Padé approximant - Padé approximant

Em matemática , um aproximante de Padé é a "melhor" aproximação de uma função por uma função racional de ordem dada - nesta técnica, a série de potências da aproximante concorda com a série de potências da função que está aproximando. A técnica foi desenvolvida por volta de 1890 por Henri Padé , mas remonta a Georg Frobenius , que introduziu a ideia e investigou as características das aproximações racionais das séries de potências.

A aproximação de Padé freqüentemente oferece uma melhor aproximação da função do que truncar sua série de Taylor , e ainda pode funcionar onde a série de Taylor não converge . Por essas razões, os aproximantes Padé são usados ​​extensivamente em cálculos de computador . Eles também têm sido usados ​​como funções auxiliares , na aproximação de Diofantina e na teoria dos números transcendentais , embora para resultados pontuais métodos ad hoc , em certo sentido inspirados na teoria de Padé, normalmente os substituam. Visto que a aproximação de Padé é uma função racional, um ponto singular artificial pode ocorrer como uma aproximação, mas isso pode ser evitado pela análise de Borel-Padé .

A razão pela qual o aproximante de Padé tende a ser uma aproximação melhor do que uma série de Taylor truncada é clara do ponto de vista do método de soma de vários pontos. Uma vez que há muitos casos em que a expansão assintótica no infinito torna-se 0 ou uma constante, ela pode ser interpretada como a "aproximação de Padé incompleta de dois pontos", em que a aproximação de Padé comum melhora o método truncando uma série de Taylor .

Definição

Dada uma função f e dois inteiros m ≥ 0 en ≥ 1, o aproximante de Padé de ordem [ m / n ] é a função racional

${\ displaystyle R (x) = {\ frac {\ sum _ {j = 0} ^ {m} a_ {j} x ^ {j}} {1+ \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x ^ {k}}} = {\ frac {a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ pontos + a_ {m} x ^ {m}} { 1 + b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + \ pontos + b_ {n} x ^ {n}}},}$

que concorda com f ( x ) para o pedido mais alto possível, o que equivale a

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f (0) & = R (0), \\ f '(0) & = R' (0), \\ f '' (0) & = R '' (0) ), \\ & \ vdots \\ f ^ {(m + n)} (0) & = R ^ {(m + n)} (0). \ end {alinhado}}}$

Equivalentemente, se for expandido em uma série Maclaurin (série de Taylor em 0), seus primeiros termos cancelariam os primeiros termos de , e como tal ${\ displaystyle R (x)}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) -R (x) = c_ {m + n + 1} x ^ {m + n + 1} + c_ {m + n + 2} x ^ {m + n + 2} + \ pontos}$

O aproximante de Padé é único para dados m e n , ou seja, os coeficientes podem ser determinados de forma única. É por razões de exclusividade que o termo de ordem zero no denominador de foi escolhido como 1, caso contrário, o numerador e o denominador de teriam sido únicos apenas até a multiplicação por uma constante. ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {m}, b_ {1}, \ dots, b_ {n}}$${\ displaystyle R (x)}$${\ displaystyle R (x)}$

O aproximante Padé definido acima também é denotado como

${\ displaystyle [m / n] _ {f} (x).}$

Computação

Para determinado x , as aproximações de Padé podem ser calculadas pelo algoritmo épsilon de Wynn e também outras transformações de sequência a partir das somas parciais

${\ displaystyle T_ {N} (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + \ cdots + c_ {N} x ^ {N}}$

da série de Taylor de f , ou seja, temos

${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}}.}$

f também pode ser uma série de potências formal e, portanto, os aproximados de Padé também podem ser aplicados ao somatório de séries divergentes .

Uma maneira de calcular uma aproximação de Padé é por meio do algoritmo Euclidiano estendido para o maior divisor comum polinomial . A relação

${\ displaystyle R (x) = P (x) / Q (x) = T_ {m + n} (x) {\ text {mod}} x ^ {m + n + 1}}$

é equivalente à existência de algum fator tal que ${\ displaystyle K (x)}$

${\ displaystyle P (x) = Q (x) T_ {m + n} (x) + K (x) x ^ {m + n + 1},}$

que pode ser interpretada como a identidade de Bézout de uma etapa no cálculo do máximo divisor comum estendido dos polinômios e . ${\ displaystyle T_ {m + n} (x)}$${\ displaystyle x ^ {m + n + 1}}$

Para recapitular: para calcular o maior divisor comum de dois polinômios p e q , calcula-se por meio de divisão longa a sequência restante

${\ displaystyle r_ {0} = p, \; r_ {1} = q, \ quad r_ {k-1} = q_ {k} r_ {k} + r_ {k + 1},}$

k = 1, 2, 3, ... com , até . Para as identidades de Bézout do maior divisor comum estendido, calcula-se simultaneamente as duas sequências polinomiais ${\ displaystyle \ deg r_ {k + 1} <\ deg r_ {k} \,}$${\ displaystyle r_ {k + 1} = 0}$

