Hipérbole de unidade - Unit hyperbola

A hipérbole unitária é azul, seu conjugado é verde e as assíntotas são vermelhas.

Em geometria , a hipérbole unitária é o conjunto de pontos ( x , y ) no plano cartesiano que satisfazem a equação implícita. No estudo de grupos ortogonais indefinidos , a hipérbole unitária forma a base para um comprimento radial alternativo${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1.}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} -y ^ {2}}}.}$

Enquanto o círculo unitário circunda seu centro, a hipérbole unitária requer a hipérbole conjugada para complementá-la no plano. Este par de hipérboles compartilhar os asymptotes y = x e y = - x . Quando o conjugado da hipérbole unitária está em uso, o comprimento radial alternativo é${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle r = {\ sqrt {y ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

A hipérbole unitária é um caso especial da hipérbole retangular , com uma orientação , localização e escala particulares . Como tal, sua excentricidade é igual${\ displaystyle {\ sqrt {2}}.}$

A hipérbole unitária encontra aplicações em que o círculo deve ser substituído pela hipérbole para fins de geometria analítica. Um exemplo proeminente é a representação do espaço-tempo como um espaço pseudo-euclidiano . Nesse local, as assíntotas da hipérbole unitária formam um cone de luz . Além disso, a atenção às áreas dos setores hiperbólicos por Gregoire de Saint-Vincent levou à função logarítmica e à parametrização moderna da hipérbole por áreas do setor. Quando as noções de hipérboles conjugadas e ângulos hiperbólicos são compreendidas, os números complexos clássicos , que são construídos em torno do círculo unitário, podem ser substituídos por números construídos em torno da hipérbole unitária.

Assíntotas

Geralmente as linhas assintóticas para uma curva convergem para a curva. Na geometria algébrica e na teoria das curvas algébricas, há uma abordagem diferente para as assíntotas. A curva é interpretada primeiro no plano projetivo usando coordenadas homogêneas . Então, as assíntotas são linhas tangentes à curva projetiva em um ponto no infinito , contornando assim qualquer necessidade de um conceito de distância e convergência. Em uma estrutura comum ( x, y, z ) são coordenadas homogêneas com a linha no infinito determinada pela equação z = 0. Por exemplo, CG Gibson escreveu:

Para a hipérbole retangular padrão em ℝ ² , a curva projetiva correspondente é aquela que encontra z = 0 nos pontos P = (1: 1: 0) e Q = (1: −1: 0). Ambos P e Q são simples em F , com tangentes x + y = 0, x - y = 0; assim, recuperamos as conhecidas 'assíntotas' da geometria elementar.${\ displaystyle f = x ^ {2} -y ^ {2} -1}$${\ displaystyle F = x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}$

Diagrama de Minkowski

O diagrama de Minkowski é desenhado em um plano do espaço-tempo onde o aspecto espacial foi restrito a uma única dimensão. As unidades de distância e tempo em tal plano são

• unidades de 30 centímetros de comprimento e nanossegundos , ou
• unidades astronômicas e intervalos de 8 minutos e 20 segundos, ou
• anos-luz e anos .

Cada uma dessas escalas de coordenadas resulta em conexões de fótons de eventos ao longo de linhas diagonais de inclinação mais ou menos um. Cinco elementos constituem o diagrama que Hermann Minkowski usou para descrever as transformações da relatividade: a hipérbole unitária, sua hipérbole conjugada, os eixos da hipérbole, um diâmetro da hipérbole unitária e o diâmetro conjugado . O plano com os eixos refere-se a um referencial de repouso . O diâmetro da hipérbole unitária representa um quadro de referência em movimento com rapidez a, onde tanh a = y / xe ( x , y ) é o ponto final do diâmetro na hipérbole unitária. O diâmetro conjugado representa o hiperplano espacial de simultaneidade correspondente à rapidez a . Neste contexto, a hipérbole de unidade é uma hipérbole de calibração. Comumente no estudo da relatividade, a hipérbole com eixo vertical é tomada como primária:

A seta do tempo vai de baixo para cima na figura - uma convenção adotada por Richard Feynman em seus famosos diagramas. O espaço é representado por planos perpendiculares ao eixo do tempo. O aqui e agora é uma singularidade no meio.

