Computador quântico topológico - Topological quantum computer

Um computador quântico topológico é um computador quântico teórico proposto pelo físico russo-americano Alexei Kitaev em 1997. Ele emprega quasipartículas bidimensionais chamadas de anyons , cujas linhas de mundo passam ao redor umas das outras para formar tranças em um espaço - tempo tridimensional (ou seja, um mais duas dimensões espaciais). Essas tranças formam as portas lógicas que compõem o computador. A vantagem de um computador quântico baseado em tranças quânticas sobre o uso de partículas quânticas aprisionadas é que o primeiro é muito mais estável. Pequenas perturbações cumulativas podem fazer com que os estados quânticos se descomponham e introduzam erros na computação, mas essas pequenas perturbações não alteram as propriedades topológicas das tranças . É como o esforço necessário para cortar uma corda e reconectar as pontas para formar uma trança diferente, em oposição a uma bola (que representa uma partícula quântica comum no espaço-tempo quadridimensional) colidindo com uma parede.

Enquanto os elementos de um computador quântico topológico se originam em um reino puramente matemático, experimentos em sistemas Hall quânticos fracionários indicam que esses elementos podem ser criados no mundo real usando semicondutores feitos de arseneto de gálio a uma temperatura próxima do zero absoluto e sujeitos a fortes campos magnéticos .

Introdução

Anyons são quasipartículas em um espaço bidimensional. Anyons não são férmions nem bósons , mas como férmions, eles não podem ocupar o mesmo estado. Assim, as linhas de mundo de dois anyons não podem se cruzar ou se fundir, o que permite que seus caminhos formem tranças estáveis no espaço-tempo. Anyons podem se formar a partir de excitações em um gás eletrônico bidimensional frio em um campo magnético muito forte e transportar unidades fracionárias de fluxo magnético. Este fenômeno é denominado efeito Hall quântico fracionário . Em sistemas típicos de laboratório, o gás de elétron ocupa uma fina camada semicondutora imprensada entre camadas de arsenieto de alumínio e gálio.

Quando os anyons são trançados, a transformação do estado quântico do sistema depende apenas da classe topológica das trajetórias dos anyons (que são classificadas de acordo com o grupo de tranças ). Portanto, a informação quântica que é armazenada no estado do sistema é imune a pequenos erros nas trajetórias. Em 2005, Sankar Das Sarma , Michael Freedman e Chetan Nayak propuseram um dispositivo Hall quântico que realizaria um qubit topológico. Em um desenvolvimento chave para computadores quânticos topológicos, em 2005, Vladimir J. Goldman, Fernando E. Camino e Wei Zhou alegaram ter criado e observado a primeira evidência experimental do uso de um efeito Hall quântico fracionário para criar anyons reais, embora outros tenham sugerido seus resultados podem ser o produto de fenômenos que não envolvem anyons. Anyons não abelianos , uma espécie necessária para computadores quânticos topológicos, ainda não foram confirmados experimentalmente. Possíveis evidências experimentais foram encontradas, mas as conclusões permanecem contestadas. Em 2018, os cientistas novamente afirmaram ter isolado as partículas de Majorna necessárias, mas a descoberta foi retirada em 2021. A Quanta Magazine afirmou em 2021 que "ninguém mostrou de forma convincente a existência de uma única quasipartícula (modo zero de Majorana)".

Topológico vs. computador quântico padrão

Computadores quânticos topológicos são equivalentes em poder computacional a outros modelos padrão de computação quântica, em particular ao modelo de circuito quântico e ao modelo de máquina de Turing quântica . Ou seja, qualquer um desses modelos pode simular com eficiência qualquer um dos outros. No entanto, certos algoritmos podem ser um ajuste mais natural para o modelo de computador quântico topológico. Por exemplo, algoritmos para avaliar o polinômio de Jones foram desenvolvidos primeiro no modelo topológico e só mais tarde convertidos e estendidos no modelo de circuito quântico padrão.

Computações

Para fazer jus ao seu nome, um computador quântico topológico deve fornecer as propriedades de computação únicas prometidas por um projeto de computador quântico convencional, que usa partículas quânticas aprisionadas. Felizmente, em 2000, Michael H. Freedman , Alexei Kitaev , Michael J. Larsen e Zhenghan Wang provaram que um computador quântico topológico pode, em princípio, realizar qualquer cálculo que um computador quântico convencional pode fazer, e vice-versa.

Eles descobriram que um dispositivo de computador quântico convencional, dada uma operação livre de erros de seus circuitos lógicos, dará uma solução com um nível absoluto de precisão, enquanto um dispositivo de computação quântica topológica com operação perfeita dará a solução com apenas um nível finito de precisão. No entanto, qualquer nível de precisão para a resposta pode ser obtido adicionando mais tranças trançadas (circuitos lógicos) ao computador quântico topológico, em uma relação linear simples. Em outras palavras, um aumento razoável de elementos (torções de trança) pode atingir um alto grau de precisão na resposta. Os cálculos reais [portas] são feitos pelos estados de borda de um efeito Hall quântico fracionário. Isso torna os modelos de anyons unidimensionais importantes. Em uma dimensão espacial, os anyons são definidos algebricamente.

Correção e controle de erros

Mesmo que as tranças quânticas sejam inerentemente mais estáveis do que as partículas quânticas aprisionadas, ainda há uma necessidade de controlar as flutuações térmicas que induzem a erros, que produzem pares perdidos aleatórios de anyons que interferem com as tranças adjacentes. O controle desses erros é simplesmente uma questão de separar os anyons a uma distância em que a taxa de interferências parasitas caia para quase zero. Simular a dinâmica de um computador quântico topológico pode ser um método promissor de implementação de computação quântica tolerante a falhas, mesmo com um esquema de processamento de informação quântica padrão. Raussendorf, Harrington e Goyal estudaram um modelo, com resultados de simulação promissores.

