Evolução do tempo - Time evolution
A evolução do tempo é a mudança de estado ocasionada pela passagem do tempo , aplicável a sistemas com estado interno (também chamados de sistemas com estado ). Nesta formulação, o tempo não precisa ser um parâmetro contínuo, mas pode ser discreto ou mesmo finito . Na física clássica , a evolução temporal de uma coleção de corpos rígidos é governada pelos princípios da mecânica clássica . Em sua forma mais rudimentar, esses princípios expressam a relação entre as forças que agem sobre os corpos e sua aceleração dada pelas leis do movimento de Newton . Esses princípios também podem ser expressos de forma equivalente de forma mais abstrata pela mecânica hamiltoniana ou pela mecânica lagrangiana .
O conceito de evolução no tempo também pode ser aplicável a outros sistemas com estado. Por exemplo, a operação de uma máquina de Turing pode ser considerada como a evolução no tempo do estado de controle da máquina junto com o estado da fita (ou possivelmente várias fitas), incluindo a posição da cabeça de leitura / gravação da máquina (ou cabeças). Nesse caso, o tempo é discreto.
Os sistemas com estado muitas vezes têm descrições duais em termos de estados ou em termos de valores observáveis . Em tais sistemas, a evolução do tempo também pode se referir à mudança nos valores observáveis. Isso é particularmente relevante na mecânica quântica, onde a imagem de Schrödinger e a imagem de Heisenberg são (principalmente) descrições equivalentes da evolução no tempo.
Operadores de evolução de tempo
Considere um sistema com espaço de estado X para o qual a evolução é determinística e reversível . Para concretude vamos também tempo suponha que é um parâmetro que varia ao longo do conjunto de números reais R . Então a evolução do tempo é dada por uma família de transformações de estado bijetivas
F t , s ( x ) é o estado do sistema no tempo t , cujo estado no tempo s é x . A seguinte identidade é válida
Para ver por que isso é verdade, suponha que x ∈ X seja o estado no tempo s . Então, pela definição de F, F t , s ( x ) é o estado do sistema no tempo t e, conseqüentemente, aplicando a definição mais uma vez, F u , t (F t , s ( x )) é o estado no tempo u . Mas isso também é F u , s ( x ).
Em alguns contextos da física matemática, os mapeamentos F t , s são chamados de 'operadores de propagação' ou simplesmente propagadores . Na mecânica clássica , os propagadores são funções que operam no espaço de fase de um sistema físico. Na mecânica quântica , os propagadores são geralmente operadores unitários em um espaço de Hilbert . Os propagadores podem ser expressos como exponenciais ordenados no tempo do hamiltoniano integrado. As propriedades assintóticas da evolução no tempo são fornecidas pela matriz de espalhamento .
Um espaço de estado com um propagador distinto também é chamado de sistema dinâmico .
Dizer que a evolução do tempo é homogênea significa que
No caso de um sistema homogêneo, os mapeamentos G t = F t , 0 formam um grupo de um parâmetro de transformações de X , ou seja
Para sistemas não-reversíveis, a operadores de propagação F t , s são definidos sempre que t ≥ s e satisfazer a identidade propagação
No caso homogêneo, os propagadores são exponenciais do hamiltoniano.
Na mecânica quântica
Na imagem de Schrödinger , o operador hamiltoniano gera a evolução temporal dos estados quânticos. Se for o estado do sistema no momento , então
Esta é a equação de Schrödinger . Dado o estado em algum momento inicial ( ), se for independente do tempo, então o operador de evolução de tempo unitário é o operador exponencial, conforme mostrado na equação
Veja também
- Seta do tempo
- Simetria de tradução de tempo
- Sistema hamiltoniano
- Propagator
- Operador de evolução do tempo
- Hamiltoniano (teoria de controle)
Referências
Referências gerais
- Amann, H .; Arendt, W .; Neubrander, F .; Nicaise, S .; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank M; Niceia, Serge; von Below, Joachim (eds.), Functional Analysis and Evolution Equations: The Günter Lumer Volume , Basel: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-3-7643-7794-6 , ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015.
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