Teorema de Mercer - Mercer's theorem

Em matemática , especificamente na análise funcional , o teorema de Mercer é uma representação de uma função simétrica positiva-definida em um quadrado como a soma de uma sequência convergente de funções produto. Este teorema, apresentado em ( Mercer 1909 ), é um dos resultados mais notáveis ​​do trabalho de James Mercer (1883–1932). É uma ferramenta teórica importante na teoria de equações integrais ; é usado na teoria espacial de Hilbert de processos estocásticos , por exemplo, o teorema de Karhunen-Loève ; e também é usado para caracterizar um kernel semi-definido positivo simétrico .

Introdução

Para explicar o teorema de Mercer , primeiro consideramos um caso especial importante; veja abaixo uma formulação mais geral. Um kernel , neste contexto, é uma função contínua simétrica

${\ displaystyle K: [a, b] \ times [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$

onde simétrico significa isso para todos . ${\ displaystyle K (x, y) = K (y, x)}$${\ displaystyle x, y \ in [a, b]}$

K é dito ser definido não negativo (ou semidefinido positivo ) se e somente se

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} K (x_ {i}, x_ {j}) c_ {i} c_ {j} \ geq 0 }$

para todas as sequências finitas de pontos x ₁ , ...,  x _n de [ a ,  b ] e todas as escolhas de números reais c ₁ , ...,  c _n (cf. kernel definido-positivo ).

Associado a K está um operador linear (mais especificamente um operador integral de Hilbert-Schmidt ) em funções definidas pela integral

${\ displaystyle [T_ {K} \ varphi] (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x, s) \ varphi (s) \, ds.}$

Para considerações técnicas, assumimos que pode variar através do espaço L ² [ a ,  b ] (ver espaço Lp ) de funções quadradas integráveis ​​de valor real. Desde T _K é um operador linear, podemos falar de valores próprios e funções próprias de T _K . ${\ displaystyle \ varphi}$

Teorema . Suponha que K seja um kernel contínuo simétrico não negativo definido. Então, há uma base ortonormal { e _i } _i de L ² [ a ,  b ] consistindo em autofunções de T _K tais que a sequência correspondente de autovalores {λ _i } _i é não negativa. As autofunções correspondentes a autovalores diferentes de zero são contínuas em [ a ,  b ] e K tem a representação

${\ displaystyle K (s, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {j} \, e_ {j} (s) \, e_ {j} (t)}$

onde a convergência é absoluta e uniforme.

Detalhes

Explicamos agora com mais detalhes a estrutura da prova do teorema de Mercer, particularmente como ela se relaciona com a teoria espectral de operadores compactos .

• O mapa K → T _K é injetivo .
• T _K é um operador compacto simétrico não negativo em L ² [ a , b ]; além disso, K ( x , x ) ≥ 0.

Para mostrar compactação, mostre que a imagem da bola unitária de L ² [ a , b ] sob T _K equicontínua e aplique o teorema de Ascoli , para mostrar que a imagem da bola unitária é relativamente compacta em C ([ a , b ]) com a norma uniforme e a fortiori em L ² [ a , b ].

Agora aplique o teorema espectral para operadores compactos em espaços de Hilbert a T _K para mostrar a existência da base ortonormal { e _i } _i de L ² [ a , b ]

${\ displaystyle \ lambda _ {i} e_ {i} (t) = [T_ {K} e_ {i}] (t) = \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) e_ {i } (s) \, ds.}$

Se λ _i ≠ 0, o autovetor ( autofunção ) e _i é visto como contínuo em [ a , b ]. Agora

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {i} | e_ {i} (t) e_ {i} (s) | \ leq \ sup _ {x \ in [a, b]} | K (x, x) |,}$

o que mostra que a sequência

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {i} e_ {i} (t) e_ {i} (s)}$

converge absolutamente e uniforme a um kernel K ₀ que é facilmente visto para definir o mesmo operador do kernel K . Logo, K = K ₀ do qual segue o teorema de Mercer.

Finalmente, para mostrar a não negatividade dos autovalores pode-se escrever e expressar o lado direito como uma integral bem aproximada por suas somas de Riemann, que são não negativas por definição positiva de K , implicando , implicando . ${\ displaystyle \ lambda \ langle f, f \ rangle = \ langle f, T_ {K} f \ rangle}$${\ displaystyle \ lambda \ langle f, f \ rangle \ geq 0}$${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Vestígio

O seguinte é imediato:

Teorema . Suponha que K seja um kernel contínuo simétrico não negativo definido; T _K tem uma sequência de autovalores não negativos {λ _i } _i . Então

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} K (t, t) \, dt = \ sum _ {i} \ lambda _ {i}.}$

Isso mostra que o operador T _K é um operador de classe de rastreamento e

${\ displaystyle \ operatorname {trace} (T_ {K}) = \ int _ {a} ^ {b} K (t, t) \, dt.}$

Generalizações

O próprio teorema de Mercer é uma generalização do resultado de que qualquer matriz simétrica positiva semidefinida é a matriz Gramiana de um conjunto de vetores.