${\ displaystyle u_ {0} = 1, \; v_ {0} = 0, \ quad u_ {1} = 0, \; v_ {1} = 1, \ quad u_ {k + 1} = u_ {k- 1} -q_ {k} u_ {k}, \; v_ {k + 1} = v_ {k-1} -q_ {k} v_ {k}}$

obter em cada etapa a identidade Bézout

${\ displaystyle r_ {k} (x) = u_ {k} (x) p (x) + v_ {k} (x) q (x).}$

Para o aproximado [ m / n ], realiza-se, portanto, o algoritmo euclidiano estendido para

${\ displaystyle r_ {0} = x ^ {m + n + 1}, \; r_ {1} = T_ {m + n} (x)}$

e o interrompe no último instante de grau n ou menor. ${\ displaystyle v_ {k}}$

Então os polinômios fornecem a aproximação de [ m / n ] Padé. Se alguém fosse computar todas as etapas do cálculo estendido do maior divisor comum, obteria uma anti-diagonal da tabela de Pade . ${\ displaystyle P = r_ {k}, \; Q = v_ {k}}$

Função zeta Riemann-Padé

Para estudar a retomada de uma série divergente , digamos

${\ displaystyle \ sum _ {z = 1} ^ {\ infty} f (z),}$

pode ser útil introduzir a função Padé ou simplesmente zeta racional como

${\ displaystyle \ zeta _ {R} (s) = \ sum _ {z = 1} ^ {\ infty} {\ frac {R (z)} {z ^ {s}}},}$

Onde

${\ displaystyle R (x) = [m / n] _ {f} (x) \,}$

é a aproximação de Padé de ordem ( m , n ) da função f ( x ). O valor de regularização zeta em s = 0 é considerado a soma das séries divergentes.

A equação funcional para esta função Padé zeta é

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {j} \ zeta _ {R} (sj) = \ sum _ {j = 0} ^ {m} b_ {j} \ zeta _ {0 } (sj),}$

onde a _j e b _j são os coeficientes na aproximação de Padé. O subscrito '0' significa que o Padé é da ordem [0/0] e, portanto, temos a função zeta de Riemann.

Método DLog Padé

Os aproximados de Padé podem ser usados ​​para extrair pontos críticos e expoentes de funções. Em termodinâmica, se uma função f ( x ) se comporta de uma forma não-analítico perto de um ponto x = r como , um chamadas x = r um ponto crítico e p o expoente crítico associado de f . Se termos suficientes da expansão em série de f são conhecidos, pode-se extrair aproximadamente os pontos críticos e os expoentes críticos respectivamente dos pólos e resíduos dos aproximantes de Padé onde . ${\ displaystyle f (x) \ sim | xr | ^ {p}}$${\ displaystyle [n / n + 1] _ {g} (x)}$${\ displaystyle g = {\ frac {f '} {f}}}$

Generalizações

Uma aproximação Padé aproxima uma função em uma variável. Uma aproximação em duas variáveis ​​é chamada de aproximação de Chisholm (em homenagem a JSR Chisholm ), em múltiplas variáveis ​​uma aproximação de Canterbury (em homenagem a Graves-Morris na Universidade de Kent).

Dois pontos Pade aproximant

A aproximação Padé convencional é determinada para reproduzir a expansão Maclaurin até uma determinada ordem. Portanto, a aproximação do valor além do ponto de expansão pode ser pobre. Isso é evitado pela aproximação de Padé de 2 pontos, que é um tipo de método de soma multiponto. Em , considere um caso em que uma função que é expressa por comportamento assintótico , ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {0} (x)}$

${\ displaystyle f \ sim f_ {0} (x) + o (f_ {0} (x)) (x \ rightarrow 0)}$

Além disso, em , comportamento assintótico adicional${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle f _ {\ infty} (x)}$

${\ displaystyle f (x) \ sim f _ {\ infty} (x) + o (f _ {\ infty} (x)) (x \ rightarrow \ infty)}$

Ao selecionar o comportamento principal de , funções aproximadas de modo que reproduzam simultaneamente o comportamento assintótico através do desenvolvimento da aproximação de Padé podem ser encontradas em vários casos. Como resultado, no ponto onde a precisão da aproximação pode ser a pior na aproximação de Pade comum, uma boa precisão da aproximação de Pade de 2 pontos é garantida. Portanto, a aproximação Pade de 2 pontos pode ser um método que fornece uma boa aproximação global para . ${\ displaystyle f_ {0} (x), f _ {\ infty} (x)}$${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle x = 0 \ sim \ infty}$