A convenção do eixo vertical do tempo origina-se de Minkowski em 1908 e também é ilustrada na página 48 de The Nature of the Physical World (1928) de Eddington .

Parametrização

Os ramos da hipérbole unitária evoluem como os pontos e dependendo do parâmetro do ângulo hiperbólico .${\ displaystyle (\ cosh a, \ sinh a)}$${\ displaystyle (- \ cosh a, - \ sinh a)}$${\ displaystyle a}$

Uma forma direta de parametrizar a hipérbole unitária começa com a hipérbole xy = 1 parametrizada com a função exponencial :${\ displaystyle (e ^ {t}, \ e ^ {- t}).}$

Esta hipérbole é transformada na hipérbole unitária por um mapeamento linear com a matriz${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} \:}$

${\ displaystyle (e ^ {t}, \ e ^ {- t}) \ A = ({\ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}, \ {\ frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2}}) = (\ cosh t, \ \ sinh t).}$

Este parâmetro t é o ângulo hiperbólico , que é o argumento das funções hiperbólicas .

Encontra-se uma expressão inicial da hipérbole de unidade parametrizada em Elements of Dynamic (1878) de WK Clifford . Ele descreve o movimento quase harmônico em uma hipérbole da seguinte maneira:

O movimento tem algumas analogias curiosas com o movimento harmônico elíptico. ... A aceleração,   portanto, é sempre proporcional à distância do centro, como no movimento harmônico elíptico, mas direcionada para longe do centro.${\ displaystyle \ rho = \ alpha \ cosh (nt + \ epsilon) + \ beta \ sinh (nt + \ epsilon)}$${\ displaystyle {\ ddot {\ rho}} = n ^ {2} \ rho \;}$

Como uma cônica particular , a hipérbole pode ser parametrizada pelo processo de adição de pontos em uma cônica. A seguinte descrição foi dada por analistas russos:

Fixe um ponto E na cônica. Considere os pontos em que a linha recta traçada através E paralelo ao AB intersecta a cónica uma segunda vez para ser a soma dos pontos A e B .

Para a hipérbole com ponto fixo E = (1,0) a soma dos pontos e é o ponto sob a parametrização e esta adição corresponde à adição do parâmetro t .${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ y_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, \ y_ {2})}$${\ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2}, \ y_ {1} x_ {2} + y_ {2} x_ {1})}$${\ displaystyle x = \ cosh \ t}$${\ displaystyle y = \ sinh \ t}$

Álgebra de plano complexo

Enquanto o círculo unitário está associado a números complexos , a hipérbole unitária é a chave para o plano de número complexo dividido que consiste em z = x + yj , onde j ² = +1. Então jz = y + xj , então a ação de j no plano é trocar as coordenadas. Em particular, esta ação troca a hipérbole unitária com seu conjugado e troca pares de diâmetros conjugados das hipérboles.

Em termos do parâmetro do ângulo hiperbólico a , a hipérbole unitária consiste em pontos

${\ displaystyle \ pm (\ cosh a + j \ sinh a)}$, onde j = (0,1).

O ramo direito da hipérbole unitária corresponde ao coeficiente positivo. Na verdade, esta ramificação é a imagem do mapa exponencial atuando no eixo j . Desde a

${\ displaystyle \ exp (aj) \ exp (bj) = \ exp ((a + b) j)}$,

o galho é um grupo em multiplicação. Ao contrário do grupo de círculo , este grupo de hipérbole de unidade não é compacto . Semelhante ao plano complexo comum, um ponto fora das diagonais tem uma decomposição polar usando a parametrização da hipérbole unitária e o comprimento radial alternativo.

Referências

• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrações , Figura 4.33, página 70, Academic Press , ISBN  0-12-329650-1 .