Primorial - Primorial
Em matemática , e mais particularmente na teoria dos números , primorial , denotado por “#”, é uma função de números naturais para números naturais semelhantes à função fatorial , mas ao invés de multiplicar sucessivamente inteiros positivos, a função apenas multiplica números primos .
O nome "primorial", cunhado por Harvey Dubner , faz uma analogia com os primos semelhantes à forma como o nome "fatorial" se relaciona com os fatores .
Definição para números primos
Para o n º número primo p n , o primorial p n # é definido como o produto dos primeiros n primos:
- ,
onde p k é o k ésimo número primo. Por exemplo, p 5 # significa o produto dos primeiros 5 primos:
Os primeiros cinco primoriais p n # são:
A sequência também inclui p 0 # = 1 como produto vazio . Assintoticamente, os primoriais p n # crescem de acordo com:
onde o () é a notação de O pequeno .
Definição para números naturais
Em geral, para um número inteiro positivo n , seu primorial, n # , é o produto dos primos que não são maiores que n ; isso é,
- ,
onde π ( n ) é a função de contagem de primos (sequência A000720 no OEIS ), que dá o número de primos ≤ n . Isso é equivalente a:
Por exemplo, 12 # representa o produto desses primos ≤ 12:
Como π (12) = 5 , isso pode ser calculado como:
Considere os primeiros 12 valores de n # :
- 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Vemos que para o composto n todo termo n # simplesmente duplica o termo precedente ( n - 1) # , conforme dado na definição. No exemplo acima, temos 12 # = p 5 # = 11 #, pois 12 é um número composto.
Primoriais estão relacionados à primeira função Chebyshev , escrita ϑ ( n ) ou θ ( n ) de acordo com:
Uma vez que ϑ ( n ) assintoticamente se aproxima de n para grandes valores de n , os primoriais, portanto, crescem de acordo com:
A ideia de multiplicar todos os primos conhecidos ocorre em algumas provas da infinitude dos números primos , onde é usada para derivar a existência de outro primo.
Características
- Deixe p e q ser dois números primos adjacentes. Dado algum , onde :
- Para o Primorial, a seguinte aproximação é conhecida:
- .
- Além disso:
- Pois , os valores são menores que e , mas para n maiores , os valores da função excedem o limite e e oscilam infinitamente em torno de e posteriormente.
- Seja o k- ésimo primo, então tem exatamente divisores. Por exemplo, tem 2 divisores, tem 4 divisores, tem 8 divisores e já tem divisores, pois 97 é o 25º primo.
- A soma dos valores recíprocos do primorial converge para uma constante
- A expansão de Engel deste número resulta na sequência dos números primos (Ver (sequência A064648 no OEIS ))
- De acordo com o teorema de Euclides , é usado para provar a infinidade de todos os números primos.
Aplicativos e propriedades
Primoriais desempenham um papel na busca de números primos em progressões aritméticas aditivas . Por exemplo, 2 236 133 941 + 23 # resulta em um primo, começando uma sequência de treze primos encontrados adicionando repetidamente 23 # e terminando com5 136 341 251 . 23 # também é a diferença comum nas progressões aritméticas de quinze e dezesseis primos.
Todo número altamente composto é um produto de primoriais (por exemplo, 360 = 2 × 6 × 30 ).
Primoriais são todos inteiros livres de quadrados e cada um tem mais fatores primos distintos do que qualquer número menor que ele. Para cada n primorial , a fração φ ( n )/né menor do que para qualquer número inteiro menor, onde φ é a função de Euler totiente .
Qualquer função completamente multiplicativa é definida por seus valores em primoriais, uma vez que é definida por seus valores em primos, que podem ser recuperados pela divisão de valores adjacentes.
Os sistemas de base correspondentes a primoriais (como a base 30, não deve ser confundida com o sistema de número primorial ) têm uma proporção menor de frações repetidas do que qualquer base menor.
Cada primorial é um número esparsamente totiente .