O primeiro generalização substitui o intervalo [ a ,  b ] com qualquer espaço Hausdorff compacto e medida de Lebesgue em [ um ,  b ] é substituído por um aditivo finito contavelmente medida μ na álgebra Borel de X , cujo apoio é X . Isto significa que μ ( L )> 0 para qualquer subconjunto aberto não vazio L de X .

Uma generalização recente substitui essas condições pelo seguinte: o conjunto X é um espaço topológico de primeira contagem dotado de uma medida de Borel (completa) µ. X é o suporte de μ e, para todo x em X , existe um conjunto aberto U contendo x e tendo medida finita. Então, essencialmente, o mesmo resultado se mantém:

Teorema . Suponha que K é um kernel definida positiva simétrica contínua em X . Se a função κ for L ¹ _μ ( X ), onde κ (x) = K (x, x), para todo x em X , então há um conjunto ortonormal { e _i } _i de L ² _μ ( X ) que consiste de autofunções de T _{K de} modo que a sequência correspondente de autovalores {λ _i } _i seja não negativa. As autofunções correspondentes a autovalores diferentes de zero são contínuas em X e K tem a representação

${\ displaystyle K (s, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {j} \, e_ {j} (s) \, e_ {j} (t)}$

onde a convergência é absoluta e uniforme em subconjuntos compactos de X .

A próxima generalização lida com representações de kernels mensuráveis .

Seja ( X , M , μ) um espaço de medida σ-finito. Um kernel L ² (ou integrável ao quadrado) em X é uma função

${\ displaystyle K \ in L _ {\ mu \ otimes \ mu} ^ {2} (X \ vezes X).}$

Os núcleos L ² definem um operador limitado T _K pela fórmula

${\ displaystyle \ langle T_ {K} \ varphi, \ psi \ rangle = \ int _ {X \ times X} K (y, x) \ varphi (y) \ psi (x) \, d [\ mu \ otimes \ mu] (y, x).}$

T _K é um operador compacto (na verdade, é até um operador de Hilbert-Schmidt ). Se o kernel K é simétrico, pelo teorema espectral , T _K tem uma base ortonormal de autovetores. Esses autovetores que correspondem a autovalores diferentes de zero podem ser organizados em uma sequência { e _i } _i (independentemente da separabilidade).

Teorema . Se K é um kernel simétrico positivo-definido em ( X , M , μ), então

${\ displaystyle K (y, x) = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} \ lambda _ {i} e_ {i} (y) e_ {i} (x)}$

onde a convergência na norma L ² . Observe que quando a continuidade do kernel não é assumida, a expansão não converge mais de maneira uniforme.

Condição de Mercer

Em matemática , diz-se que uma função de valor real K (x, y) cumpre a condição de Mercer se para todas as funções quadradas integráveis g ( x ) um tem

${\ displaystyle \ iint g (x) K (x, y) g (y) \, dx \, dy \ geq 0.}$

Analógico discreto

Isso é análogo à definição de uma matriz semidefinida positiva . Esta é uma matriz de dimensão , que satisfaz, para todos os vetores , a propriedade ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle (g, Kg) = g ^ {T} {\ cdot} Kg = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \, g_ {i} \, K_ {ij} \, g_ {j} \ geq 0}$.

Exemplos

Uma função constante positiva

${\ displaystyle K (x, y) = c \,}$

satisfaz a condição de Mercer, pois então a integral se torna pelo teorema de Fubini

${\ displaystyle \ iint g (x) \, c \, g (y) \, dxdy = c \ int \! g (x) \, dx \ int \! g (y) \, dy = c \ left ( \ int \! g (x) \, dx \ right) ^ {2}}$

o que de fato não é negativo .

Veja também

• Truque do kernel
• Teorema do Representante
• Teoria espectral
• Condição de Mercer

Notas

Referências

• Adriaan Zaanen, Linear Analysis , North Holland Publishing Co., 1960,
• Ferreira, JC, Menegatto, VA, Autovalores de operadores integrais definidos por núcleos definidos positivos suaves , Equação Integral e Teoria do Operador, 64 (2009), no. 1, 61–81. (Dá a generalização do teorema de Mercer para espaços métricos. O resultado é facilmente adaptado para os primeiros espaços topológicos contáveis)
• Konrad Jörgens , operadores lineares integrais , Pitman, Boston, 1982,
• Richard Courant e David Hilbert , Métodos de Física Matemática , vol 1, Interscience 1953,
• Robert Ash, Information Theory , Dover Publications, 1990,
• Mercer, J. (1909), "Funções de tipo positivo e negativo e sua conexão com a teoria das equações integrais", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 209 (441-458): 415-446, doi : 10.1098 / rsta .1909.0016,
• "Teorema de Mercer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• H. König, distribuição de valor próprio de operadores compactos , Birkhäuser Verlag, 1986. (Dá a generalização do teorema de Mercer para medidas finitas μ.)