ {-})}$${\ displaystyle d_ {j} S (t)}$

${\ displaystyle d_ {j} S (t) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} (S (t + \ Delta t) -S (t ^ {-}))}$

Seja z a magnitude do salto e seja a distribuição de z . A magnitude esperada do salto é ${\ displaystyle \ eta (S (t ^ {-}), z)}$

${\ displaystyle E [d_ {j} S (t)] = h (S (t ^ {-})) \, dt \ int _ {z} z \ eta (S (t ^ {-}), z) \, dz.}$

Definir , um processo compensado e martingale , como ${\ displaystyle dJ_ {S} (t)}$

${\ displaystyle dJ_ {S} (t) = d_ {j} S (t) -E [d_ {j} S (t)] = S (t) -S (t ^ {-}) - \ left (h (S (t ^ {-})) \ int _ {z} z \ eta \ left (S (t ^ {-}), z \ right) \, dz \ right) \, dt.}$

Então

${\ displaystyle d_ {j} S (t) = E [d_ {j} S (t)] + dJ_ {S} (t) = h (S (t ^ {-})) \ left (\ int _ { z} z \ eta (S (t ^ {-}), z) \, dz \ right) dt + dJ_ {S} (t).}$

Considere uma função do processo de salto dS ( t ) . Se S ( t ) pula de Δ s, então g ( t ) pula de Δ g . Δ g é obtido a partir da distribuição que pode depender de , dg e . A parte do salto é ${\ displaystyle g (S (t), t)}$${\ displaystyle \ eta _ {g} ()}$${\ displaystyle g (t ^ {-})}$${\ displaystyle S (t ^ {-})}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g (t) -g (t ^ {-}) = h (t) \, dt \ int _ {\ Delta g} \, \ Delta g \ eta _ {g} (\ cdot) \, d \ Delta g + dJ_ {g} (t).}$

Se contém deriva, difusão e partes de salto, então o Lema de Itô para é ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle g (S (t), t)}$

${\ displaystyle dg (t) = \ left ({\ frac {\ partial g} {\ partial t}} + \ mu {\ frac {\ partial g} {\ partial S}} + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} g} {\ partial S ^ {2}}} + h (t) \ int _ {\ Delta g} \ left (\ Delta g \ eta _ {g} (\ cdot) \, d {\ Delta} g \ right) \, \ right) dt + {\ frac {\ partial g} {\ partial S}} \ sigma \, dW (t) + dJ_ {g} (t).}$

O lema de Itô para um processo que é a soma de um processo de deriva-difusão e um processo de salto é apenas a soma do lema de Itô para as partes individuais.

Semimartingales não contínuos

O lema de Itô também pode ser aplicado a semimartingales d- dimensionais gerais , que não precisam ser contínuos. Em geral, um semimartingale é um processo càdlàg , e um termo adicional precisa ser adicionado à fórmula para garantir que os saltos do processo sejam dados corretamente pelo lema de Itô. Para qualquer processo cadlag Y _t , o limite esquerdo em t é denotado por Y _t− , que é um processo contínuo à esquerda. Os saltos são escritos como Δ Y _t = Y _t - Y _t− . Então, o lema de Itô afirma que se X = ( X ¹ , X ² , ..., X ^d ) é um semimartingale d- dimensional ef é uma função de valor real duas vezes continuamente diferenciável em R ^d então f ( X ) é um semimartingale , e

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f (X_ {t}) & = f (X_ {0}) + \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} f_ { i} (X_ {s -}) \, dX_ {s} ^ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} f_ {i, j} (X_ {s -}) \, d [X ^ {i}, X ^ {j}] _ {s} \\ & \ qquad + \ sum _ {s \ leq t} \ left (\ Delta f (X_ {s}) - \ sum _ {i = 1} ^ {d} f_ {i} (X_ {s -}) \, \ Delta X_ {s} ^ {i} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {d} f_ {i, j} (X_ {s -}) \, \ Delta X_ {s} ^ {i} \, \ Delta X_ {s} ^ {j} \ right). \ End {alinhado}}}$

Isso difere da fórmula para semimartingales contínuos pelo termo adicional que soma os saltos de X , o que garante que o salto do lado direito no tempo t seja Δ f ( X _t ).

