Desigualdade Lieb-Thirring - Lieb–Thirring inequality

Em matemática e física , as desigualdades de Lieb-Thirring fornecem um limite superior nas somas de potências dos autovalores negativos de um operador de Schrödinger em termos de integrais do potencial. Eles são nomeados após EH Lieb e WE Thirring .

As desigualdades são úteis em estudos de mecânica quântica e equações diferenciais e implicam, como corolário, um limite inferior na energia cinética das partículas da mecânica quântica que desempenha um papel importante na prova de estabilidade da matéria . ${\ displaystyle N}$

Declaração das desigualdades

Para o operador de Schrödinger ligado com potencial de valor real , os números denotam a sequência (não necessariamente finita) de autovalores negativos. Então, por e satisfazendo uma das condições ${\ displaystyle - \ Delta + V (x) = - \ nabla ^ {2} + V (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle V (x): \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq 0}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ gamma \ geq {\ frac {1} {2}} &, \, n = 1, \\\ gamma> 0 &, \, n = 2, \\\ gamma \ geq 0 &, \, n \ geq 3, \ end {alinhado}}}$

existe uma constante , que só depende de e , tal que ${\ displaystyle L _ {\ gamma, n}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sum _ {j \ geq 1} | \ lambda _ {j} | ^ {\ gamma} \ leq L _ {\ gamma, n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V ( x) _ {-} ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

( 1 )

onde está a parte negativa do potencial . Os casos também foram provados por EH Lieb e WE Thirring em 1976 e usados ​​em sua prova de estabilidade da matéria. No caso, o lado esquerdo é simplesmente o número de autovalores negativos, e as provas foram fornecidas independentemente por M. Cwikel., EH Lieb e GV Rozenbljum. A desigualdade resultante é também chamada de limite de Cwikel-Lieb-Rosenbljum. O caso crítico restante foi comprovado por T. Weidl As condições são e são necessárias e não podem ser relaxadas. ${\ displaystyle V (x) _ {-}: = \ max (-V (x), 0)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ gamma> 1/2, n = 1}$${\ displaystyle \ gamma> 0, n \ geq 2}$${\ displaystyle \ gamma = 0, n \ geq 3}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ gamma = 1/2, n = 1}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle n}$

Constantes Lieb-Thirring

Aproximação semiclássica

As desigualdades de Lieb-Thirring podem ser comparadas ao limite semiclássico. O espaço de fase clássico consiste em pares . Identificar o operador de impulso com e supondo que cada estado quântico está contida em um volume no espaço de fase -dimensional, a aproximação semi-clássica ${\ displaystyle (p, x) \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle - \ mathrm {i} \ nabla}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (2 \ pi) ^ {n}}$${\ displaystyle 2n}$

${\ displaystyle \ sum _ {j \ geq 1} | \ lambda _ {j} | ^ {\ gamma} \ approx {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big (} p ^ {2} + V (x) {\ big)} _ {-} ^ {\ gamma} \ mathrm {d} ^ {n} p \ mathrm {d} ^ {n} x = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n }} V (x) _ {-} ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

é derivado com a constante

${\ displaystyle L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} = (4 \ pi) ^ {- {\ frac {n} {2}}} {\ frac {\ Gamma (\ gamma +1) } {\ Gamma (\ gamma +1 + {\ frac {n} {2}})}} \ ,.}$

Enquanto a aproximação semiclássica não precisa de nenhuma suposição , as desigualdades de Lieb-Thirring só são adequadas . ${\ displaystyle \ gamma> 0}$${\ displaystyle \ gamma}$

Weyl assintóticos e constantes agudas

Numerosos resultados foram publicados sobre a melhor constante possível em ( 1 ), mas este problema ainda está parcialmente aberto. A aproximação semiclássica torna-se exata no limite de grande acoplamento, ou seja, para os potenciais os assintóticos de Weyl.${\ displaystyle L _ {\ gamma, n}}$${\ displaystyle \ beta V}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ beta \ to \ infty} {\ frac {1} {\ beta ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}}}} \ mathrm {tr} (- \ Delta + \ beta V) _ {-} ^ {\ gamma} = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V (x) _ { -} ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

