Espaço de fase - Phase space

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
Escopo Ciências Naturais Engenharia Astronomia Física Química Biologia Geologia Matemática Aplicada Mecânica de continuidade Teoria do caos Sistemas dinâmicos Ciências Sociais Economia Dinâmica populacional
Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Recursos Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Caminho de fase do oscilador Duffing

Espaço de fase de um sistema dinâmico com estabilidade focal, mostrando uma trajetória de espaço de fase

Na teoria dos sistemas dinâmicos , um espaço de fase é um espaço no qual todos os estados possíveis de um sistema são representados, com cada estado possível correspondendo a um único ponto no espaço de fase. Para sistemas mecânicos , o espaço de fase geralmente consiste em todos os valores possíveis de variáveis ​​de posição e momento . É o produto externo do espaço direto e do espaço recíproco . O conceito de espaço de fase foi desenvolvido no final do século 19 por Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré e Josiah Willard Gibbs .

Introdução

Em um espaço de fase, cada grau de liberdade ou parâmetro do sistema é representado como um eixo de um espaço multidimensional; um sistema unidimensional é chamado de linha de fase , enquanto um sistema bidimensional é chamado de plano de fase . Para cada estado possível do sistema ou combinação permitida de valores dos parâmetros do sistema, um ponto é incluído no espaço multidimensional. O estado de evolução do sistema ao longo do tempo traça um caminho (uma trajetória de espaço de fase para o sistema) através do espaço de alta dimensão. A trajetória do espaço de fase representa o conjunto de estados compatíveis com o início de uma determinada condição inicial , localizado no espaço de fase completo que representa o conjunto de estados compatíveis com o início de qualquer condição inicial. Como um todo, o diagrama de fase representa tudo o que o sistema pode ser, e sua forma pode facilmente elucidar qualidades do sistema que, de outra forma, poderiam não ser óbvias. Um espaço de fase pode conter um grande número de dimensões. Por exemplo, um gás contendo muitas moléculas pode exigir uma dimensão separada para as posições x , y e z de cada partícula (6 dimensões para um gás monoatômico idealizado), e para sistemas moleculares mais complexos, dimensões adicionais são necessárias para descrever os modos vibracionais do ligações moleculares, bem como giram em torno de 3 eixos. Os espaços de fase são mais fáceis de usar ao analisar o comportamento de sistemas mecânicos restritos ao movimento ao redor e ao longo de vários eixos de rotação ou translação - por exemplo, na robótica, como analisar a amplitude de movimento de um braço robótico ou determinar o caminho ideal para atingir uma posição particular / resultado momentum.

Evolução de um conjunto de sistemas clássicos no espaço de fase (topo). Os sistemas são uma partícula massiva em um poço de potencial unidimensional (curva vermelha, figura inferior). O conjunto inicialmente compacto torna-se turbilhonado com o tempo.

Momentos conjugados

Na mecânica clássica, qualquer escolha de coordenadas generalizadas q _i para a posição (isto é, coordenadas no espaço de configuração ) define momentos generalizados conjugados p _i que juntos definem coordenadas no espaço de fase. Mais abstratamente, na mecânica clássica, o espaço de fase é o pacote cotangente do espaço de configuração e, nesta interpretação, o procedimento acima expressa que uma escolha de coordenadas locais no espaço de configuração induz uma escolha de coordenadas locais naturais de Darboux para a estrutura simplética padrão em um espaço cotangente .

Conjuntos estatísticos no espaço de fase

O movimento de um conjunto de sistemas neste espaço é estudado pela mecânica estatística clássica . A densidade local de pontos em tais sistemas obedece ao teorema de Liouville e, portanto, pode ser considerada constante. No contexto de um sistema modelo em mecânica clássica, as coordenadas do espaço de fase do sistema em qualquer momento são compostas de todas as variáveis ​​dinâmicas do sistema. Por causa disso, é possível calcular o estado do sistema em qualquer momento no futuro ou no passado, por meio da integração das equações de movimento de Hamilton ou de Lagrange.

