Nullstellensatz de Hilbert - Hilbert's Nullstellensatz

O Nullstellensatz de Hilbert (alemão para "teorema dos zeros" ou, mais literalmente, "teorema do locus zero" - veja Satz ) é um teorema que estabelece uma relação fundamental entre geometria e álgebra . Essa relação é a base da geometria algébrica , um ramo da matemática . Relaciona conjuntos algébricos a ideais em anéis polinomiais sobre campos algébricamente fechados . Essa relação foi descoberta por David Hilbert, que provou o Nullstellensatz e vários outros importantes teoremas relacionados com seu nome (como o teorema de base de Hilbert ).

Formulação

Seja k um campo (como os números racionais ) e K uma extensão de campo algebraicamente fechada (como os números complexos ). Considere o anel polinomial e deixe- me ser um ideal neste anel. O conjunto algébrica V ( I ) definido por este ideal consiste em todos os n -tuples x = ( x ₁ , ..., x _n ) na K ⁿ tal que f ( x ) = 0 para todos os f em I . O Nullstellensatz de Hilbert afirma que se p é algum polinômio que desaparece no conjunto algébrico V ( I ), ou seja, p ( x ) = 0 para todo x em V ( I ), então existe um número natural r tal que p ^r está em Eu . ${\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$

Um corolário imediato é o Nullstellensatz fraco : o ideal contém 1 se e somente se os polinômios em I não têm nenhum zeros comum em K ⁿ . Também pode ser formulado da seguinte forma: se I é um ideal próprio em então V ( I ) não pode ser vazio , isto é, existe um zero comum para todos os polinômios no ideal em toda extensão algebraicamente fechada de k . Esta é a razão do nome do teorema, que pode ser facilmente provado a partir da forma 'fraca' usando o truque de Rabinowitsch . A suposição de considerar zeros comuns em um campo algébricamente fechado é essencial aqui; por exemplo, os elementos do ideal adequado ( X ² + 1) em não têm um zero comum em ${\ displaystyle I \ subset k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}],}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Com a notação comum na geometria algébrica, o Nullstellensatz também pode ser formulado como

{\ displaystyle {\ hbox {I}} ({\ hbox {V}} (J)) = {\ sqrt {J}}}

para cada J ideal . Aqui, denota o radical de J e I ( L ) é o ideal de todos os polinômios que desaparecem no set U . ${\ displaystyle {\ sqrt {J}}}$

Desta forma, obtemos um de inversão de ordem bijective correspondência entre os conjuntos algébricas em K ⁿ e os ideais radicais de Na verdade, em termos mais gerais, um tem uma conexão de Galois entre os subconjuntos do espaço e subgrupos da álgebra, onde " fecho Zariski "e" radical do ideal gerado "são os operadores de fechamento . ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}].}$

Como um exemplo particular, considere um ponto . Então . De forma geral, ${\ displaystyle P = (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in K ^ {n}}$ ${\ displaystyle I (P) = (X_ {1} -a_ {1}, \ ldots, X_ {n} -a_ {n})}$

{\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ bigcap _ {(a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in V (I)} (X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n}).}

Por outro lado, todo ideal máximo do anel polinomial (observe que é algebricamente fechado) tem a mesma forma para alguns . ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (X_ {1} -a_ {1}, \ ldots, X_ {n} -a_ {n})}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in K}$

Como outro exemplo, um subconjunto algébrico W em K ⁿ é irredutível (na topologia de Zariski) se e somente se for um ideal primo. ${\ displaystyle I (W)}$

Prova e generalização

Existem muitas provas conhecidas do teorema. Uma prova usa o lema de Zariski , que afirma que se um campo é gerado finitamente como uma álgebra associativa sobre um corpo k , então é uma extensão de corpo finita de k (isto é, também é gerado finitamente como um espaço vetorial ). Aqui está um esboço dessa prova.

