Diagrama do espaço-tempo - Spacetime diagram

A linha de mundo (caminho amarelo) de um fóton , que está na localização x = 0 no tempo ct = 0.

Parte de uma série sobre
Espaço-tempo
Relatividade especial Relatividade geral
Conceitos de espaço-tempo
Relatividade geral
Gravidade clássica
Matemática relevante
v t e

Um diagrama de espaço-tempo é uma ilustração gráfica das propriedades de espaço e tempo na teoria da relatividade especial . Os diagramas de espaço-tempo permitem uma compreensão qualitativa dos fenômenos correspondentes, como dilatação do tempo e contração do comprimento, sem equações matemáticas.

A história da localização de um objeto ao longo de todo o tempo traça uma linha, conhecida como linha de mundo do objeto , em um diagrama do espaço-tempo. Os pontos nos diagramas do espaço-tempo representam uma posição fixa no espaço e no tempo e são chamados de eventos .

A classe mais conhecida de diagramas de espaço-tempo são conhecidos como diagramas de Minkowski , desenvolvidos por Hermann Minkowski em 1908. Os diagramas de Minkowski são gráficos bidimensionais que representam eventos ocorrendo em um universo que consiste em uma dimensão espacial e uma dimensão temporal. Ao contrário de um gráfico de distância-tempo regular, a distância é exibida no eixo horizontal e o tempo no eixo vertical. Além disso, as unidades de medida de tempo e espaço são escolhidas de tal forma que um objeto que se move à velocidade da luz é representado seguindo um ângulo de 45 ° em relação aos eixos do diagrama.

Introdução aos diagramas cinéticos

Gráficos de posição versus tempo

No estudo da cinemática unidimensional, os gráficos de posição vs. tempo (também chamados de gráficos de distância vs. tempo ou gráficos pt) fornecem um meio útil para descrever o movimento. As características específicas do movimento dos objetos são demonstradas pela forma e pela inclinação das linhas. Na figura a seguir, o objeto plotado se afasta da origem a uma velocidade uniforme de 1,66 m / s por seis segundos, pára por cinco segundos e retorna à origem por um período de sete segundos a uma velocidade não constante.

Em seu nível mais básico, um diagrama de espaço-tempo é meramente um gráfico de tempo vs posição, com as direções dos eixos em um gráfico pt usual trocadas, ou seja, o eixo vertical refere-se aos valores de coordenadas temporais e o eixo horizontal aos espaciais. Especialmente quando usado na relatividade especial (SR), os eixos temporais de um diagrama de espaço-tempo são escalados com a velocidade da luz c , e portanto são frequentemente rotulados por ct. Isso muda a dimensão da quantidade física endereçada de < Tempo > para < Comprimento >, de acordo com a dimensão associada aos eixos espaciais, que são frequentemente rotulados de x.

Configuração padrão de quadros de referência

Diagrama de Galileu de dois quadros de referência em configuração padrão.

Para facilitar a compreensão de como as coordenadas do espaço-tempo, medidas por observadores em diferentes referenciais , se comparam entre si, é útil trabalhar com uma configuração simplificada. Com cuidado, isso permite a simplificação da matemática sem perda de generalidade nas conclusões a que se chega. Deixando o componente temporal de lado por enquanto, dois referenciais galileanos (ou seja, referenciais convencionais de 3 espaços), S e S '(pronuncia-se "S linha"), cada um com os observadores O e O' em repouso em seus respectivos referenciais, mas medindo o outro como se movendo com velocidades ± v são considerados em configuração padrão , quando:

• Os eixos x , y , z do quadro S são orientados paralelamente aos respectivos eixos com primer do quadro S ′.
• O quadro S ′ se move na direção x do quadro S com uma velocidade constante v medida no quadro S.
• As origens dos quadros S e S ′ coincidem para o tempo t = 0 no quadro S e t ′ = 0 no quadro S ′.

Essa configuração espacial é exibida na figura a seguir , na qual as coordenadas temporais são anotadas separadamente como quantidades t e t ' .

Em uma etapa adicional de simplificação, muitas vezes é possível considerar apenas a direção do movimento observado e ignorar os outros dois componentes espaciais, permitindo que x e ct sejam plotados em diagramas de espaço-tempo bidimensionais, conforme apresentado acima.

