Paul Cohen - Paul Cohen
Paul J. Cohen | |
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Nascer |
Long Branch, Nova Jersey , EUA
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2 de abril de 1934
Faleceu | 23 de março de 2007
Stanford, Califórnia , EUA
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(com 72 anos)
Alma mater | Universidade de Chicago ( MS , PhD ) |
Conhecido por |
Cohen forçando a hipótese do Continuum |
Prêmios |
Prêmio Bôcher (1964) Medalha Fields (1966) Medalha Nacional da Ciência (1967) |
Carreira científica | |
Campos | Matemática |
Instituições | Universidade de Stanford |
Orientador de doutorado | Antoni Zygmund |
Alunos de doutorado | Peter Sarnak |
Influências | Georg Cantor , Kurt Gödel |
Paul Joseph Cohen (2 de abril de 1934 - 23 de março de 2007) foi um matemático americano . Ele é mais conhecido por suas provas de que a hipótese do contínuo e o axioma da escolha são independentes da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , pela qual foi premiado com a Medalha Fields .
Infância e educação
Cohen nasceu em Long Branch, New Jersey , em uma família judia que imigrou para os Estados Unidos do que hoje é a Polônia ; ele cresceu no Brooklyn . Ele se formou em 1950, aos 16 anos, na Stuyvesant High School em Nova York .
Em seguida, Cohen estudou no Brooklyn College de 1950 a 1953, mas saiu sem se formar quando soube que poderia começar seus estudos de graduação na Universidade de Chicago com apenas dois anos de faculdade. Em Chicago , Cohen concluiu seu mestrado em matemática em 1954 e seu doutorado em filosofia em 1958, sob a supervisão de Antoni Zygmund . O título de sua tese de doutorado foi Tópicos da Teoria da Unicidade das Séries Trigonométricas .
Em 1957, antes de receber seu doutorado, Cohen foi nomeado instrutor de matemática na Universidade de Rochester por um ano. Em seguida, ele passou o ano acadêmico de 1958 a 1959 no Instituto de Tecnologia de Massachusetts antes de passar de 1959 a 1961 como bolsista no Instituto de Estudos Avançados de Princeton. Foram anos em que Cohen fez uma série de descobertas matemáticas significativas. Em Factorization in group algebras (1959), ele mostrou que qualquer função integrável em um grupo localmente compacto é a convolução de duas dessas funções, resolvendo um problema colocado por Walter Rudin . Em Sobre uma conjectura de Littlewood e medidas idempotentes (1960), Cohen fez um avanço significativo na solução da conjectura de Littlewood.
Em 2 de junho de 1995, Cohen recebeu um doutorado honorário da Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade de Uppsala , na Suécia .
Carreira
Cohen é conhecido por desenvolver uma técnica matemática chamada forçar , que ele usou para provar que nem a hipótese do contínuo (CH) nem o axioma de escolha podem ser provados a partir dos axiomas padrão de Zermelo-Fraenkel (ZF) da teoria dos conjuntos . Em conjunto com o trabalho anterior de Gödel , isso mostrou que ambas as declarações são logicamente independentes dos axiomas ZF: essas declarações não podem ser provadas nem refutadas a partir desses axiomas. Nesse sentido, a hipótese do contínuo é indecidível e é o exemplo mais amplamente conhecido de uma afirmação natural que é independente dos axiomas ZF padrão da teoria dos conjuntos.
Por seu resultado na hipótese do continuum, Cohen ganhou a Medalha Fields em matemática em 1966, e também a Medalha Nacional de Ciência em 1967. A Medalha Fields que Cohen ganhou continua a ser a única Medalha Fields a ser concedida por um trabalho em lógica matemática , a partir de 2018.
Além de seu trabalho na teoria dos conjuntos, Cohen também fez muitas contribuições valiosas para a análise. Ele recebeu o Prêmio Bôcher Memorial em análise matemática em 1964 por seu artigo "Sobre uma conjectura de Littlewood e medidas idempotentes ", e empresta seu nome ao teorema de fatoração de Cohen-Hewitt .
Cohen era professor titular de matemática na Universidade de Stanford . Ele foi um palestrante convidado no ICM em 1962 em Estocolmo e em 1966 em Moscou.