segure. Isso implica isso . Lieb e Thirring foram capazes de mostrar que para . M. Aizenman e EH Lieb provaram que para dimensão fixa a razão é uma função monotônica e não crescente de . Posteriormente, também foi mostrado para valer para todos quando por A. Laptev e T. Weidl. Para D. Hundertmark, EH Lieb e LE Thomas provaram que a melhor constante é dada por . ${\ displaystyle L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} \ leq L _ {\ gamma, n}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma, n} = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ displaystyle \ gamma \ geq 3/2, n = 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L _ {\ gamma, n} / L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle L _ {\ gamma, n} = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ gamma \ geq 3/2}$${\ displaystyle \ gamma = 1/2, \, n = 1}$${\ displaystyle L_ {1 / 2,1} = 2L_ {1 / 2,1} ^ {\ mathrm {cl}} = 1/2}$

Por outro lado, sabe-se que para e para . No primeiro caso, Lieb e Thirring conjeturaram que a constante aguda é dada por ${\ displaystyle L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} <L _ {\ gamma, n}}$${\ displaystyle 1/2 \ leq \ gamma <3/2, n = 1}$${\ displaystyle \ gamma <1, d \ geq 1}$

${\ displaystyle L _ {\ gamma, 1} = 2L _ {\ gamma, 1} ^ {\ mathrm {cl}} \ left ({\ frac {\ gamma - {\ frac {1} {2}}} {\ gamma + {\ frac {1} {2}}}} \ right) ^ {\ gamma - {\ frac {1} {2}}}.}$

O valor mais conhecido para a constante física relevante é e a menor constante conhecida na desigualdade de Cwikel – Lieb – Rosenbljum é . Um levantamento completo dos valores atualmente mais conhecidos para pode ser encontrado na literatura. ${\ displaystyle L_ {1,3}}$${\ displaystyle \ pi L_ {1,3} ^ {\ mathrm {cl}} / {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 6.869L_ {0, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma, n}}$

Desigualdades de energia cinética

A desigualdade de Lieb-Thirring para é equivalente a um limite inferior na energia cinética de uma dada função de onda de partícula normalizada em termos da densidade de um corpo. Para uma função de onda anti-simétrica tal que ${\ displaystyle \ gamma = 1}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ psi \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {Nn})}$

${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {j}, \ dots, x_ {N}) = - \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ { j}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {N})}$

para todos , a densidade de um corpo é definida como ${\ displaystyle 1 \ leq i, j \ leq N}$

${\ displaystyle \ rho _ {\ psi} (x) = N \ int _ {\ mathbb {R} ^ {(N-1) n}} | \ psi (x, x_ {2} \ dots, x_ {N }) | ^ {2} \ mathrm {d} ^ {n} x_ {2} \ cdots \ mathrm {d} ^ {n} x_ {N}, \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} .}$

A desigualdade Lieb-Thirring ( 1 ) para é equivalente à afirmação de que ${\ displaystyle \ gamma = 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla _ {i} \ psi | ^ {2} \ mathrm {d} ^ { n} x_ {i} \ geq K_ {n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ rho _ {\ psi} (x) ^ {1 + {\ frac {2} {n} }}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

( 2 )

onde a constante aguda é definida via ${\ displaystyle K_ {n}}$

${\ displaystyle \ left (\ left (1 + {\ frac {2} {n}} \ right) K_ {n} \ right) ^ {1 + {\ frac {n} {2}}} \ left (\ esquerda (1 + {\ frac {n} {2}} \ direita) L_ {1, n} \ direita) ^ {1 + {\ frac {2} {n}}} = 1 \ ,.}$

A desigualdade pode ser estendida a partículas com estados de spin substituindo a densidade de um corpo pela densidade de um corpo com soma de spin. A constante então deve ser substituída por onde é o número de estados de spin quânticos disponíveis para cada partícula ( para elétrons). Se a função de onda for simétrica, em vez de anti-simétrica, de modo que ${\ displaystyle K_ {n}}$${\ displaystyle K_ {n} / q ^ {2 / n}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q = 2}$

${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {j}, \ dots, x_ {n}) = \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {j }, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {n})}$

para todos , a constante deve ser substituída por . Desigualdade ( 2 ) descreve a energia cinética mínima necessária para atingir uma dada densidade com partículas em dimensões. Se fosse provado que é válido, o lado direito de ( 2 ) para seria precisamente o termo de energia cinética na teoria de Thomas-Fermi . ${\ displaystyle 1 \ leq i, j \ leq N}$${\ displaystyle K_ {n}}$${\ displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ psi}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L_ {1,3} = L_ {1,3} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ displaystyle n = 3}$

A desigualdade pode ser comparada à desigualdade de Sobolev . M. Rumin derivou a desigualdade de energia cinética ( 2 ) (com uma constante menor) diretamente sem o uso da desigualdade de Lieb-Thirring.