Nos casos que são expressos por polinômios ou séries de potências negativas, função exponencial, função logarítmica ou , podemos aplicar aproximadamente 2 pontos de Padé . Existe um método de usar isso para fornecer uma solução aproximada de uma equação diferencial com alta precisão. Além disso, para os zeros não triviais da função zeta de Riemann, o primeiro zero não trivial pode ser estimado com alguma precisão a partir do comportamento assintótico no eixo real. ${\ displaystyle f_ {0} (x), f _ {\ infty} (x)}$${\ displaystyle x \ ln x}$${\ displaystyle f (x)}$

Multi-point Pade approximant

Uma extensão adicional do Pade approximant de 2 pontos é o Pade aproximant de vários pontos. Este método trata os pontos de singularidade de uma função que deve ser aproximada. Considere os casos em que as singularidades de uma função são expressas com índice por ${\ displaystyle x = x_ {j} (j = 1,2,3 \ cdots, N)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle n_ {j}}$

${\ displaystyle f (x) \ sim {\ frac {A_ {j}} {(x-x_ {j}) ^ {n_ {j}}}} (x \ rightarrow x_ {j})}$

Além da aproximação Pade de 2 pontos que inclui informações em , este método aproxima para reduzir a propriedade de divergir em . Como resultado, uma vez que a informação da peculiaridade da função é capturada, a aproximação de uma função pode ser realizada com maior precisão. ${\ displaystyle x = 0, x \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle x \ sim x_ {j}}$${\ displaystyle f (x)}$

Exemplos

sin ( x )

${\ displaystyle \ sin (x) \ approx {\ frac {(12671/4363920) x ^ {5} - (2363/18183) x ^ {3} + x} {1+ (445/12122) x ^ {2 } + (601/872784) x ^ {4} + (121/16662240) x ^ {6}}}}$

exp ( x )

${\ displaystyle \ exp (x) \ approx {\ frac {1+ (1/2) x + (1/9) x ^ {2} + (1/72) x ^ {3} + (1/1008) x ^ {4} + (1/30240) x ^ {5}} {1- (1/2) x + (1/9) x ^ {2} - (1/72) x ^ {3} + (1 / 1008) x ^ {4} - (1/30240) x ^ {5}}}}$

Jacobi ${\ displaystyle \ mathrm {SN} (z, 3)}$

${\ displaystyle \ mathrm {sn} (z | 3) \ approx {\ frac {- (9851629/283609260) z ^ {5} - (572744/4726821) z ^ {3} + z} {1+ (859490 / 1575607) z ^ {2} - (5922035/56721852) z ^ {4} + (62531591/2977897230) z ^ {6}}}}$

Bessel J (5, x )

${\ displaystyle J_ {5} (x) \ approx {\ frac {- (107/28416000) x ^ {7} + (1/3840) x ^ {5}} {1+ (151/5550) x ^ { 2} + (1453/3729600) x ^ {4} + (1339/358041600) x ^ {6} + (2767/120301977600) x ^ {8}}}}$

erf ( x )

${\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ approx {\ frac {(2/15) \ cdot (49140x + 3570x ^ {3} + 739x ^ {5})} {{\ sqrt {\ pi}} \ cdot (165x ^ {4} + 1330x ^ {2} +3276)}}}$

Fresnel ${\ displaystyle C (x)}$

${\ displaystyle C (x) \ approx {\ frac {(1/135) \ cdot (990791x ^ {9} \ pi ^ {4} -147189744x ^ {5} \ pi ^ {2} + 8714684160x)} {( 1749 \ pi ^ {4} x ^ {8} +523536 \ pi ^ {2} x ^ {4} +64553216)}}}$

Veja também

• Mesa padé

Referências

Literatura

• Baker, GA, Jr .; e Graves-Morris, P. Padé Approximants . Cambridge UP, 1996
• Baker, GA, Jr. Padé approximant , Scholarpedia , 7 (6): 9756.
• Brezinski, C .; e Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Teoria e prática . Holanda do Norte, 1991
• Pressione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 5.12 Padé Approximants" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Frobenius, G .; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Edição 90, Páginas 1-17
• Gragg, WB; A Tabela de Pade e sua Relação com Certos Algoritmos de Análise Numérica [Revisão SIAM], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
• Padé, H .; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles , Thesis, [Ann. \ 'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 suplemento.
• Wynn, P. (1966), "Sobre sistemas de recursões que se obtêm entre os quocientes da mesa de Padé", Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi : 10.1007 / BF02162562 , S2CID  123789548

links externos

• Weisstein, Eric W. "Padé Approximant" . MathWorld .
• Padé Approximants , Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project .
• BriefBook de Análise de Dados: Aproximação de Pade , Laboratório Europeu de Rudolf K. Bock para Física de Partículas , CERN .
• Sinewave , Scott Dattalo, último acesso em 11-11-2010.
• Função MATLAB para aproximação Pade de modelos com atrasos de tempo.