Sequência espectral de Serre - Serre spectral sequence

Em matemática , a seqüência espectral Serre (às vezes seqüência espectral Leray-Serre para reconhecer o trabalho anterior de Jean Leray na seqüência espectral Leray ) é uma ferramenta importante na topologia algébrica . É expressa, na linguagem da álgebra homological , o singular (co) homologia do espaço total de X de um (Serre) fibração em termos de a (co) homologia do espaço de base B e a fibra F . O resultado fica por conta de Jean-Pierre Serre em sua tese de doutorado.

Sequência espectral de cohomologia

Seja uma fibração Serre de espaços topológicos, e seja F a fibra (conectada pelo caminho) . A sequência espectral de cohomologia de Serre é a seguinte: ${\ displaystyle f \ colon X \ to B}$

{\ displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (B, H ^ {q} (F)) \ Rightarrow H ^ {p + q} (X).}

Aqui, pelo menos sob condições de simplificação padrão, o grupo de coeficientes no -termo é o q -ésimo grupo de cohomologia integral de F , e o grupo externo é a cohomologia singular de B com coeficientes nesse grupo. ${\ displaystyle E_ {2}}$

A rigor, o que se quer dizer é cohomologia em relação ao sistema de coeficientes locais em B dado pela cohomologia das várias fibras. Supondo, por exemplo, que B está simplesmente conectado , isso desmorona para a cohomologia usual. Para uma base conectada por caminho , todas as fibras diferentes são homotópicas equivalentes . Em particular, sua cohomologia é isomórfica, então a escolha de "a" fibra não dá nenhuma ambigüidade.

O encosto significa cohomología integrante do espaço total de X .

Esta sequência espectral pode ser derivada a partir de um par exacta construído a partir das sequências de comprimento exactos do cohomología do par , onde é a restrição do fibraç~ao sobre o p -skeleton de B . Mais precisamente, usando esta notação , ${\ displaystyle (X_ {p}, X_ {p-1})}$ ${\ displaystyle X_ {p}}$

{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {p, q} H ^ {q} (X_ {p}),}

{\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = C = \ bigoplus _ {p, q} H ^ {q} (X_ {p}, X_ {p-1}),}

f é definida através da restrição em cada pedaço de , g é definida utilizando a aplicação de cobordo na sequência de comprimento exacto do par , e H é definido através da restrição a ${\ displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {p-1}}$ ${\ displaystyle (X_ {p}, X_ {p-1})}$ ${\ displaystyle X_ {p}.}$

Existe uma estrutura multiplicativa

{\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} \ vezes E_ {r} ^ {s, t} \ a E_ {r} ^ {p + s, q + t},}

coincidindo no termo E ₂ com (−1) ^qs vezes o produto da xícara, e com relação ao qual os diferenciais são derivações (graduadas) que induzem o produto na página -a partir daquele na página-. ${\ displaystyle d_ {r}}$ ${\ displaystyle E_ {r + 1}}$ ${\ displaystyle E_ {r}}$

Sequência espectral de homologia

Da mesma forma que a sequência espectral de cohomologia, há uma para homologia:

{\ displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} (B, H_ {q} (F)) \ Rightarrow H_ {p + q} (X).}

onde as notações são duais às acima.

Cálculos de exemplo

Fibração de Hopf

Lembre-se de que a fibração de Hopf é dada por . A página da sequência Espectral Leray-Serre lê ${\ displaystyle S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3} \ to S ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | ccc} 1 & H ^ {0} (S ^ {2}; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ {2} (S ^ {2}; \ mathbb {Z}) \\ 0 & H ^ {0} (S ^ {2}; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ {2} (S ^ {2}; \ mathbb {Z}) \\\ hline & 0 & 1 & 2 \ end {array}}}

O diferencial vai para baixo e para a direita. Assim, o único diferencial que não é necessariamente ${\ displaystyle d_ {2 + i}}$ ${\ displaystyle 1 + i}$ ${\ displaystyle 2 + i}$ 0 é $d 0,1 2$ , porque o resto tem domínio ou codomínio 0 (uma vez que são 0 na página E ₂ ). Em particular, esta sequência degenera em E ₂ = E _∞ . A página E ₃ lê

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | ccc} 1 & \ ker d_ {2} ^ {0,1} & 0 & H ^ {2} (S ^ {2}; \ mathbb {Z}) \\ 0 & H ^ { 0} (S ^ {2}; \ mathbb {Z}) & 0 & \ operatorname {coker} d_ {2} ^ {0,1} \\\ hline & 0 & 1 & 2 \ end {array}}}