"Diagramas de espaço-tempo" não relativísticos

Na física newtoniana, para ambos os observadores, o evento em A é atribuído ao mesmo ponto no tempo.

Os eixos pretos marcados com x e ct no diagrama adjacente são o sistema de coordenadas de um observador, referido como 'em repouso', e que está posicionado em x = 0 . A linha de mundo deste observador é idêntica ao eixo do tempo ct . Cada linha paralela a este eixo corresponderia também a um objeto em repouso, mas em outra posição. A linha azul descreve um objeto se movendo com velocidade constante v para a direita, como um observador em movimento.

Esta linha azul marcada como ct ′ pode ser interpretada como o eixo do tempo para o segundo observador. Junto com o eixo x , que é idêntico para ambos os observadores, ele representa seu sistema de coordenadas. Como os referenciais estão na configuração padrão, ambos os observadores concordam sobre a localização da origem de seus sistemas de coordenadas. Os eixos do observador em movimento não são perpendiculares entre si e a escala em seu eixo do tempo é esticada. Para determinar as coordenadas de um determinado evento, duas linhas, cada uma paralela a um dos dois eixos, devem ser construídas passando pelo evento, e suas interseções com os eixos lidas.

Determinar a posição e a hora do evento A como exemplo no diagrama leva ao mesmo tempo para ambos os observadores, conforme o esperado. Apenas para a posição resultam valores diferentes, porque o observador em movimento se aproximou da posição do evento A desde t = 0 . De modo geral, todos os eventos em uma linha paralela ao eixo x acontecem simultaneamente para ambos os observadores. Existe apenas um tempo universal t = t ′ , modelando a existência de um eixo de posição comum. Por outro lado, devido a dois eixos de tempo diferentes, os observadores geralmente medem coordenadas diferentes para o mesmo evento. Esta tradução gráfica de x e t para X ' e T ' e vice-versa é descrito matematicamente pela assim chamada transformação de Galileu .

Diagramas de Minkowski

Visão geral

Na teoria da relatividade, cada observador atribui o evento em A a um tempo e local diferentes.

Diagrama de Minkowski para várias velocidades do quadro inicializado, que está se movendo em relação ao quadro não inicializado. As linhas tracejadas representam o cone de luz de um flash de luz na origem.

O termo diagrama de Minkowski se refere a uma forma específica de diagrama de espaço-tempo freqüentemente usado na relatividade especial. Um diagrama de Minkowski é uma representação gráfica bidimensional de uma parte do espaço de Minkowski , geralmente onde o espaço foi reduzido a uma única dimensão. As unidades de medida nesses diagramas são tomadas de tal forma que o cone de luz em um evento consiste nas linhas de inclinação mais ou menos um através daquele evento. As linhas horizontais correspondem à noção usual de eventos simultâneos para um observador estacionário na origem.

Um diagrama de Minkowski específico ilustra o resultado de uma transformação de Lorentz . A transformação de Lorentz relaciona dois referenciais inerciais , onde um observador estacionário no evento (0, 0) faz uma mudança de velocidade ao longo do eixo x . O novo eixo de tempo do observador forma um ângulo α com o eixo de tempo anterior, com α < π/4. No novo referencial, os eventos simultâneos encontram-se paralelos a uma linha inclinada por α em relação às linhas anteriores de simultaneidade. Este é o novo eixo x . Tanto o conjunto original de eixos quanto o conjunto de eixos preparado têm a propriedade de serem ortogonais em relação ao produto interno de Minkowski ou produto escalar relativístico .

Qualquer que seja o módulo de α , a linha t = x forma a bissetriz universal .

As unidades de medida de espaço e tempo nos eixos podem, por exemplo, ser consideradas como um dos seguintes pares:

• Unidades de aproximadamente 30 centímetros de comprimento e nanossegundos
• Unidades astronômicas e intervalos de cerca de 8 minutos e 19 segundos (499 segundos)
• Anos luz e anos
• Segundo luz e segundo

Dessa forma, os caminhos de luz são representados por linhas paralelas à bissetriz entre os eixos.

