Limite de Thurston - Thurston boundary

Em matemática, o limite de Thurston do espaço de Teichmüller de uma superfície é obtido como o limite de seu fechamento no espaço projetivo de funcionais em curvas fechadas simples na superfície. Pode ser interpretado como o espaço de foliações projetivas medidas na superfície.

O limite de Thurston do espaço de Teichmüller de uma superfície fechada do gênero é homeomórfico a uma esfera de dimensão . A ação do grupo de classes de mapeamento no espaço de Teichmüller se estende continuamente ao longo da união com o limite. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 6g-7}$

Folheações medidas nas superfícies

Deixe ser uma superfície fechada. Um folheação medido em é um folheação em que pode admitir singularidades isolada, juntamente com uma medida transversal , isto é, uma função que para cada arco transversal para a folheação associa um número real positivo . A foliação e a medida devem ser compatíveis no sentido de que a medida é invariante se o arco for deformado com extremidades permanecendo na mesma folha. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ mu)}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu (\ alpha)}$

Let Ser o espaço das classes de isotopia de curvas simples fechadas sobre . Uma foliação medida pode ser usada para definir uma função da seguinte forma: se é alguma curva, deixe ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ mu)}$${\ displaystyle i (({\ mathcal {F}}, \ mu), \ cdot) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ mu (\ gamma) = \ sup _ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {r} \ mu (\ alpha _ {i}) \ right)}$

onde o supremo é assumido por todas as coleções de arcos disjuntos que são transversais (em particular se for uma folha fechada de ). Então, se o número da interseção for definido por: ${\ displaystyle \ alpha _ {1} \ ldots, \ alpha _ {r} \ subset \ gamma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu (\ gamma) = 0}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {S}}}$

${\ displaystyle i {\ bigl (} ({\ mathcal {F}}, \ mu), \ sigma {\ bigr)} = \ inf _ {\ gamma \ in \ sigma} \ mu (\ gamma)}$ .

Duas foliações medidas são consideradas equivalentes se definem a mesma função em (há um critério topológico para essa equivalência por meio de movimentos de Whitehead ). O espaço de laminações medidas projetivas é a imagem do conjunto de laminações medidas no espaço projetivo via embedding . Se o gênero de é pelo menos 2, o espaço é homeomórfico à esfera -dimensional (no caso do toro é a 2-esfera; não há folheações medidas na esfera). ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {PMF}}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathbb {R} _ {+} ^ {\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathcal {PMF}}}$${\ displaystyle 6g-7}$

Compactificação do espaço Teichmüller

Incorporando no espaço dos funcionais

Deixe ser uma superfície fechada. Lembre-se de que um ponto no espaço de Teichmüller é um par onde há uma superfície hiperbólica (uma variedade Riemanniana com curvaturas seccionais todas iguais a ) e um homeomorfismo, até uma relação de equivalência natural. O espaço de Teichmüller pode ser realizado como um espaço de funcionais no conjunto de classes de isotopia de curvas fechadas simples da seguinte maneira. Se e então é definido como o comprimento da única geodésica fechada na classe de isotopia . O mapa é um embedding de em , que pode ser usado para dar ao espaço Teichmüller uma topologia (o lado direito é dado a topologia do produto). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, f)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle x = (X, f) \ in T (S)}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ ell (x, \ sigma)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f _ {*} \ sigma}$${\ displaystyle x \ mapsto \ ell (x, \ cdot)}$${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {\ mathcal {S}}}$

Na verdade, o mapa para o espaço projetivo ainda é um embedding: vamos denotar a imagem de lá. Como esse espaço é compacto, o fechamento é compacto: é chamado de compactação Thurston do espaço Teichmüller. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathbb {R} _ {+} ^ {\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {T}}}}$

A fronteira de Thurston

O limite é igual ao subconjunto de . A prova também implica que a compactação de Thurston é homeomórfica à bola fechada dimensional. ${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {T}}} \ setminus {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {PMF}}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathbb {R} _ {+} ^ {\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle 6g-6}$

Formulários

Difeomorfismos Pseudo-Anosov

Um difeomorfismo é chamado de pseudo-Anosov se houver duas foliações transversais medidas, de modo que, sob sua ação, as folheações subjacentes sejam preservadas e as medidas sejam multiplicadas por um fator respectivamente para alguns (chamado de fator de alongamento). Usando sua compactação, Thurston provou a seguinte caracterização de classes de mapeamento pseudo-Anosov (isto é, classes de mapeamento que contêm um elemento pseudo-Anosov), que era essencialmente conhecido por Nielse e geralmente é chamado de classificação de Nielsen-Thurston . Uma classe de mapeamento é pseudo-Anosov se e somente se: ${\ displaystyle S \ a S}$${\ displaystyle \ lambda, \ lambda ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ lambda> 1}$${\ displaystyle \ phi}$

• não é redutível (ou seja, não existe e tal que ); ${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle (\ phi ^ {k}) _ {*} \ sigma = \ sigma}$
• não é de ordem finita (ou seja, não existe tal que seja a classe de isotopia da identidade). ${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ phi ^ {k}}$

A prova se baseia no teorema do ponto fixo de Brouwer aplicado à ação da compactação de Thurston . Se o ponto fixo está no interior, a classe é de ordem finita; se estiver na fronteira e a foliação subjacente tiver uma folha fechada, então é redutível; no caso restante, é possível mostrar que existe um outro ponto fixo correspondente a uma foliação medida transversal e deduzir a propriedade pseudo-Anosov. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {T}}}}$

Aplicativos para o grupo de classes de mapeamento

A ação do grupo de classes de mapeamento da superfície no espaço Teichmüller estende-se continuamente até a compactação de Thurston. Isso fornece uma ferramenta poderosa para estudar a estrutura desse grupo; por exemplo, é usado na prova da alternativa Tits para o grupo de classes de mapeamento. Também pode ser usado para provar vários resultados sobre a estrutura de subgrupos do grupo de classes de mapeamento. ${\ displaystyle S}$

Aplicações para 3 - manifolds

A compactação do espaço de Teichmüller pela adição de folheações medidas é essencial na definição das laminações finais de uma variedade 3 hiperbólica .

Ações em árvores reais

Um ponto no espaço de Teichmüller pode, alternativamente, ser visto como uma representação fiel do grupo fundamental no grupo de isometria do plano hiperbólico , até a conjugação. Tal ação isométrica dá origem (por meio da escolha de um ultrafiltro principal ) a uma ação no cone assintótico de , que é uma árvore real . Duas dessas ações são equivariantes isométricas se, e somente se, vierem do mesmo ponto no espaço de Teichmüller. O espaço de tais ações (dotado de uma topologia natural) é compacto e, portanto, obtemos outra compactação do espaço de Teichmüller. Um teorema de R. Skora afirma que esta compactação é equivariantemente homeomórfica a compactação de Thurston. ${\ displaystyle T (S)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (S)}$${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$

Notas

Referências

• Fathi, Albert; Laudenbach, François; Poénaru, Valentin (2012). O trabalho de Thurston em superfícies Traduzido do original francês de 1979 por Djun M. Kim e Dan Margalit . Notas matemáticas. 48 . Princeton University Press. pp. xvi + 254. ISBN   978-0-691-14735-2 .
• Ivanov, Nikolai (1992). Subgrupos de grupos modulares de Teichmüller . American Math. Soc.