Vários processos de salto não contínuo

Há também uma versão disso para uma função duas vezes continuamente diferenciável no espaço uma vez no tempo f avaliada em (potencialmente diferentes) semimartingais não contínuos que pode ser escrita da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f (t, X_ {t} ^ {1}, \ ldots, X_ {t} ^ {d}) = {} & f (0, X_ {0} ^ {1}, \ ldots, X_ {0} ^ {d}) + \ int _ {0} ^ {t} {\ dot {f}} ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}} ^ {1}, \ ldots, X_ {s _ {-}} ^ {d}) d {s} \\ & {} + \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} f_ {i } ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}} ^ {1}, \ ldots, X_ {s _ {-}} ^ {d}) \, dX_ {s} ^ {(c, i)} \\ & {} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {d} = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} f_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {d}} ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}} ^ {1}, \ ldots, X_ {s _ {-}} ^ {d}) \ , dX_ {s} ^ {(c, i_ {1})} \ cdots X_ {s} ^ {(c, i_ {d})} \\ & {} + \ sum _ {0 <s \ leq t} \ left [f (s, X_ {s} ^ {1}, \ ldots, X_ {s} ^ {d}) - f ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}} ^ {1}, \ ldots, X_ {s _ {-}} ^ {d}) \ right] \ end {alinhados}}}$

onde indica a parte contínua do i th semi-martingala. ${\ displaystyle X ^ {c, i}}$

Exemplos

Movimento browniano geométrico

Processo S é referido a seguir um movimento Browniano geométrico com volatilidade constante σ e deriva constante μ se satisfaz a equação diferencial estocástica , para um movimento Browniano B . Aplicando o lema de Itô com dá ${\ displaystyle dS_ {t} = \ sigma S_ {t} \, dB_ {t} + \ mu S_ {t} \, dt}$${\ displaystyle f (S_ {t}) = \ log (S_ {t})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} df & = f ^ {\ prime} (S_ {t}) \, dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} f ^ {\ prime \ prime} (S_ {t}) (dS_ {t}) ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {S_ {t}}} \, dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} (- S_ {t} ^ {- 2}) (S_ {t} ^ {2} \ sigma ^ {2} \, dt) \\ & = {\ frac {1} {S_ {t}}} \ left (\ sigma S_ {t} \, dB_ {t} + \ mu S_ {t} \, dt \ direita) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \, dt \\ & = \ sigma \, dB_ {t} + \ left (\ mu - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) \, dt. \ end {alinhado}}}$

Segue que

${\ displaystyle \ log (S_ {t}) = \ log (S_ {0}) + \ sigma B_ {t} + \ left (\ mu - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ direita) t,}$

exponenciando dá a expressão para S ,

${\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left (\ sigma B_ {t} + \ left (\ mu - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) t \ direito).}$

O termo de correção de - σ ²/2corresponde à diferença entre a mediana e a média da distribuição log-normal , ou equivalentemente para essa distribuição, a média geométrica e a média aritmética, sendo a mediana (média geométrica) menor. Isso se deve à desigualdade AM-GM e corresponde ao logaritmo ser côncavo (ou convexo para cima), portanto, o termo de correção pode ser interpretado como uma correção de convexidade . Esta é uma versão infinitesimal do fato de que o retorno anualizado é menor que o retorno médio, com a diferença proporcional à variância. Veja os momentos geométricos da distribuição log-normal para uma discussão mais aprofundada.

O mesmo fator de σ ²/2aparece no d ₁ e d ₂ variáveis auxiliares da fórmula Black-Scholes , e pode ser interpretado como uma consequência de lema de Ito.

Doléans-Dade exponencial

O exponencial Doléans-Dade (ou exponencial estocástico) de um semimartingale contínuo X pode ser definido como a solução para o SDE dY = Y dX com a condição inicial Y ₀ = 1 . Às vezes é denotado por Ɛ ( X ) . Aplicando o lema de Itô com f ( Y ) = log ( Y ) dá

${\ displaystyle {\ begin {align} d \ log (Y) & = {\ frac {1} {Y}} \, dY - {\ frac {1} {2Y ^ {2}}} \, d [Y ] \\ [6pt] & = dX - {\ tfrac {1} {2}} \, d [X]. \ End {alinhado}}}$

A exponenciação dá a solução

${\ displaystyle Y_ {t} = \ exp \ left (X_ {t} -X_ {0} - {\ tfrac {1} {2}} [X] _ {t} \ right).}$

Fórmula de Black – Scholes

O lema de Itô pode ser usado para derivar a equação de Black – Scholes para uma opção . Suponha que o preço de uma ação siga um movimento browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S ( σdB + μ dt ) . Então, se o valor de uma opção no tempo t for f ( t , S _t ), o lema de Itô fornece

${\ displaystyle df (t, S_ {t}) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ left (S_ {t} \ sigma \ right) ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \, dt + {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} \ ,DST}.}$

O termo ∂ f/∂ S dS representa a mudança no valor no tempo dt da estratégia de negociação que consiste em manter uma quantia∂ f/∂ Sdo estoque. Se esta estratégia de negociação for seguida, e qualquer caixa mantido for assumido a crescer à taxa livre de risco r , então o valor total V desta carteira satisfaz a SDE

${\ displaystyle dV_ {t} = r \ left (V_ {t} - {\ frac {\ partial f} {\ partial S}} S_ {t} \ right) \, dt + {\ frac {\ partial f} { \ parcial S}} \, dS_ {t}.}$