Angus MacIntyre, da Queen Mary University of London, afirmou sobre Cohen: "Ele era assustadoramente inteligente, e seria preciso ser ingênuo ou excepcionalmente altruísta para colocar seu 'problema mais difícil' no Paul que conheci nos anos 60". Ele passou a comparar Cohen a Kurt Gödel , dizendo: "Nada mais dramático do que o trabalho deles aconteceu na história do assunto." O próprio Gödel escreveu uma carta a Cohen em 1963, um rascunho da qual afirmava: "Deixe-me repetir que é realmente um prazer ler sua prova da ind [ependência] da hipotese cont [inuum]. Eu acho que em todos os aspectos essenciais, você forneceu a melhor prova possível e isso não acontece com frequência. Ler sua prova teve um efeito tão agradável em mim quanto ver uma peça realmente boa. "
Hipótese do Continuum
Ao estudar a hipótese do contínuo, Cohen é citado como tendo dito em 1985 que "teve a sensação de que as pessoas achavam que o problema era impossível, uma vez que não havia uma nova maneira de construir modelos de teoria dos conjuntos. Na verdade, eles pensaram que você tinha que ser ligeiramente louco até mesmo para pensar sobre o problema. "
"Um ponto de vista que o autor [Cohen] sente que pode eventualmente vir a ser aceito é que o CH é obviamente falso. A principal razão pela qual se aceita o axioma do infinito é provavelmente que consideramos absurdo pensar que o processo de adicionar apenas um conjunto de uma vez pode exaurir todo o universo. Da mesma forma com os axiomas superiores do infinito. Agora é a cardinalidade do conjunto de ordinais contáveis, e esta é apenas uma forma especial e mais simples de gerar um cardinal superior. O conjunto [o contínuo ] é, em contraste, gerado por um princípio totalmente novo e mais poderoso, a saber, o axioma do conjunto de poderes . Não é razoável esperar que qualquer descrição de um cardeal maior que tente construir esse cardeal a partir de ideias derivadas do axioma de substituição possa algum dia alcance .
Portanto, é maior do que , onde , etc. Este ponto de vista é considerado um conjunto incrivelmente rico, dado a nós por um novo e ousado axioma, que nunca pode ser abordado por qualquer processo gradativo de construção. Talvez as gerações futuras vejam o problema com mais clareza e se expressem de maneira mais eloquente. "
Um "produto duradouro e poderoso" do trabalho de Cohen sobre a hipótese do contínuo, e que tem sido usado por "incontáveis matemáticos" é conhecido como "forçar" e é usado para construir modelos matemáticos para testar uma dada hipótese quanto à verdade ou falsidade .
Pouco antes de sua morte, Cohen deu uma palestra descrevendo sua solução para o problema da hipótese do contínuo na conferência do centenário de Gödel em 2006, em Viena .
Morte
Cohen e sua esposa, Christina (nascida Karls), tiveram três filhos. Cohen morreu em 23 de março de 2007 em Stanford, Califórnia, após sofrer de uma doença pulmonar .
Publicações selecionadas
- Cohen, Paul J. (dezembro de 1963). “A independência da hipótese do continuum” . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C . doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . PMC 221287 . PMID 16578557 .
- Cohen, Paul J. (janeiro de 1964). “A hipótese da independência do continuum, II” . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 51 (1): 105-110. Bibcode : 1964PNAS ... 51..105C . doi : 10.1073 / pnas.51.1.105 . PMC 300611 . PMID 16591132 .
Veja também
Referências
Leitura adicional
- Akihiro Kanamori , " Cohen and Set Theory ", The Bulletin of Symbolic Logic , Volume 14, Número 3, setembro de 2008.
- Sarnak, Peter (dezembro de 2007). "Lembrando Paul Cohen" (PDF) . MAA Focus . Washington, DC: Mathematical Association of America. 27 (9): 21–22. ISSN 0731-2040 . Página visitada em 31/05/2009 .
links externos
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Paul Joseph Cohen" , arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews
- Paul Joseph Cohen no Projeto Genealogia da Matemática
- paulcohen.org - um site comemorativo que celebra a vida de Paul Cohen
- Obituário de Stanford