Detalhes matemáticos

O ângulo α entre os eixos x e x ′ será idêntico ao ângulo entre os eixos de tempo ct e ct ′ . Isso decorre do segundo postulado da relatividade especial, que diz que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, independentemente de seu movimento relativo (veja abaixo). O ângulo α é dado por

${\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {v} {c}} = \ beta.}$

Escalas diferentes nos eixos.

O impulso correspondente a partir de x e t para X ' e T ' e vice-versa é descrito matematicamente pela transformação de Lorentz , que pode ser escrito

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} ct '& = \ gamma (ct- \ beta x), \\ x' & = \ gamma (x-vt) \\\ end {alinhado}}}$

onde está o fator Lorentz . Aplicando a transformação de Lorentz, os eixos do espaço-tempo obtidos para um quadro ampliado sempre corresponderão aos diâmetros conjugados de um par de hipérboles . ${\ displaystyle \ gamma = (1- \ beta ^ {2}) ^ {- 1/2}}$

Em um diagrama de Minkowski, os eixos do espaço-tempo aumentados e não aumentados terão, em geral, comprimentos de unidade desiguais. Se U é o comprimento da unidade nos eixos de ct e x respectivamente, o comprimento da unidade nos eixos de ct ′ e x ′ é:

${\ displaystyle U '= U {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}}} \ ,.}$

O eixo ct representa a linha do mundo de um relógio em repouso em S , com U representando a duração entre dois eventos que acontecem nesta linha do mundo, também chamado de tempo adequado entre esses eventos. Comprimento L mediante a x -axis representa o comprimento restante ou comprimento adequado de um descanso haste em S . A mesma interpretação também pode ser aplicado à distância L ' sobre o ct ' - e x ' -axes para relógios e hastes que descansam em S ' .

História

Albert Einstein descobriu a relatividade especial em 1905, com Hermann Minkowski fornecendo sua representação gráfica em 1908.

No artigo de Minkowski de 1908, havia três diagramas, primeiro para ilustrar a transformação de Lorentz, depois a partição do plano pelo cone de luz e, finalmente, a ilustração das linhas do mundo. O primeiro diagrama usava um ramo da hipérbole unitária para mostrar o locus de uma unidade de tempo adequado dependendo da velocidade, ilustrando assim a dilatação do tempo. O segundo diagrama mostrava a hipérbole conjugada para calibrar o espaço, onde um alongamento semelhante deixa a impressão de contração de FitzGerald . Em 1914, Ludwik Silberstein incluiu um diagrama da "representação de Minkowski da transformação de Lorentz". Este diagrama incluía a hipérbole unitária, seu conjugado e um par de diâmetros conjugados . Desde a década de 1960, uma versão dessa configuração mais completa tem sido chamada de Diagrama de Minkowski e usada como uma ilustração padrão da geometria de transformação da relatividade especial. ET Whittaker apontou que o princípio da relatividade equivale à arbitrariedade de qual raio da hipérbole é selecionado para o tempo no diagrama de Minkowski. Em 1912 Gilbert N. Lewis e Edwin B. Wilson aplicaram os métodos da geometria sintética para desenvolver as propriedades do plano não euclidiano que possui diagramas de Minkowski. ${\ displaystyle t ^ {2} -x ^ {2} = 1}$

Quando Taylor e Wheeler compuseram a Física do espaço-tempo (1966), eles não usaram o termo "diagrama de Minkowski" para sua geometria do espaço-tempo. Em vez disso, eles incluíram um reconhecimento da contribuição de Minkowski para a filosofia pela totalidade de sua inovação de 1908.

Diagramas de Loedel

Enquanto um quadro em repouso em um diagrama de Minkowski tem eixos de espaço-tempo ortogonais, um quadro que se move em relação ao quadro de repouso em um diagrama de Minkowski tem eixos de espaço-tempo que formam um ângulo agudo. Essa assimetria dos diagramas de Minkowski pode ser enganosa, uma vez que a relatividade especial postula que quaisquer dois referenciais inerciais devem ser fisicamente equivalentes. O diagrama de Loedel é um diagrama de espaço-tempo alternativo que torna a simetria dos quadros de referências inerciais muito mais manifesta.