Seja ( k campo algebricamente fechado), I um ideal de A e V os zeros comuns de I em . Claramente ,. Deixe . Então , por algum ideal primo em A . Deixe e um ideal máximo em . Pelo lema de Zariski, é uma extensão finita de k ; portanto, é k, pois k é fechado algebricamente. Deixe ser as imagens sob o mapa natural . Segue isso e . ${\ displaystyle A = k [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}]}$ ${\ displaystyle k ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {I}} \ subseteq I (V)}$ ${\ displaystyle f \ not \ in {\ sqrt {I}}}$ ${\ displaystyle f \ not \ in {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ supseteq I}$ ${\ displaystyle R = (A / {\ mathfrak {p}}) [f ^ {- 1}]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle A \ a k}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in V}$ ${\ displaystyle f (x) \ neq 0}$

O Nullstellensatz também segue trivialmente a partir de um desenvolvimento sistemático de anéis de Jacobson , nos quais um ideal radical é uma interseção de ideais máximos. Deixe ser um anel de Jacobson. Se é um número finito gerado R -álgebra , em seguida, é um anel de Jacobson. Além disso, se é um ideal máximo, então é um ideal máximo de R e é um campo de extensão finito de . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} \ subconjunto S}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}: = {\ mathfrak {n}} \ cap R}$ ${\ displaystyle S / {\ mathfrak {n}}}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$

Outra generalização afirma que um morfismo fielmente plano de esquemas localmente de tipo finito com X quase-compacto tem uma quase seção , ou seja, existe afino e fielmente plano e quase finito sobre X junto com um X- morfismo ${\ displaystyle f: Y \ to X}$ ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X '\ a Y}$

Nullstellensatz eficaz

Em todas as suas variantes, o Nullstellensatz de Hilbert afirma que algum polinômio $g$ pertence ou não a um ideal gerado, digamos, por $f 1, ..., f k$ ; temos $g = f r$ na versão forte, $g = 1$ na forma fraca. Isso significa a existência ou não existência de polinômios $g 1, ..., g k$ tais que $g = f 1 g 1 + ... + f k g k$ . As provas usuais do Nullstellensatz não são construtivas, ineficazes, no sentido de que não fornecem nenhuma forma de calcular o $g i$ .

Portanto, é uma questão bastante natural perguntar se existe uma maneira eficaz de calcular $g i$ (e o expoente $r$ na forma forte) ou provar que eles não existem. Para resolver este problema, é suficiente fornecer um limite superior para o grau total de $g i$ : tal limite reduz o problema a um sistema finito de equações lineares que pode ser resolvido por técnicas usuais de álgebra linear . Qualquer limite superior é chamado de Nullstellensatz eficaz .

Um problema relacionado é o problema de pertinência ideal , que consiste em testar se um polinômio pertence a um ideal. Também para este problema, uma solução é fornecida por um limite superior no grau de $g i$ . Uma solução geral do problema de filiação ideal fornece um Nullstellensatz eficaz, pelo menos para a forma fraca.

Em 1925, Grete Hermann deu um limite superior para o problema de associação ideal que é duplamente exponencial no número de variáveis. Em 1982, Mayr e Meyer deram um exemplo em que $g i$ tem um grau que é pelo menos duplamente exponencial, mostrando que todo limite superior geral para o problema de pertinência ideal é duplamente exponencial no número de variáveis.

Como a maioria dos matemáticos da época presumia que o Nullstellensatz efetivo era pelo menos tão difícil quanto a filiação ideal, poucos matemáticos buscaram um limite melhor do que o exponencial duplo. Em 1987, entretanto, W. Dale Brownawell deu um limite superior para o Nullstellensatz efetivo que é simplesmente exponencial no número de variáveis. A prova de Brownawell baseou-se em técnicas analíticas válidas apenas na característica 0, mas, um ano depois, János Kollár deu uma prova puramente algébrica, válida em qualquer característica, de um limite ligeiramente melhor.

No caso do Nullstellensatz fraco, o limite de Kollár é o seguinte:

Sejam

f 1, ..., f s

polinômios em

n \geq 2

variáveis, de grau total

d 1 \geq ... \geq d s

. Se existirem polinômios

g i

tais que

f 1 g 1 + ... + f s g s = 1

, então eles podem ser escolhidos de forma que

{\ displaystyle \ deg (f_ {i} g_ {i}) \ leq \ max (d_ {s}, 3) \ prod _ {j = 1} ^ {\ min (n, s) -1} \ max ( d_ {j}, 3).}

Esse limite é ideal se todos os graus forem maiores que 2.

