Dualidade Spanier-Whitehead - Spanier–Whitehead duality

Em matemática , Spanier-Whitehead dualidade é uma teoria da dualidade na teoria da homotopia , baseado em uma idéia geométrica que um espaço topológico X pode ser considerada como dupla para o seu complemento no n - esfera , onde n é grande o suficiente. Suas origens estão na teoria da dualidade de Alexander , na teoria da homologia , a respeito de complementos em variedades . A teoria também é conhecida como dualidade S , mas agora isso pode causar uma possível confusão com a dualidade S da teoria das cordas . É nomeado em homenagem a Edwin Spanier e JHC Whitehead , que o desenvolveram em artigos de 1955.

O ponto básico é que os complementos de esfera determinam a homologia, mas não o tipo de homotopia em geral. O que é determinado, entretanto, é o tipo de homotopia estável , que foi concebido como uma primeira aproximação do tipo de homotopia. Assim, a dualidade Spanier-Whitehead se encaixa na teoria da homotopia estável .

Demonstração

Deixe X ser um compacto retrair bairro em . Então, e são objetos duais na categoria de espectros pontiagudos com o produto esmagado como uma estrutura monoidal. Aqui está a união de e um ponto, e são suspensões reduzidas e não reduzidas, respectivamente. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle X ^ {+}}$${\ displaystyle \ Sigma ^ {- n} \ Sigma '(\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus X)}$${\ displaystyle X ^ {+}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma '}$

Tomar homologia e cohomologia com relação a um espectro de Eilenberg-MacLane recupera formalmente a dualidade de Alexander .

Referências

• Spanier, Edwin H .; Whitehead, JHC (1953), "A first aproximation to homotopy theory", Proceedings of the National Academy of Sciences dos Estados Unidos da América , 39 (7): 655-660, Bibcode : 1953PNAS ... 39..655S , doi : 10.1073 / pnas.39.7.655 , MR  0056290 , PMC  1063840 , PMID  16589320

• Spanier, Edwin H .; Whitehead, JHC (1955), "Duality in homotopy theory.", Mathematika , 2 : 56-80, doi : 10.1112 / s002557930000070x , MR  0074823

• tom Dieck, Tammo (2008), topologia algébrica , European Mathematical Society Publishing House, ISBN 978-3-03719-048-7