Formulário único - One-form

Funcionais lineares (formas 1) α , β e sua soma σ e vetores u , v , w , no espaço euclidiano 3d . O número de hiperplanos (de uma forma) interceptados por um vetor é igual ao produto interno .

Na álgebra linear , uma forma única em um espaço vetorial é igual a um funcional linear no espaço. O uso de uma forma neste contexto geralmente distingue as formas únicas de funcionais multilineares de grau superior no espaço. Para obter detalhes, consulte linear funcional .

Na geometria diferencial , uma forma única em uma variedade diferenciável é uma seção lisa do feixe cotangente . De maneira equivalente, uma forma um-em um colector M é um mapeamento suave do espaço total do feixe de tangente de M para cuja restrição para cada fibra é uma funcional linear no espaço tangente. Simbolicamente, ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ alpha: TM \ rightarrow {\ mathbb {R}}, \ quad \ alpha _ {x} = \ alpha | _ {T_ {x} M}: T_ {x} M \ rightarrow {\ mathbb {R }},}$

onde α _x é linear.

Freqüentemente, as formas únicas são descritas localmente , particularmente em coordenadas locais . Em um sistema de coordenadas local, uma forma única é uma combinação linear das diferenciais das coordenadas:

${\ displaystyle \ alpha _ {x} = f_ {1} (x) \, dx_ {1} + f_ {2} (x) \, dx_ {2} + \ cdots + f_ {n} (x) \, dx_ {n},}$

onde f _i são funções suaves. Desta perspectiva, uma forma única tem uma lei de transformação covariante ao passar de um sistema de coordenadas para outro. Assim, uma forma única é um campo tensor covariante de ordem 1 .

Exemplos

Formulários

Muitos conceitos do mundo real podem ser descritos como formas únicas:

• Indexando em um vetor: O segundo elemento de um vetor triplo é dado pela forma única [0, 1, 0]. Ou seja, o segundo elemento de [ x ,  y ,  z ] é

[0, 1, 0] · [ x ,  y ,  z ] =  y .

• Média : O elemento médio de um n- vetor é dado pela forma única [1 / n , 1 / n , ..., 1 / n ]. Isso é,

${\ displaystyle \ operatorname {mean} (v) = [1 / n, 1 / n, \ dots, 1 / n] \ cdot v.}$

• Amostragem : a amostragem com um kernel pode ser considerada uma forma única, onde a forma única é o kernel deslocado para o local apropriado.
• O valor presente líquido de um fluxo de caixa líquido , R ( t ), é dado pela forma única w ( t ): = (1 +  i ) ^{- t} onde i é a taxa de desconto . Isso é,

${\ displaystyle \ mathrm {NPV} (R ​​(t)) = \ langle w, R \ rangle = \ int _ {t = 0} ^ {\ infty} {\ frac {R (t)} {(1 + i ) ^ {t}}} \, dt.}$

Diferencial

A forma diferencial não trivial mais básica é a forma de "mudança no ângulo". Ela é definida como a derivada da "função" do ângulo (que é definida apenas até uma constante aditiva), que pode ser explicitamente definida em termos de a função atan2 Tomando a derivada produz a seguinte fórmula para a derivada total : ${\ displaystyle d \ theta.}$${\ displaystyle \ theta (x, y)}$${\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = \ operatorname {arctan} (y / x).}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} d \ theta & = \ parcial _ {x} \ left (\ operatorname {atan2} (y, x) \ right) dx + \ partial _ {y} \ left (\ operatorname {atan2 } (y, x) \ right) dy \\ & = - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy \ end {alinhado}}}$

Embora a "função" do ângulo não possa ser definida continuamente - a função atan2 é descontínua ao longo do eixo y negativo - o que reflete o fato de que o ângulo não pode ser definido continuamente, esta derivada é continuamente definida, exceto na origem, refletindo o fato de que infinitesimal ( e, de fato, locais) mudanças no ângulo podem ser definidas em qualquer lugar, exceto na origem. A integração dessa derivada ao longo de um caminho fornece a mudança total no ângulo ao longo do caminho, e a integração em um loop fechado fornece o número do enrolamento vezes 2 π .

Na linguagem da geometria diferencial , esta derivada é de uma forma e é fechada (sua derivada é zero), mas não exata (não é a derivada de uma forma 0, ou seja, uma função), e de fato é gera a primeira cohomologia de Rham do plano perfurado . Este é o exemplo mais básico de tal forma e é fundamental na geometria diferencial.

Diferencial de uma função

Artigo principal: Diferencial de uma função

Deixe ser aberto (por exemplo, um intervalo ) e considere uma função diferenciável , com derivada f ' . O diferencial df de f , em um ponto , é definido como um certo mapa linear da variável dx . Especificamente ,. (O significado do símbolo dx é assim revelado: é simplesmente um argumento, ou variável independente, da função linear .) Conseqüentemente, o mapa envia cada ponto x para um funcional linear . Este é o exemplo mais simples de uma (uma) forma diferencial. ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (a, b)}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ em U}$${\ displaystyle df (x_ {0}, \ cdot): dx \ mapsto f '(x_ {0}) dx}$${\ displaystyle df (x_ {0}, \ cdot)}$${\ displaystyle x \ mapsto df (x)}$${\ displaystyle df (x, \ cdot)}$

Em termos do complexo de cochain de Rham , tem-se uma atribuição de formas zero (funções escalares) a formas únicas , isto é ,. ${\ displaystyle f \ mapsto df}$

Veja também

• Produto Interno
• Rede recíproca
• Tensor

Referências