Exemplos

Ilustração de como um retrato de fase seria construído para o movimento de um pêndulo simples .

Fluxo de série temporal no espaço de fase especificado pela equação diferencial de um pêndulo . O eixo X corresponde à posição do pêndulo e o eixo Y à sua velocidade.

Dimensões baixas

Para sistemas simples, pode haver apenas um ou dois graus de liberdade. Um grau de liberdade ocorre quando se tem uma equação diferencial ordinária autônoma em uma única variável, com o sistema unidimensional resultante sendo chamado de linha de fase e o comportamento qualitativo do sistema sendo imediatamente visível da linha de fase. Os exemplos não triviais mais simples são o modelo de crescimento exponencial / decaimento (um equilíbrio instável / estável) e o modelo de crescimento logístico (dois equilíbrios, um estável, um instável). ${\ displaystyle dy / dt = f (y),}$

O espaço de fase de um sistema bidimensional é chamado de plano de fase , que ocorre na mecânica clássica para uma única partícula se movendo em uma dimensão, e onde as duas variáveis ​​são posição e velocidade. Nesse caso, um esboço do retrato da fase pode fornecer informações qualitativas sobre a dinâmica do sistema, como o ciclo limite do oscilador Van der Pol mostrado no diagrama.

Aqui, o eixo horizontal fornece a posição e o eixo vertical a velocidade. Conforme o sistema evolui, seu estado segue uma das linhas (trajetórias) no diagrama de fase.

Retrato de fase do oscilador Van der Pol

Teoria do caos

Exemplos clássicos de diagramas de fase da teoria do caos são:

• o atrator Lorenz
• crescimento populacional (ou seja, mapa logístico )
• plano de parâmetro de polinômios quadráticos complexos com conjunto de Mandelbrot .

Gráfico de fase

Um gráfico de variáveis ​​de posição e momento em função do tempo é às vezes chamado de gráfico de fase ou diagrama de fase . No entanto, a última expressão, " diagrama de fase ", é mais comumente reservada nas ciências físicas para um diagrama que mostra as várias regiões de estabilidade das fases termodinâmicas de um sistema químico, que consiste em pressão , temperatura e composição.

Mecânica quântica

Na mecânica quântica , as coordenadas p e q do espaço de fase normalmente se tornam operadores Hermitianos em um espaço de Hilbert .

Mas eles podem, alternativamente, reter sua interpretação clássica, desde que suas funções componham de novas maneiras algébricas (por meio do produto estelar de Groenewold de 1946 ). Isso é consistente com o princípio da incerteza da mecânica quântica. Todo observável em mecânica quântica corresponde a uma função ou distribuição única no espaço de fase, e vice-versa, conforme especificado por Hermann Weyl (1927) e suplementado por John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932); e, em uma grande síntese, por HJ Groenewold (1946). Com JE Moyal (1949), eles completaram os fundamentos da formulação do espaço de fase da mecânica quântica , uma reformulação completa e logicamente autônoma da mecânica quântica. (Suas abstrações modernas incluem quantização de deformação e quantização geométrica .)

Os valores de expectativa na quantização do espaço de fase são obtidos isomorficamente para rastrear observáveis ​​do operador com a matriz de densidade no espaço de Hilbert: eles são obtidos por integrais do espaço de fase dos observáveis, com a distribuição de quase probabilidade de Wigner servindo efetivamente como uma medida.

Assim, ao expressar a mecânica quântica no espaço de fase (o mesmo âmbito da mecânica clássica), o mapa de Weyl facilita o reconhecimento da mecânica quântica como uma deformação (generalização) da mecânica clássica, com parâmetro de deformação ħ / S , onde S é a ação de o processo relevante. (Outras deformações familiares na física envolvem a deformação do Newtoniano clássico em mecânica relativística , com o parâmetro de deformação v / c ; ou a deformação da gravidade newtoniana na Relatividade Geral , com o parâmetro de deformação raio / dimensão característica de Schwarzschild .)

