Pentadecágono - Pentadecagon

Pentadecágono regular
Pentadecágono regular
	Um pentadecágono regular
Modelo	Polígono regular
Arestas e vértices	15
Símbolo Schläfli	{15}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Diédrico (D 15 ), ordem 2 × 15
Ângulo interno ( graus )	156 °
Polígono duplo	Auto
Propriedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotóxico

Em geometria , um pentadecágono ou pentakaidecágono ou 15-gon é um polígono de quinze lados .

Pentadecágono regular

Um pentadecágono regular é representado pelo símbolo Schläfli {15}.

Um pentadecágono regular tem ângulos internos de 156 ° , e com um comprimento lateral a , tem uma área dada por

{\ displaystyle {\ begin {align} A = {\ frac {15} {4}} a ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {15}} & = {\ frac {15} {4} } {\ sqrt {7 + 2 {\ sqrt {5}} + 2 {\ sqrt {15 + 6 {\ sqrt {5}}}}}} a ^ {2} \\ & = {\ frac {15a ^ {2}} {8}} \ left ({\ sqrt {3}} + {\ sqrt {15}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} \ direita) \\ & \ simeq 17.6424 \, a ^ {2}. \ end {alinhado}}}

Usos

Um triângulo, decágono e pentadecágono regulares podem preencher completamente um vértice plano . No entanto, como o número ímpar de lados do triângulo significa que as figuras não podem se alternar em torno do triângulo, o vértice não pode produzir um mosaico semirregular .

Construção

Como 15 = 3 × 5, um produto de distintos números primos Fermat , um pentadecágono regular é construtıvel utilizando compasso e régua : As seguintes construções de pentadecagons regulares com dado circunferência circunscrita é semelhante à ilustração da XVI proposição no Livro IV de Euclides Elementos .

Compare a construção de acordo com Euclides nesta imagem: Pentadecágono

Na construção de um determinado circuncírculo: é um lado do triângulo equilátero e é um lado de um pentágono regular. O ponto divide o raio na proporção áurea : ${\ displaystyle {\ overline {FG}} = {\ overline {CF}} {\ text {,}} \; {\ overline {AH}} = {\ overline {GM}} {\ text {,}} \ ; | E_ {1} E_ {6} |}$ ${\ displaystyle | E_ {2} E_ {5} |}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle {\ overline {AM}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {AH}} {\ overline {HM}}} = {\ frac {\ overline {AM}} {\ overline {AH}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ Phi \ approx 1.618 {\ text {.}}}$

Em comparação com a primeira animação (com linhas verdes) estão nas duas imagens seguintes os dois arcos circulares (para ângulos 36 ° e 24 °) girados 90 ° no sentido anti-horário mostrado. Eles não usam o segmento , mas sim o segmento como raio para o segundo arco circular (ângulo 36 °). ${\ displaystyle {\ overline {CG}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {MG}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AH}}}$

Uma construção de compasso e régua para um determinado comprimento lateral. A construção é quase igual à do pentágono de um determinado lado , então também a apresentação é sucedida por extensão de um lado e gera um segmento, aqui que é dividido de acordo com a proporção áurea: ${\ displaystyle {\ overline {FE_ {2}}} {\ text {,}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {E_ {1} E_ {2}}} {\ overline {E_ {1} F}}} = {\ frac {\ overline {E_ {2} F}} {\ overline {E_ {1} E_ {2}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ Phi \ approx 1.618 {\ text {.}}}$

Ângulo de comprimento lateral de circunradius ${\ displaystyle {\ overline {E_ {2} M}} = R \ ;; \; \;}$ ${\ displaystyle {\ overline {E_ {1} E_ {2}}} = a \ ;; \; \;}$ ${\ displaystyle DE_ {1} M = ME_ {2} D = 78 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R & = a \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left ({\ sqrt {5 + 2 \ cdot {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {3}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sqrt {8 + 2 \ cdot {\ sqrt {5}} + 2 {\ sqrt {15 + 6 \ cdot {\ sqrt {5}}}}}}} \ cdot a \\ & = {\ frac {\ sin (78 ^ {\ circ})} {\ sin (24 ^ {\ circ})}} \ cdot a \ approx 2.40486 \ cdot a \ end {alinhado}}}$

Construção para um determinado comprimento lateral

Construção para um determinado comprimento lateral como animação

Simetria

As simetrias de um pentadecágono regular, conforme mostrado com cores nas arestas e vértices. As linhas de reflexos são azuis. Os giros são dados como números no centro. Os vértices são coloridos por suas posições de simetria.

O pentadecágono regular tem simetria diédrica Dih ₁₅ , ordem 30, representada por 15 linhas de reflexão. Dih ₁₅ tem 3 subgrupos diédricos: Dih ₅ , Dih ₃ e Dih ₁ . E mais quatro simetrias cíclicas : Z ₁₅ , Z ₅ , Z ₃ e Z ₁ , com Z _n representando a simetria rotacional π / n radiana.

No pentadecágono, existem 8 simetrias distintas. John Conway rotula essas simetrias com uma letra e a ordem da simetria segue a letra. Ele dá r30 para a simetria reflexiva completa, Dih ₁₅ . Ele fornece d (diagonal) com linhas de reflexão através dos vértices, p com linhas de reflexão através das bordas (perpendiculares) e para o pentadecágono de lados ímpares i com linhas espelhadas através dos vértices e bordas e g para simetria cíclica. a1 rotula sem simetria.

Essas simetrias mais baixas permitem graus de liberdade na definição de pentadecágonos irregulares. Apenas o subgrupo g15 não tem graus de liberdade, mas pode ser visto como bordas direcionadas .

Pentadecagramas

Existem três polígonos estrela regulares : {15/2}, {15/4}, {15/7}, construídos a partir dos mesmos 15 vértices de um pentadecágono regular, mas conectados pulando cada segundo, quarto ou sétimo vértice respectivamente.

Existem também três figuras de estrelas regulares : {15/3}, {15/5}, {15/6}, a primeira sendo um composto de três pentágonos , a segunda um composto de cinco triângulos equiláteros e a terceira um composto de três pentagramas .

A figura composta {15/3} pode ser vagamente vista como o equivalente bidimensional do composto 3D de cinco tetraedros .

Foto	{15/2}	{15/3} ou 3 {5}	{15/4}	{15/5} ou 5 {3}	{15/6} ou 3 {5/2}	{15/7}
Ângulo interno	132 °	108 °	84 °	60 °	36 °	12 °

Pentadecágonos isogonais

Truncamentos mais profundos do pentadecágono regular e dos pentadecagramas podem produzir formas poligonais intermediárias isogonais ( transitivas do vértice ) com vértices espaçados iguais e dois comprimentos de aresta.