Exemplo: Computando com anyons de Fibonacci

Um dos exemplos proeminentes na computação quântica topológica é com um sistema de anyons de Fibonacci . No contexto da teoria de campo conforme, os anyons de fibonacci são descritos pelo modelo Yang-Lee, o caso especial SU (2) da teoria de Chern-Simons e os modelos Wess-Zumino-Witten . Esses anyons podem ser usados para criar portas genéricas para computação quântica topológica. Existem três etapas principais para criar um modelo:

Escolha nossa base e restrinja nosso espaço Hilbert
Trance os anyons juntos
Funda os anyons no final e detecta como eles se fundem para ler a saída do sistema.

Preparação de estado

Anyons Fibonacci são definidos por três qualidades:

Eles têm uma carga topológica de . Nesta discussão, consideramos outra carga chamada que é a carga do 'vácuo' se os anyons são aniquilados uns com os outros. ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle 1}$
Cada um desses anyons é sua própria antipartícula. e . ${\ displaystyle \ tau = \ tau ^ {*}}$ ${\ displaystyle 1 = 1 ^ {*}}$
Se colocados próximos um do outro, eles se 'fundirão' de uma maneira não trivial. Especificamente, as regras de 'fusão' são:
1. ${\ displaystyle 1 \ otimes 1 = 1}$
2. ${\ displaystyle 1 \ otimes \ tau = \ tau \ otimes 1 = \ tau}$
3. ${\ displaystyle \ tau \ otimes \ tau = 1 \ oplus \ tau}$
Muitas das propriedades deste sistema podem ser explicadas de forma semelhante às de duas partículas de spin 1/2. Particularmente, usamos o mesmo produto tensorial e operadores de soma direta . ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ oplus}$

A última regra de 'fusão' pode ser estendida para um sistema de três anyons:

{\ displaystyle \ tau \ otimes \ tau \ otimes \ tau = \ tau \ otimes (1 \ oplus \ tau) = \ tau \ otimes 1 \ oplus \ tau \ otimes \ tau = \ tau \ oplus 1 \ oplus \ tau = 1 \ oplus 2 \ cdot \ tau}

Assim, a fusão de três anyons produzirá um estado final de carga total de 2 maneiras, ou uma carga de exatamente de uma maneira. Usamos três estados para definir nossa base. No entanto, como desejamos codificar esses três estados de ânions como superposições de 0 e 1, precisamos limitar a base a um espaço de Hilbert bidimensional. Assim, consideramos apenas dois estados com uma carga total de . Essa escolha é puramente fenomenológica. Nesses estados, agrupamos os dois anyon mais à esquerda em um 'grupo de controle' e deixamos o mais à direita como um 'anyon não computacional'. Classificamos um estado como aquele em que o grupo de controle tem carga 'fundida' total de e um estado de tem um grupo de controle com carga 'fundida' total de . Para uma descrição mais completa, consulte Nayak. ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ tau}$

Gates

Seguindo as idéias acima, entrelaçar adiabaticamente esses anyons em torno um do outro resultará em uma transformação unitária. Esses operadores de trança são o resultado de duas subclasses de operadores:

A matriz F
A matriz R

A matriz R pode ser conceitualmente considerada como a fase topológica que é transmitida aos anyons durante a trança. À medida que os anyons se enrolam, eles adquirem alguma fase devido ao efeito Aharonov-Bohm .

A matriz F é o resultado das rotações físicas dos anyons. Enquanto eles se trançam, é importante perceber que os dois anyons inferiores - o grupo de controle - ainda irão distinguir o estado do qubit. Assim, trançar os anyons mudará quais anyons estão no grupo de controle e, portanto, mudará a base. Avaliamos os anyons sempre fundindo o grupo de controle (os anyons inferiores) primeiro, de modo que a troca de quais anyons são fará o sistema girar. Como esses anyons são não abelianos , a ordem dos anyons (quais estão dentro do grupo de controle) será importante e, como tal, eles transformarão o sistema.

O operador de trança completa pode ser derivado como:

${\ displaystyle B = F ^ {- 1} RF}$

Para construir matematicamente os operadores F e R , podemos considerar as permutações desses operadores F e R. Sabemos que, se mudarmos sequencialmente a base em que estamos operando, isso acabará nos levando de volta à mesma base. Da mesma forma, sabemos que se trançarmos anyons em torno um do outro um certo número de vezes, isso nos levará de volta ao mesmo estado. Esses axiomas são chamados de axiomas pentagonal e hexagonal, respectivamente, pois a execução da operação pode ser visualizada com um pentágono / hexágono de transformações de estado. Embora matematicamente difíceis, eles podem ser abordados com muito mais sucesso visualmente.

Com esses operadores de trança, podemos finalmente formalizar a noção de tranças em termos de como elas agem em nosso espaço de Hilbert e construir portas quânticas universais arbitrárias.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Collins, Graham P. (abril de 2006). "Computing with Quantum Knots" (PDF) . Scientific American .
Sarma, Sankar Das; Freedman, Michael; Nayak, Chetan (2005). "Qubits Topologicamente Protegidos de um Possível Estado de Hall Quântico Fracionário Não Abeliano". Cartas de revisão física . 94 (16): 166802. arXiv : cond-mat / 0412343 . Bibcode : 2005PhRvL..94p6802D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.94.166802 . PMID 15904258 .
Nayak, Chetan; Simon, Steven H .; Stern, Ady ; Freedman, Michael ; Sarma, Sankar Das (2008). "Anyons não abelianos e computação quântica topológica". Avaliações da Física Moderna . 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . doi : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 .
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Simon, Steven H. "Quantum Computing with a Twist" .

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