A sequência espectral limita-se a isto é, avaliando nas partes interessantes, temos e Conhecendo a cohomologia de ambos são zero, então o diferencial é um isomorfismo. ${\ displaystyle H ^ {p + q} (S ^ {3}),}$ ${\ displaystyle E_ {3} ^ {p, q} = Gr ^ {p} H ^ {p + q} (S ^ {3}).}$ ${\ displaystyle \ ker d_ {2} ^ {0,1} = Gr ^ {1} H ^ {1} (S ^ {3})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {coker} d_ {2} ^ {0,1} = Gr ^ {0} H ^ {2} (S ^ {3}).}$ ${\ displaystyle S ^ {3},}$ ${\ displaystyle d_ {2} ^ {0,1}}$

Pacote de esfera em uma variedade projetiva complexa

Dado um complexo n -dimensional projectiva variedade $X$ há uma família canónica de feixes de linha para proveniente da incorporação . Isso é dado pelas seções globais que enviam ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (k)}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle X \ to \ mathbb {CP} ^ {m}}$ ${\ displaystyle s_ {0}, \ ldots, s_ {m} \ in \ Gamma (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (1))}$

{\ displaystyle x \ mapsto [s_ {0} (x): \ ldots: s_ {m} (x)]}

Se construirmos um feixe vetorial de posto $r,$ que é uma soma de whitney finita de feixes vetoriais, podemos construir um feixe de esferas cujas fibras são as esferas . Em seguida, pode-se utilizar a sequência espectral Serre juntamente com a classe de Euler para calcular o cohomología integrante de $S$ . A -página é fornecida por . Vemos que os únicos diferenciais não triviais são dados na página e são definidos por cupping com a classe de Euler . Nesse caso, é fornecido pela classe chern superior de . Por exemplo, considere o pacote vetorial para uma superfície $X$ a K3 . Então, a sequência espectral é lida como ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle S \ to X}$ ${\ displaystyle S ^ {2r-1} \ subset \ mathbb {C} ^ {r}}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (X; H ^ {q} (S ^ {2r-1}))}$ ${\ displaystyle E_ {2r}}$ ${\ displaystyle e ({\ mathcal {E}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (a) \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X} (b)}$

{\ displaystyle E_ {2} = E_ {3} = E_ {4} = {\ begin {array} {c | ccccc} 3 & H ^ {0} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {1} (H ; \ mathbb {Z}) & H ^ {2} (H; \ mathbb {Z}) & H ^ {3} (H; \ mathbb {Z}) & H ^ {4} (H; \ mathbb {Z}) \ \ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & H ^ {0} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {1} (H; \ mathbb {Z}) & H ^ {2} (H; \ mathbb {Z}) & H ^ {3} (H; \ mathbb {Z}) & H ^ {4} (H; \ mathbb {Z}) \\\ hline & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \ end {array}}}

O diferencial para é o quadrado da classe Lefschetz. Neste caso, o único diferencial não trivial é então ${\ displaystyle d_ {4} = \ cup a \ cdot bH ^ {2}}$ ${\ displaystyle H ^ {2}}$

{\ displaystyle d_ {4} ^ {0,3}: H ^ {0} (X; \ mathbb {Z}) \ a H ^ {4} (X; \ mathbb {Z})}

Podemos terminar este cálculo observando que os únicos grupos de cohomologia não triviais são

{\ displaystyle H ^ {k} (X: \ mathbb {Z}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0,4 \} \\\ mathbb {Z} ^ {\ oplus 22} & k = 2 \ final {casos}}}

Fibratação básica do pathpace

Começamos primeiro com um exemplo básico; considere a fibração do espaço do caminho

{\ displaystyle \ Omega S ^ {n + 1} \ para PS ^ {n + 1} \ para S ^ {n + 1}.}

Conhecemos a homologia da base e do espaço total, então nossa intuição nos diz que a seqüência espectral de Serre deve ser capaz de nos dizer a homologia do espaço do loop. Este é um exemplo de um caso onde podemos estudar a homologia de uma fibração usando a página E ^∞ (a homologia do espaço total) para controlar o que pode acontecer na página E ² . Então lembre-se disso

{\ displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} (S ^ {n + 1}; H_ {q} (\ Omega S ^ {n + 1})).}