O n -compositorial de um número composto n é o produto de todos os números compostos até e incluindo n . O n -compositorial é igual ao n - fatorial dividido pelo n # primorial . Os compositores são
Aparência
A função zeta de Riemann em inteiros positivos maiores que um pode ser expressa usando a função primorial e a função totiente de Jordan J k ( n ) :
Tabela de primoriais
n | n # | p n | p n # | Primo primorial ? | |
---|---|---|---|---|---|
p n # + 1 | p n # - 1 | ||||
0 | 1 | N / D | 1 | sim | Não |
1 | 1 | 2 | 2 | sim | Não |
2 | 2 | 3 | 6 | sim | sim |
3 | 6 | 5 | 30 | sim | sim |
4 | 6 | 7 | 210 | sim | Não |
5 | 30 | 11 | 2 310 | sim | sim |
6 | 30 | 13 | 30 030 | Não | sim |
7 | 210 | 17 | 510 510 | Não | Não |
8 | 210 | 19 | 9 699 690 | Não | Não |
9 | 210 | 23 | 223 092 870 | Não | Não |
10 | 210 | 29 | 6 469 693 230 | Não | Não |
11 | 2 310 | 31 | 200 560 490 130 | sim | Não |
12 | 2 310 | 37 | 7 420 738 134 810 | Não | Não |
13 | 30 030 | 41 | 304 250 263 527 210 | Não | sim |
14 | 30 030 | 43 | 13 082 761 331 670 030 | Não | Não |
15 | 30 030 | 47 | 614 889 782 588 491 410 | Não | Não |
16 | 30 030 | 53 | 32 589 158 477 190 044 730 | Não | Não |
17 | 510 510 | 59 | 1 922 760 350 154 212 639 070 | Não | Não |
18 | 510 510 | 61 | 117 288 381 359 406 970 983 270 | Não | Não |
19 | 9 699 690 | 67 | 7 858 321 551 080 267 055 879 090 | Não | Não |
20 | 9 699 690 | 71 | 557 940 830 126 698 960 967 415 390 | Não | Não |
21 | 9 699 690 | 73 | 40 729 680 599 249 024 150 621 323 470 | Não | Não |
22 | 9 699 690 | 79 | 3 217 644 767 340 672 907 899 084 554 130 | Não | Não |
23 | 223 092 870 | 83 | 267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 790 | Não | Não |
24 | 223 092 870 | 89 | 23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 310 | Não | sim |
25 | 223 092 870 | 97 | 2 305 567 963 945 518 424 753 102 147 331 756 070 | Não | Não |
26 | 223 092 870 | 101 | 232 862 364 358 497 360 900 063 316 880 507 363 070 | Não | Não |
27 | 223 092 870 | 103 | 23 984 823 528 925 228 172 706 521 638 692 258 396 210 | Não | Não |
28 | 223 092 870 | 107 | 2 566 376 117 594 999 414 479 597 815 340 071 648 394 470 | Não | Não |
29 | 6 469 693 230 | 109 | 279 734 996 817 854 936 178 276 161 872 067 809 674 997 230 | Não | Não |
30 | 6 469 693 230 | 113 | 31 610 054 640 417 607 788 145 206 291 543 662 493 274 686 990 | Não | Não |
31 | 200 560 490 130 | 127 | 4 014 476 939 333 036 189 094 441 199 026 045 136 645 885 247 730 | Não | Não |
32 | 200 560 490 130 | 131 | 525 896 479 052 627 740 771 371 797 072 411 912 900 610 967 452 630 | Não | Não |
33 | 200 560 490 130 | 137 | 72 047 817 630 210 000 485 677 936 198 920 432 067 383 702 541 010 310 | Não | Não |
34 | 200 560 490 130 | 139 | 10 014 646 650 599 190 067 509 233 131 649 940 057 366 334 653 200 433 090 | Não | Não |
35 | 200 560 490 130 | 149 | 1 492 182 350 939 279 320 058 875 736 615 841 068 547 583 863 326 864 530 410 | Não | Não |
36 | 200 560 490 130 | 151 | 225 319 534 991 831 177 328 890 236 228 992 001 350 685 163 362 356 544 091 910 | Não | Não |
37 | 7 420 738 134 810 | 157 | 35 375 166 993 717 494 840 635 767 087 951 744 212 057 570 647 889 977 422 429 870 | Não | Não |
38 | 7 420 738 134 810 | 163 | 5 766 152 219 975 951 659 023 630 035 336 134 306 565 384 015 606 066 319 856 068 810 | Não | Não |
39 | 7 420 738 134 810 | 167 | 962 947 420 735 983 927 056 946 215 901 134 429 196 419 130 606 213 075 415 963 491 270 | Não | Não |
40 | 7 420 738 134 810 | 173 | 166 589 903 787 325 219 380 851 695 350 896 256 250 980 509 594 874 862 046 961 683 989 710 | Não | Não |
Veja também
Notas
Referências
- Dubner, Harvey (1987). "Primos fatoriais e primoriais". J. Recr. Matemática. 19 : 197–203.
- Spencer, Adam “Top 100” Número 59, parte 4.