Não convexidade (economia) - Non-convexity (economics)

Em economia , a não-convexidade se refere a violações das premissas de convexidade da economia elementar . Os livros didáticos de economia básica se concentram em consumidores com preferências convexas (que não preferem extremos a valores intermediários) e conjuntos de orçamentos convexos e em produtores com conjuntos de produção convexos ; para modelos convexos, o comportamento econômico previsto é bem compreendido. Quando as suposições de convexidade são violadas, muitas das boas propriedades dos mercados competitivos não precisam ser mantidas: Assim, a não convexidade está associada a falhas de mercado , onde oferta e demanda diferem ou onde o equilíbrio do mercado pode ser ineficiente . Economias não convexas são estudadas com análises não suaves , que é uma generalização da análise convexa .

Demanda com muitos consumidores

Se um conjunto de preferências não for convexo , alguns preços determinam uma linha de orçamento que suporta duas cestas ótimas separadas . Por exemplo, podemos imaginar que, para zoológicos, um leão custa tanto quanto uma águia e, além disso, que o orçamento de um zoológico é suficiente para uma águia ou um leão. Podemos supor também que o zelador vê qualquer um dos animais como igualmente valiosos. Nesse caso, o zoológico compraria um leão ou uma águia. Claro, um zelador contemporâneo não quer comprar metade de uma águia e metade de um leão. Assim, as preferências do tratador do zoológico são não convexas: o tratador do zoológico prefere ter qualquer um dos animais a ter qualquer combinação estritamente convexa de ambos.

Quando as preferências do consumidor têm concavidades, os orçamentos lineares não precisam suportar um equilíbrio : os consumidores podem pular entre duas alocações separadas (de igual utilidade ).

Quando o conjunto de preferências do consumidor não é convexo, então (para alguns preços) a demanda do consumidor não está conectada ; Uma demanda desconectada implica algum comportamento descontínuo por parte do consumidor, conforme discutido por Harold Hotelling :

Se as curvas de indiferença para compras forem pensadas como possuindo um caráter ondulado, convexas à origem em algumas regiões e côncavas em outras, somos forçados a concluir que apenas as porções convexas à origem podem ser consideradas como possuindo alguma importância , uma vez que os outros são essencialmente inobserváveis. Eles podem ser detectados apenas pelas descontinuidades que podem ocorrer na demanda com variação nas taxas de preços, levando a um salto abrupto de um ponto de tangência através de um abismo quando a linha reta é girada. Mas, embora tais descontinuidades possam revelar a existência de abismos, elas nunca podem medir sua profundidade. As porções côncavas das curvas de indiferença e suas generalizações multidimensionais, se existirem, devem permanecer para sempre em uma obscuridade incomensurável.

As dificuldades de estudar preferências não convexas foram enfatizadas por Herman Wold e novamente por Paul Samuelson , que escreveu que as não convexidades estão "envoltas em trevas eternas ...", segundo Diewert.

Quando as suposições de convexidade são violadas, muitas das boas propriedades dos mercados competitivos não precisam ser mantidas: Assim, a não convexidade está associada a falhas de mercado , onde oferta e demanda diferem ou onde o equilíbrio do mercado pode ser ineficiente . As preferências não convexas foram iluminadas de 1959 a 1961 por uma sequência de artigos no The Journal of Political Economy ( JPE ). Os principais contribuintes foram Michael Farrell , Francis Bator, Tjalling Koopmans e Jerome Rothenberg. Em particular, o artigo de Rothenberg discutiu a convexidade aproximada de somas de conjuntos não convexos. Esses artigos do JPE estimularam um artigo de Lloyd Shapley e Martin Shubik , que considerou as preferências convexas do consumidor e introduziu o conceito de "equilíbrio aproximado". Os jornais JPE e Shapley – Shubik influenciaram outra noção de "quase-equilíbrio", devido a Robert Aumann .

Os conjuntos não convexos foram incorporados nas teorias de equilíbrio econômico geral. Esses resultados são descritos em livros didáticos de pós-graduação em microeconomia , teoria do equilíbrio geral, teoria dos jogos , economia matemática e matemática aplicada (para economistas). O lema de Shapley-Folkman estabelece que as não convexidades são compatíveis com equilíbrios aproximados em mercados com muitos consumidores; esses resultados também se aplicam a economias de produção com muitas pequenas empresas .