Assim, sabe quando q = 0, estamos apenas olhando para o número inteiro regulares valorizados grupos de homologia H _P ( S ^{n 1} ), que tem valor em graus 0 e n + 1 e 0 valor em qualquer outro lugar. No entanto, como o espaço do caminho é contraível, sabemos que no momento em que a sequência chega a E ^∞ , tudo se torna 0, exceto para o grupo em p = q = 0. A única maneira de isso acontecer é se houver um isomorfismo de a outro grupo. No entanto, os únicos lugares em que um grupo pode ser diferente de zero são nas colunas p = 0 ou p = n +1, então esse isomorfismo deve ocorrer na página E ⁿ⁺¹ com codomínio. No entanto, colocar a neste grupo significa que deve haver um em H _n₁ ( S ⁿ¹ ; H _n ( F )). A repetição indutiva desse processo mostra que H _i (Ω S ⁿ⁺¹ ) tem valor em múltiplos inteiros de ne 0 em todos os outros lugares. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle H_ {n + 1} (S ^ {n + 1}; H_ {0} (F)) = \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle H_ {0} (S ^ {n + 1}; H_ {n} (F)) = \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Anel de cohomologia de espaço projetivo complexo

Calculamos a cohomologia de uso da fibração: ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

{\ displaystyle S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {2n + 1} \ to \ mathbb {CP} ^ {n}}

Agora, na página E ₂ , na coordenada 0,0 temos a identidade do anel. Na coordenada 0,1, temos um elemento i que gera No entanto, sabemos que pela página limite, só pode haver geradores não triviais no grau 2 n +1 nos dizendo que o gerador i deve transgredir para algum elemento x no 2.0 coordenada. Agora, isso nos diz que deve haver um elemento ix na coordenada 2,1. Vemos então que d ( ix ) = x ² pela regra de Leibniz nos dizendo que a coordenada 4,0 deve ser x ^2, uma vez que não pode haver homologia não trivial até o grau 2 n +1. Repetindo este argumento indutivamente até 2 n + 1 dá ix ⁿ na coordenada 2 n , 1 que deve então ser o único gerador de naquele grau, nos dizendo que a coordenada 2 n + 1,0 deve ser 0. Leitura do fundo horizontal linha da sequência espectral nos dá o anel de cohomologia de e nos diz que a resposta é ${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x] / x ^ {n + 1}.}$

No caso do espaço projetivo complexo infinito, tomar limites dá a resposta ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x].}$

Quarto grupo de homotopia da esfera tríplice

Uma aplicação mais sofisticada da sequência espectral de Serre é o cálculo. Este exemplo particular ilustra uma técnica sistemática que se pode usar para deduzir informações sobre os grupos de esferas de homotopia mais elevados. Considere a seguinte fibração, que é um isomorfismo em ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S ^ {3}) = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle \ pi _ {3}}$

{\ displaystyle X \ para S ^ {3} \ para K (\ mathbb {Z}, 3),}

onde é um espaço Eilenberg – MacLane . Em seguida, convertemos ainda mais o mapa em uma fibração; é do conhecimento geral que a fibra iterada é o espaço do loop do espaço da base, então em nosso exemplo obtemos que a fibra é Mas sabemos que Agora olhamos para a seqüência espectral de Serre cohomológica: supomos que temos um gerador para o grau 3 cohomologia de , chamado . Como não há nada no grau 3 na cohomologia total, sabemos que isso deve ser eliminado por um isomorfismo. Mas o único elemento que pode mapear para ele é o gerador a do anel de cohomologia de , assim nós temos . Portanto, pela estrutura do produto da xícara, o gerador no grau 4 ,, mapeia para o gerador pela multiplicação por 2 e que o gerador da cohomologia no grau 6 mapeia pela multiplicação por 3, etc. Em particular, descobrimos que Mas agora, uma vez que matamos fora dos grupos de homotopia inferiores de X (ou seja, os grupos em graus menores que 4) usando a fibração iterada, sabemos que pelo teorema de Hurewicz , nos dizendo que ${\ displaystyle K (\ pi, n)}$ ${\ displaystyle X \ a S ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ Omega K (\ mathbb {Z}, 3) = K (\ mathbb {Z}, 2).}$ ${\ displaystyle K (\ mathbb {Z}, 2) = \ mathbb {CP} ^ {\ infty}.}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ iota}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle d (a) = \ iota}$ ${\ displaystyle a ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ iota a}$ ${\ displaystyle \ iota a ^ {2}}$ ${\ displaystyle H_ {4} (X) = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle H_ {4} (X) = \ pi _ {4} (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S ^ {3}) = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}.}$