A estabilidade da matéria

A desigualdade de energia cinética desempenha um papel importante na prova de estabilidade da matéria apresentada por Lieb e Thirring. O hamiltoniano em consideração descreve um sistema de partículas com estados de spin e núcleos fixos em locais com cargas . As partículas e núcleos interagem uns com os outros através da força de Coulomb eletrostática e um campo magnético arbitrário pode ser introduzido. Se as partículas em consideração são férmions (isto é, a função de onda é anti-simétrica), então a desigualdade de energia cinética ( 2 ) se mantém com a constante (não ). Este é um ingrediente crucial na prova da estabilidade da matéria para um sistema de férmions. Ele garante que a energia do estado fundamental do sistema pode ser limitada a partir de baixo por uma constante, dependendo apenas do máximo das cargas do núcleo , vezes o número de partículas, ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R_ {j} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle Z_ {j}> 0}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K_ {n} / q ^ {2 / n}}$${\ displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$${\ displaystyle E_ {N, M} (Z_ {1}, \ dots, Z_ {M})}$${\ displaystyle Z _ {\ max}}$

${\ displaystyle E_ {N, M} (Z_ {1}, \ dots, Z_ {M}) \ geq -C (Z _ {\ max}) (M + N) \ ,.}$

O sistema é então estável do primeiro tipo, uma vez que a energia do estado fundamental é limitada por baixo e também estável do segundo tipo, isto é, a energia de diminui linearmente com o número de partículas e núcleos. Em comparação, se as partículas são assumidas como bósons (isto é, a função de onda é simétrica), então a desigualdade de energia cinética ( 2 ) se mantém apenas com a constante e para a energia do estado fundamental apenas um limite da forma é válido. Visto que a potência pode ser considerada ótima, um sistema de bósons é estável do primeiro tipo, mas instável do segundo tipo. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$${\ displaystyle -CN ^ {5/3}}$${\ displaystyle 5/3}$

Generalizações

Se o Laplaciano for substituído por , onde está um potencial vetorial de campo magnético in , a desigualdade Lieb-Thirring ( 1 ) permanece verdadeira. A prova desta afirmação usa a desigualdade diamagnética. Embora todas as constantes atualmente conhecidas permaneçam inalteradas, não se sabe se isso é verdade em geral para a melhor constante possível. ${\ displaystyle - \ Delta = - \ nabla ^ {2}}$${\ displaystyle (\ mathrm {i} \ nabla + A (x)) ^ {2}}$${\ displaystyle A (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma, n}}$

O Laplaciano também pode ser substituído por outros poderes de . Em particular para o operador , uma desigualdade de Lieb-Thirring semelhante a ( 1 ) se mantém com uma constante diferente e com a potência no lado direito substituída por . Analogamente, uma desigualdade cinética semelhante a ( 2 ) é válida, com substituído por , que pode ser usada para provar a estabilidade da matéria para o operador relativístico de Schrödinger sob suposições adicionais sobre as cargas . ${\ displaystyle - \ Delta}$${\ displaystyle {\ sqrt {- \ Delta}}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma, n}}$${\ displaystyle \ gamma + n}$${\ displaystyle 1 + 2 / n}$${\ displaystyle 1 + 1 / n}$${\ displaystyle Z_ {k}}$

Em essência, a desigualdade Lieb-Thirring ( 1 ) fornece um limite superior nas distâncias dos autovalores para o espectro essencial em termos de perturbação . Desigualdades semelhantes podem ser provadas para operadores de Jacobi . ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle V}$

Referências

Literatura

• Lieb, EH; Seiringer, R. (2010). A estabilidade da matéria na mecânica quântica (1ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN   9780521191180 .
• Hundertmark, D. (2007). "Alguns problemas de estado ligado na mecânica quântica". Em Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Galvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (eds.). Teoria espectral e física matemática: um festival em homenagem ao 60º aniversário de Barry Simon . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 76 . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 463–496. Bibcode : 2007stmp.conf..463H . ISBN   978-0-8218-3783-2 .