Hierarquia projetiva - Projective hierarchy

No campo matemático da teoria descritiva dos conjuntos , um subconjunto de um espaço polonês é projetivo se for para algum número inteiro positivo . Aqui está ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {n} ^ {1}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1}}$ se é analítico${\ displaystyle A}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {n} ^ {1}}$ se o complemento de , , é ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {n} ^ {1}}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {n + 1} ^ {1}}$ se houver um espaço polonês e um subconjunto tal que seja a projeção de ; isso é, ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {n} ^ {1}}$${\ displaystyle C \ subseteq X \ times Y}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A = \ {x \ in X \ mid \ existe y \ in Y (x, y) \ in C \}}$

A escolha do espaço polonês na terceira cláusula acima não é muito importante; poderia ser substituído na definição por um incontável espaço polonês fixo, digamos o espaço Baire ou o espaço Cantor ou a linha real . ${\ displaystyle Y}$

Relação com a hierarquia analítica

Há uma relação estreita entre a hierarquia analítica relativizada em subconjuntos do espaço de Baire (denotados por letras em face clara e ) e a hierarquia projetiva em subconjuntos de espaço de Baire (denotados por letras em negrito e ). Nem todo subconjunto do espaço Baire o é . É verdade, entretanto, que se um subconjunto X do espaço de Baire existe, então existe um conjunto de números naturais A tal que X é . Uma afirmação semelhante vale para conjuntos. Assim, os conjuntos classificados pela hierarquia projetiva são exatamente os conjuntos classificados pela versão relativizada da hierarquia analítica. Essa relação é importante na teoria de conjuntos descritivos eficaz . ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {n} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {n} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} ^ {1, A}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {n} ^ {1}}$

Uma relação semelhante entre a hierarquia projetiva e a hierarquia analítica relativizada é válida para subconjuntos do espaço Cantor e, mais geralmente, subconjuntos de qualquer espaço polonês efetivo .

Mesa

Referências

• Kechris, AS (1995), Classical Descriptive Set Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-94374-9
• Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability , First MIT press paperback edition, ISBN   978-0-262-68052-3