Monomial - Monomial

Em matemática , um monômio é, grosso modo, um polinômio que possui apenas um termo . Duas definições de monômio podem ser encontradas:

Um monômio, também chamado de produto de potência , é um produto de potências de variáveis com expoentes inteiros não negativos ou, em outras palavras, um produto de variáveis, possivelmente com repetições. Por exemplo, é um monômio. A constante é um monômio, sendo igual ao produto vazio e a para qualquer variável . Se apenas uma única variável for considerada, isso significa que um monômio é ou uma potência de , com um inteiro positivo. Se várias variáveis são consideradas, digamos, em seguida, cada um pode ser dado um expoente, de modo que qualquer monomial é da forma com inteiros não negativos (tendo nota que qualquer expoente torna o fator correspondente igual a ). ${\ displaystyle x ^ {2} yz ^ {3} = xxyzzz}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle x ^ {0}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x, y, z,}$ ${\ displaystyle x ^ {a} y ^ {b} z ^ {c}}$ ${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 1}$
Um monômio é um monômio no primeiro sentido multiplicado por uma constante diferente de zero, chamada de coeficiente do monômio. Um monômio no primeiro sentido é um caso especial de um monômio no segundo sentido, onde está o coeficiente . Por exemplo, nesta interpretação e são monômios (no segundo exemplo, as variáveis são e o coeficiente é um número complexo ). ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle -7x ^ {5}}$ ${\ displaystyle (3-4i) x ^ {4} yz ^ {13}}$ ${\ displaystyle x, y, z,}$

No contexto dos polinômios de Laurent e das séries de Laurent , os expoentes de um monômio podem ser negativos e, no contexto das séries de Puiseux , os expoentes podem ser números racionais .

Uma vez que a palavra "monômio", bem como a palavra "polinômio", vem da palavra latina tardia "binômio" (binômio), ao alterar o prefixo "bi-" (dois em latim), um monômio deveria teoricamente ser chamado de "mononomial". "Monomial" é uma síncope por haplologia de "mononomial".

Comparação das duas definições

Com qualquer definição, o conjunto de monômios é um subconjunto de todos os polinômios que é fechado sob multiplicação.

Ambos os usos dessa noção podem ser encontrados e, em muitos casos, a distinção é simplesmente ignorada; consulte, por exemplo, exemplos para o primeiro e o segundo significado. Em discussões informais, a distinção raramente é importante e a tendência é para um segundo significado mais amplo. Ao estudar a estrutura de polinômios, no entanto, muitas vezes é definitivamente necessária uma noção com o primeiro significado. Este é o caso, por exemplo, quando se considera uma base monomial de um anel polinomial ou uma ordenação monomial dessa base. Um argumento a favor do primeiro significado também é que nenhuma outra noção óbvia está disponível para designar esses valores (o termo produto de potência está em uso, em particular quando monomial é usado com o primeiro significado, mas não faz a ausência de constantes claro também), enquanto o termo de noção de um polinômio inequivocamente coincide com o segundo significado de monômio.

O restante deste artigo assume o primeiro significado de "monomial".

Base monomial

O fato mais óbvio sobre os monômios (primeiro significado) é que qualquer polinômio é uma combinação linear deles, então eles formam uma base do espaço vetorial de todos os polinômios, chamada de base monomial - um fato de uso implícito constante em matemática.

Número

O número de monômios de grau nas variáveis é o número de multicombinações de elementos escolhidos entre as variáveis (uma variável pode ser escolhida mais de uma vez, mas a ordem não importa), que é dado pelo coeficiente multiconjunto . Essa expressão também pode ser dada na forma de um coeficiente binomial , como uma expressão polinomial em , ou usando um poder fatorial crescente de : ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ textstyle \ left (\! \! {\ binom {n} {d}} \! \! \ right)}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle d + 1}$

{\ displaystyle \ left (\! \! {\ binom {n} {d}} \! \! \ right) = {\ binom {n + d-1} {d}} = {\ binom {d + (n -1)} {n-1}} = {\ frac {(d + 1) \ vezes (d + 2) \ vezes \ cdots \ vezes (d + n-1)} {1 \ vezes 2 \ vezes \ cdots \ times (n-1)}} = {\ frac {1} {(n-1)!}} (d + 1) ^ {\ overline {n-1}}.}

As últimas formas são particularmente úteis quando se fixa o número de variáveis e permite que o grau varie. A partir dessas expressões, vê-se que, para n fixo , o número de monômios de grau d é uma expressão polinomial de grau com coeficiente líder . ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {(n-1)!}}}$

Por exemplo, o número de monômios em três variáveis ( ) de grau d é ; esses números formam a seqüência 1, 3, 6, 10, 15, ... de números triangulares . ${\ displaystyle n = 3}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (d + 1) ^ {\ overline {2}} = {\ frac {1} {2}} (d + 1) (d + 2)}$

A série de Hilbert é uma forma compacta de expressar o número de monômios de um determinado grau: o número de monômios de grau nas variáveis é o coeficiente de grau da expansão formal da série de potências de ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {(1-t) ^ {n}}}.}

O número de monômios de grau no máximo $d$ em $n$ variáveis é . Isso decorre da correspondência um a um entre os monômios de grau nas variáveis e os monômios de grau no máximo nas variáveis, que consiste em substituir por 1 a variável extra. ${\ textstyle {\ binom {n + d} {n}} = {\ binom {n + d} {d}}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$

Notação

A notação para monômios é constantemente necessária em campos como equações diferenciais parciais . Se as variáveis sendo usado formam uma família indexada como , , , ..., então índice múltiplo é útil: se escrevermos ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$

{\ displaystyle \ alpha = (a, b, c)}

nós podemos definir

{\ displaystyle x ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {a} \, x_ {2} ^ {b} \, x_ {3} ^ {c}}

para compactação.

Grau

O grau de um monômio é definido como a soma de todos os expoentes das variáveis, incluindo os expoentes implícitos de 1 para as variáveis que aparecem sem expoente; por exemplo, no exemplo da seção anterior, o grau é . O grau de é 1 + 1 + 2 = 4. O grau de uma constante diferente de zero é 0. Por exemplo, o grau de −7 é 0. ${\ displaystyle a + b + c}$ ${\ displaystyle xyz ^ {2}}$

O grau de um monômio às vezes é chamado de ordem, principalmente no contexto de série. Também é denominado grau total quando é necessário distingui-lo do grau em uma das variáveis.

O grau monomial é fundamental para a teoria dos polinômios univariados e multivariados. Explicitamente, é usado para definir o grau de um polinômio e a noção de polinômio homogêneo , bem como para ordenações monomiais graduadas usadas na formulação e cálculo de bases de Gröbner . Implicitamente, é usado para agrupar os termos de uma série de Taylor em várias variáveis .

Geometria

Na geometria algébrica, as variedades definidas por equações monomiais para algum conjunto de α têm propriedades especiais de homogeneidade. Isso pode ser expresso na linguagem de grupos algébricos , em termos da existência de uma ação de grupo de um toro algébrico (de forma equivalente por um grupo multiplicativo de matrizes diagonais ). Esta área é estudada sob o nome de embeddings torus . ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} = 0}$

Languages

In other projects