Expressões clássicas, observáveis ​​e operações (como colchetes de Poisson) são modificados por correções quânticas ħ-dependentes, como a multiplicação comutativa convencional aplicada na mecânica clássica é generalizada para a multiplicação em estrela não comutativa caracterizando a mecânica quântica e subjacente ao seu princípio de incerteza.

Termodinâmica e mecânica estatística

Em contextos de termodinâmica e mecânica estatística , o termo espaço de fase tem dois significados: por um lado, é usado no mesmo sentido que na mecânica clássica. Se um sistema termodinâmico consiste em N partículas, então um ponto no espaço de fase 6 N- dimensional descreve o estado dinâmico de cada partícula naquele sistema, já que cada partícula está associada a variáveis ​​de três posições e três variáveis ​​de momento. Nesse sentido, desde que as partículas sejam distinguíveis , um ponto no espaço de fase é considerado um microestado do sistema. (Para partículas indistinguíveis um microstate irá consistir de um conjunto de N ! Pontos, que correspondem a todas as trocas possíveis dos N partículas.) N é tipicamente na ordem de número de Avogadro , descrevendo assim o sistema a um nível microscópico é muitas vezes impraticável. Isso leva ao uso do espaço de fase em um sentido diferente.

O espaço de fase também pode se referir ao espaço que é parametrizado pelos estados macroscópicos do sistema, como pressão, temperatura, etc. Por exemplo, pode-se ver o diagrama de pressão-volume ou diagramas de entropia-temperatura como uma descrição de parte desta fase espaço. Um ponto neste espaço de fase é correspondentemente chamado de macroestado. Pode haver facilmente mais de um microestado com o mesmo macroestado. Por exemplo, para uma temperatura fixa, o sistema pode ter muitas configurações dinâmicas no nível microscópico. Quando usada neste sentido, uma fase é uma região do espaço de fase onde o sistema em questão está, por exemplo, na fase líquida , ou na fase sólida , etc.

Uma vez que há muito mais microestados do que macroestados, o espaço de fase no primeiro sentido é geralmente uma variedade de dimensões muito maiores do que no segundo sentido. Claramente, muitos mais parâmetros são necessários para registrar cada detalhe do sistema até a escala molecular ou atômica do que simplesmente especificar, digamos, a temperatura ou a pressão do sistema.

Óptica

O espaço de fase é amplamente utilizado em óptica sem imagem , o ramo da óptica dedicado à iluminação. É também um conceito importante na óptica hamiltoniana .

Integral de fase

Na mecânica estatística clássica (energias contínuas), o conceito de espaço de fase fornece um análogo clássico à função de partição (soma sobre estados) conhecido como integral de fase. Em vez de somar o fator de Boltzmann sobre estados de energia espaçados discretamente (definidos por números quânticos inteiros apropriados para cada grau de liberdade), pode-se integrar sobre o espaço de fase contínua. Tal integração consiste essencialmente em duas partes: integração do componente de momento de todos os graus de liberdade (espaço de momento) e integração do componente de posição de todos os graus de liberdade (espaço de configuração). Uma vez que a integral de fase é conhecida, ela pode ser relacionada à função de partição clássica pela multiplicação de uma constante de normalização que representa o número de estados de energia quântica por unidade de espaço de fase. Essa constante de normalização é simplesmente o inverso da constante de Planck elevada a uma potência igual ao número de graus de liberdade do sistema.

Veja também

Referências

Leitura adicional

• Nolte, DD (2015). Introdução à Dinâmica Moderna: Caos, Redes, Espaço e Tempo . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-965703-2.
• Nolte, DD (2018). Galileo Unbound: A Path Across Life, the Universe and Everything . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-880584-7.

links externos

• "Phase space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]