Se $d$ é o máximo dos graus de $f i$ , este limite pode ser simplificado para

{\ displaystyle \ max (3, d) ^ {\ min (n, s)}.}

O resultado de Kollár foi aprimorado por vários autores. Em 14 de outubro de 2012, a melhor melhoria, devido a M. Sombra, é

{\ displaystyle \ deg (f_ {i} g_ {i}) \ leq 2d_ {s} \ prod _ {j = 1} ^ {\ min (n, s) -1} d_ {j}.}

Seu limite melhora o de Kollár assim que pelo menos dois dos graus envolvidos forem inferiores a 3.

Projetiva Nullstellensatz

Podemos formular uma certa correspondência entre ideais homogêneos de polinômios e subconjuntos algébricos de um espaço projetivo, denominado Nullstellensatz projetivo , que é análogo ao afim. Para fazer isso, apresentamos algumas notações. Deixe O ideal homogêneo, ${\ displaystyle R = k [t_ {0}, \ ldots, t_ {n}].}$

{\ displaystyle R _ {+} = \ bigoplus _ {d \ geqslant 1} R_ {d}}

é chamado de ideal homogêneo máximo (ver também ideal irrelevante ). Como no caso afim, deixamos: para um subconjunto e um ideal homogêneo I de R , ${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {P} ^ {n}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S) & = \ {f \ in R _ {+} \ mid f = 0 {\ text {on }} S \}, \\\ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I) & = \ {x \ in \ mathbb {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {para todos}} f \ in I \}. \ End {alinhado}}}

Por que queremos dizer: para cada coordenadas homogêneas de um ponto de S temos . Isso implica que os componentes homogêneos de f também são zero em S e, portanto, esse é um ideal homogêneo. Equivalentemente, é o ideal homogênea gerado por polinômios homogêneos de f que desaparecem em S . Agora, para qualquer ideal homogêneo , pelo usual Nullstellensatz, temos: ${\ displaystyle f = 0 {\ text {on}} S}$ ${\ displaystyle (a_ {0}: \ cdots: a_ {n})}$ ${\ displaystyle f (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S)}$ ${\ displaystyle I \ subseteq R _ {+}}$

{\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (\ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I)) ,}

e assim, como no caso afim, temos:

Existe uma correspondência inversa de ordem um a um entre ideais radicais homogêneos adequados de R e subconjuntos de da forma. A correspondência é dada por e

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}

{\ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I).}

{\ displaystyle \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}}

{\ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}.}

Nullstellensatz analítico

O Nullstellensatz também é válido para os germes de funções holomórficas em um ponto de n- espaço complexo. Precisamente, para cada subconjunto aberto, deixe denotar o anel de funções holomórficas em U ; então é um feixe no caule , digamos, a origem pode ser mostrada como um anel local noetheriano que é um domínio de fatoração único . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C} ^ {n},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}} (U)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$

Se é um germe representado por uma função holomórfica , então seja a classe de equivalência do conjunto ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {f}}: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle V_ {0} (f)}$

{\ displaystyle \ left \ {z \ in U | {\ widetilde {f}} (z) = 0 \ right \},}

onde dois subconjuntos são considerados equivalentes se por algum bairro U de 0. Nota é independente da escolha do representante para cada ideal let denote para alguns geradores de I . Está bem definido; ou seja, é independente da escolha dos geradores. ${\ displaystyle X, Y \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ cap U = Y \ cap U}$ ${\ displaystyle V_ {0} (f)}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {f}}.}$ ${\ displaystyle I \ subset {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0},}$ ${\ displaystyle V_ {0} (I)}$ ${\ displaystyle V_ {0} (f_ {1}) \ cap \ dots \ cap V_ {0} (f_ {r})}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r}}$

Para cada subconjunto , deixe ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$

{\ displaystyle I_ {0} (X) = \ left \ {f \ in {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0} | V_ {0} (f) \ supset X \certo\}.}

É fácil ver que é um ideal de e que se no sentido discutido acima. ${\ displaystyle I_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$ ${\ displaystyle I_ {0} (X) = I_ {0} (Y)}$ ${\ displaystyle X \ sim Y}$