Eventualmente (matemática) - Eventually (mathematics)

Nos matemáticas áreas de teoria dos números e análise , um infinito seqüência ou uma função diz-se , eventualmente, ter uma certa propriedade , se ele não tem a referida propriedade em todas as suas instâncias encomendado, mas depois de alguns casos se passaram. O uso do termo "eventualmente" pode ser frequentemente reformulado como "para números suficientemente grandes" e também pode ser estendido à classe de propriedades que se aplicam a elementos de qualquer conjunto ordenado (como sequências e subconjuntos de ). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Notação

A forma geral onde a frase eventualmente (ou suficientemente grande ) é encontrada aparece da seguinte forma:

{\ displaystyle P}

eventualmente é verdadeiro para ( é verdadeiro para grande o suficiente ),

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle P}

{\ displaystyle x}

onde e são os quantificadores universais e existenciais , que na verdade é uma abreviação de: ${\ displaystyle \ forall}$ ${\ displaystyle \ existe}$

{\ displaystyle \ existe um \ in \ mathbb {R}}

isso é verdade

{\ displaystyle P}

{\ displaystyle \ forall x \ geq a}

ou um pouco mais formalmente:

{\ displaystyle \ existe a \ in \ mathbb {R}: \ forall x \ in \ mathbb {R}: x \ geq a \ Rightarrow P (x)}

Isso não significa necessariamente que qualquer valor específico para seja conhecido, mas apenas que existe. A frase "suficientemente grande" não deve ser confundida com as frases " arbitrariamente grande " ou " infinitamente grande". Para obter mais informações, consulte Arbitrariamente grande # Arbitrariamente grande x suficientemente grande x infinitamente grande . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$

Motivação e definição

Para uma sequência infinita, muitas vezes estamos mais interessados nos comportamentos de longo prazo da sequência do que nos comportamentos que ela exibe no início. Nesse caso, uma maneira de capturar formalmente esse conceito é dizer que a sequência possui uma certa propriedade eventualmente , ou equivalentemente, que a propriedade é satisfeita por uma de suas subsequências , para alguns . ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq N}}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$

Por exemplo, a definição de uma sequência de números reais convergindo para algum limite é: ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle a}$

Para cada número positivo , existe um número natural de tal modo que para todos , .

{\ displaystyle \ varepsilon}

{\ displaystyle N}

{\ displaystyle n> N}

{\ displaystyle \ left \ vert a_ {n} -a \ right \ vert <\ varepsilon}

Quando o termo "eventualmente " é usado como uma abreviação para "existe um número natural tal que para todos ", a definição de convergência pode ser reafirmada mais simplesmente como: ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n> N}$

Para cada número positivo , eventualmente .

{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

{\ displaystyle \ left \ vert a_ {n} -a \ right \ vert <\ varepsilon}

Aqui, observe que o conjunto de números naturais que não satisfazem essa propriedade é um conjunto finito; ou seja, o conjunto está vazio ou possui um elemento máximo. Como resultado, o uso de "eventualmente" neste caso é sinônimo da expressão "para todos, exceto um número finito de termos" - um caso especial da expressão "para quase todos os termos" (embora "quase todos" também possa ser usado para permitir infinitas exceções também).

No nível básico, uma sequência pode ser pensada como uma função com números naturais como seu domínio , e a noção de "eventualmente" se aplica a funções em conjuntos mais gerais também - em particular para aqueles que têm uma ordem sem o maior elemento .

Mais especificamente, se é um tal conjunto e existe um elemento de modo a que a função é definida por todos os elementos superiores , então diz-se ter alguma propriedade, eventualmente, se houver um elemento de tal modo que sempre que , tem a propriedade disse. Essa noção é usada, por exemplo, no estudo dos campos de Hardy , que são campos compostos de funções reais, cada um dos quais possui eventualmente certas propriedades. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x> x_ {0}}$ ${\ displaystyle f (x)}$

Exemplos

"Todos os primos maiores que 2 são ímpares " pode ser escrita como "Eventualmente, todos os primos são ímpares".
Eventualmente, todos os primos são congruentes com ± 1 módulo 6.
O quadrado de um primo é eventualmente congruente com 1 mod 24 (especificamente, isso é verdadeiro para todos os primos maiores que 3).
O fatorial de um número natural eventualmente termina no dígito 0 (especificamente, isso é verdadeiro para todos os números naturais maiores que 4).

Implicações

Quando uma sequência ou função tem uma propriedade eventualmente, pode ter implicações úteis no contexto de provar algo em relação a essa sequência. Por exemplo, no contexto do comportamento assintótico de certas funções, pode ser útil saber se ela eventualmente se comporta de maneira diferente do que seria ou poderia ser observado computacionalmente, caso contrário, isso não poderia ser percebido.

O termo "eventualmente" também pode ser incorporado em muitas definições matemáticas para torná-las mais concisas. Isso inclui as definições de alguns tipos de limites (como visto acima) e a notação Big O para descrever o comportamento assintótico.

Outros usos em matemática

Um manifold de 3 é chamado de suficientemente grande se contém uma superfície incompressível de 2 lados devidamente embutida . Essa propriedade é o principal requisito para um manifold de 3 a ser chamado de manifold de Haken .
A lógica temporal introduz um operador que pode ser usado para expressar declarações interpretáveis como: Certa propriedade será mantida em um momento futuro no tempo.

Veja também

Referências

^ ^a ^b ^c ^d "O glossário definitivo do jargão matemático superior - eventualmente" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 2019-11-20 .
^ Weisstein, Eric W. "Sufficiently Large" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-20 .
^ Weisstein, Eric W. "Eventualmente" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-20 .

[:0-1] "O glossário definitivo do jargão matemático superior - eventualmente" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 2019-11-20 .

[2] Weisstein, Eric W. "Sufficiently Large" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-20 .

[3] Weisstein, Eric W. "Eventualmente" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-20 .

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