Abastecimento com poucos produtores

A não convexidade é importante em oligopólios e, especialmente, monopólios . As preocupações com os grandes produtores explorando o poder de mercado iniciaram a literatura sobre conjuntos não convexos, quando Piero Sraffa escreveu sobre empresas com retornos crescentes de escala em 1926, após o que Harold Hotelling escreveu sobre preços de custo marginal em 1938. Tanto Sraffa quanto Hotelling iluminaram o mercado poder de produtores sem concorrentes, estimulando claramente uma literatura do lado da oferta da economia.

Economia contemporânea

Pesquisas recentes em economia reconheceram a não convexidade em novas áreas da economia. Nessas áreas, a não convexidade está associada a falhas de mercado , onde o equilíbrio não precisa ser eficiente ou onde não existe equilíbrio competitivo porque a oferta e a demanda diferem. Conjuntos não convexos surgem também com bens ambientais (e outras externalidades ) e com falhas de mercado e economia pública . As não-convexidades também ocorrem com a economia da informação e com os mercados de ações (e outros mercados incompletos ). Essas aplicações continuaram a motivar os economistas a estudar conjuntos não convexos. Em alguns casos, a precificação ou negociação não linear pode superar as falhas dos mercados com preços competitivos; em outros casos, a regulamentação pode ser justificada.

Otimização ao longo do tempo

Consulte também: Equação de Bellman , controle ideal e programação dinâmica

As aplicações mencionadas anteriormente referem-se a não-convexidades em espaços vetoriais de dimensão finita , onde os pontos representam pacotes de mercadorias. No entanto, os economistas também consideram problemas dinâmicos de otimização ao longo do tempo, usando as teorias de equações diferenciais , sistemas dinâmicos , processos estocásticos e análise funcional : Os economistas usam os seguintes métodos de otimização:

Nessas teorias, problemas regulares envolvem funções convexas definidas em domínios convexos, e essa convexidade permite simplificações de técnicas e interpretações econômicas significativas dos resultados. Em economia, a programação dinâmica foi usada por Martin Beckmann e Richard F. Muth para trabalhar na teoria do estoque e na teoria do consumo . Robert C. Merton usou a programação dinâmica em seu artigo de 1973 sobre o modelo de precificação de ativos de capital intertemporal . (Veja também o problema do portfólio de Merton ). No modelo de Merton, os investidores escolhem entre a renda hoje e a renda futura ou ganhos de capital, e sua solução é encontrada por meio de programação dinâmica. Stokey, Lucas & Prescott usam programação dinâmica para resolver problemas de teoria econômica, problemas envolvendo processos estocásticos. A programação dinâmica tem sido usada para otimizar o crescimento econômico , extração de recursos , problemas do agente principal , finanças públicas , investimento empresarial , precificação de ativos , fornecimento de fatores e organização industrial . Ljungqvist & Sargent aplicam a programação dinâmica para estudar uma variedade de questões teóricas em política monetária , política fiscal , tributação , crescimento econômico, teoria da pesquisa e economia do trabalho . Dixit & Pindyck usaram programação dinâmica para orçamento de capital . Para problemas dinâmicos, não-convexidades também estão associadas a falhas de mercado, assim como para problemas de tempo fixo.

Análise não suave

Os economistas têm estudado cada vez mais conjuntos não convexos com análises não suaves , que generalizam a análise convexa . A análise convexa centra-se em conjuntos convexos e funções convexas, para os quais fornece ideias poderosas e resultados claros, mas não é adequada para a análise de não convexidades, como retornos crescentes de escala. "Não convexidades na produção e no consumo ... ferramentas matemáticas necessárias que iam além da convexidade, e o desenvolvimento posterior teve que esperar a invenção do cálculo não suave": Por exemplo, o cálculo diferencial de Clarke para funções contínuas de Lipschitz , que utiliza o teorema de Rademacher e que é descrito por Rockafellar & Wets (1998) e Mordukhovich (2006) , segundo Khan (2008) . Brown (1995 , pp. 1967-1968) escreveu que a "principal inovação metodológica na análise de equilíbrio geral das empresas com regras de preços" foi "a introdução dos métodos de análise não suave, como uma [síntese] da análise global ( topologia diferencial) e [de] análise convexa. " De acordo com Brown (1995 , p. 1966) , "A análise não suave estende a aproximação local de variedades por planos tangentes [e estende] a aproximação análoga de conjuntos convexos por cones tangentes para conjuntos" que podem ser não suaves ou não convexo.

Veja também

Notas

Referências

links externos

Heal, GM (abril de 1998). A Economia de Retornos Crescentes (PDF) . PaineWebber - série de documentos de trabalho sobre dinheiro, economia e finanças. Columbia Business School. PW-97-20. Arquivado do original (PDF) em 15 de setembro de 2015 . Página visitada em 5 de março de 2011 .