Esta estratégia replica a opção se V = f ( t , S ). A combinação dessas equações resulta na célebre equação de Black-Scholes

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {\ sigma ^ {2} S ^ {2}} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ parcial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ parcial f} {\ parcial S}} - rf = 0.}$

Regra de produto para processos Itô

Seja um processo Ito bidimensional com SDE: ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {X} _ {t} = d {\ begin {pmatrix} X_ {t} ^ {1} \\ X_ {t} ^ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatriz} \ mu _ {t} ^ {1} \\\ mu _ {t} ^ {2} \ end {pmatriz}} dt + {\ begin {pmatriz} \ sigma _ {t} ^ {1} \\\ sigma _ {t} ^ {2} \ end {pmatriz}} \, dB_ {t}}$

Então, podemos usar a forma multidimensional do lema de Ito para encontrar uma expressão para . ${\ displaystyle d (X_ {t} ^ {1} X_ {t} ^ {2})}$

Nós temos e . ${\ displaystyle \ mu _ {t} = {\ begin {pmatrix} \ mu _ {t} ^ {1} \\\ mu _ {t} ^ {2} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {t} ^ {1} \\\ sigma _ {t} ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

Nós definimos e observamos isso e${\ displaystyle f (t, \ mathbf {X} _ {t}) = X_ {t} ^ {1} X_ {t} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0, \ (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f) ^ {T} = (X_ {t} ^ {2} \ \ X_ {t} ^ {1})}$${\ displaystyle H _ {\ mathbf {X}} f = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Substituir esses valores na versão multidimensional do lema nos dá:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} d (X_ {t} ^ {1} X_ {t} ^ {2}) & = df (t, \ mathbf {X} _ {t}) \\ & = 0 \ cdot dt + (X_ {t} ^ {2} \ \ X_ {t} ^ {1}) \, d \ mathbf {X} _ {t} + {\ frac {1} {2}} (dX_ {t} ^ {1} \ \ dX_ {t} ^ {2}) {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} dX_ {t} ^ {1} \\ dX_ {t } ^ {2} \ end {pmatriz}} \\ & = X_ {t} ^ {2} \, dX_ {t} ^ {1} + X_ {t} ^ {1} dX_ {t} ^ {2} + dX_ {t} ^ {1} \, dX_ {t} ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Esta é uma generalização da regra de produto de Leibniz para processos Ito, que não são diferenciáveis.

Além disso, o uso da segunda forma da versão multidimensional acima nos dá

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} d (X_ {t} ^ {1} X_ {t} ^ {2}) & = \ left \ {0+ (X_ {t} ^ {2} \ \ X_ {t } ^ {1}) {\ begin {pmatrix} \ mu _ {t} ^ {1} \\\ mu _ {t} ^ {2} \ end {pmatrix}} + {\ frac {1} {2} } \ operatorname {Tr} \ left [(\ sigma _ {t} ^ {1} \ \ \ sigma _ {t} ^ {2}) {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ sigma _ {t} ^ {1} \\\ sigma _ {t} ^ {2} \ end {pmatrix}} \ right] \ right \} \, dt + (X_ {t} ^ { 2} \ sigma _ {t} ^ {1} + X_ {t} ^ {1} \ sigma _ {t} ^ {2}) \, dB_ {t} \\ [5pt] & = \ left (X_ { t} ^ {2} \ mu _ {t} ^ {1} + X_ {t} ^ {1} \ mu _ {t} ^ {2} + \ sigma _ {t} ^ {1} \ sigma _ { t} ^ {2} \ right) \, dt + (X_ {t} ^ {2} \ sigma _ {t} ^ {1} + X_ {t} ^ {1} \ sigma _ {t} ^ {2} ) \, dB_ {t} \ end {alinhado}}}$

então vemos que o próprio produto é um processo de difusão à deriva de Itô . ${\ displaystyle X_ {t} ^ {1} X_ {t} ^ {2}}$

Veja também

• Processo Wiener
• Itô calculus
• Fórmula de Feynman-Kac

Notas

Referências

• Kiyosi Itô (1944). Integral estocástico. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20 , 519–524. Este é o papel com a Fórmula Ito; Conectados
• Kiyosi Itô (1951). Sobre equações diferenciais estocásticas. Memoirs, American Mathematical Society 4 , 1-51. Conectados
• Bernt Øksendal (2000). Equações diferenciais estocásticas. Uma introdução aos aplicativos , 5ª edição, 2ª impressão corrigida. Springer. ISBN  3-540-63720-6 . Seções 4.1 e 4.2.
• Philip E Protter (2005). Integração estocástica e equações diferenciais , 2ª edição. Springer. ISBN  3-662-10061-4 . Seção 2.7.

links externos

• Derivação , Prof. Thayer Watkins
• Prova informal , tutor opcional