Formulação via quadro mediano

Fig. 1: Visualização no quadro mediano

Fig. 2: Diagrama simétrico

Vários autores demonstraram que existe um referencial entre os em repouso e em movimento onde sua simetria seria aparente ("referencial mediano"). Neste quadro, os outros dois quadros estão se movendo em direções opostas com velocidade igual. Usar tais coordenadas torna as unidades de comprimento e tempo iguais para ambos os eixos. Se β =v/ce γ =1/√ 1 - β ²é dado entre e , então essas expressões são conectadas com os valores em seu quadro médio S _{0 da} seguinte forma: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {\ prime}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (1) && \ beta & = {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1 + {\ beta _ {0}} ^ {2}}}, \\ ( 2) && \ beta _ {0} & = {\ frac {\ gamma -1} {\ beta \ gamma}}. \ End {alinhado}}}$

Por exemplo, se β = 0,5 entre e , então por (2) eles estão se movendo em seu referencial médio S ₀ com aproximadamente ± 0,268 c cada em direções opostas. Por outro lado, se β ₀ = 0,5 em S ₀ , então por (1) a velocidade relativa entre e em seus próprios quadros de repouso é 0,8 c . A construção dos eixos de e é feita de acordo com o método comum usando tan α = β ₀ em relação aos eixos ortogonais da moldura mediana (Fig. 1). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {\ prime}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {\ prime}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {\ prime}}$

No entanto, verifica-se que ao desenhar esse diagrama simétrico, é possível derivar as relações do diagrama mesmo sem mencionar o referencial mediano e β _{0 de} todo. Em vez disso, a velocidade relativa β =v/centre e pode ser usado diretamente na seguinte construção, fornecendo o mesmo resultado: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {\ prime}}$

Se φ é o ângulo entre os eixos de ct ′ e ct (ou entre x e x ′ ), e θ entre os eixos de x ′ e ct ′ , é dado:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sin \ varphi = \ cos \ theta & = \ beta, \\\ cos \ varphi = \ sin \ theta & = {\ frac {1} {\ gamma}}, \\ \ tan \ varphi = \ cot \ theta & = \ beta \ cdot \ gamma. \ end {alinhado}}}$

Dois métodos de construção são óbvios na Fig. 2: (a) O eixo x é desenhado perpendicularmente ao eixo ct ′ , os eixos x ′ e ct são adicionados no ângulo φ ; (b) o eixo x ′ é traçado no ângulo θ em relação ao eixo ct ′ , o eixo x é adicionado perpendicular ao eixo ct ′ e o eixo ct perpendicular ao eixo x ′ .

Em um diagrama de Minkowski, os comprimentos na página não podem ser comparados diretamente entre si, devido ao fator de empenamento entre os comprimentos das unidades dos eixos em um diagrama de Minkowski. Em particular, se e são os comprimentos unitários dos eixos do quadro de descanso e eixos do quadro móvel, respectivamente, em um diagrama de Minkowski, então os dois comprimentos da unidade são empenados um em relação ao outro através da fórmula: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U ^ {\ prime}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} U ^ {\ prime} & = U {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}}} \ end {alinhado }}}$

Em contraste, em um diagrama de Loedel simétrico, os eixos e do quadro são empenados pelo mesmo fator em relação ao quadro médio e, portanto, têm comprimentos unitários idênticos. Isso implica que, para um diagrama de espaço-tempo de Loedel, podemos comparar diretamente comprimentos de espaço-tempo entre diferentes quadros à medida que aparecem na página; nenhuma escala / conversão de comprimento de unidade entre quadros é necessária devido à natureza simétrica do diagrama de Loedel. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {\ prime}}$

História

• Max Born (1920) desenhou diagramas de Minkowski colocando o eixo ct ′ quase perpendicular ao eixo x , bem como o eixo ct ao eixo x ′ , a fim de demonstrar a contração do comprimento e dilatação do tempo no caso simétrico de duas hastes e dois relógios movendo-se na direção oposta.
• Dmitry Mirimanoff (1921) mostrou que há sempre um referencial mediano com respeito a dois referenciais relativamente móveis e derivou as relações entre eles a partir da transformação de Lorentz. No entanto, ele não deu uma representação gráfica em um diagrama.
• Diagramas simétricos foram desenvolvidos sistematicamente por Paul Gruner em colaboração com Josef Sauter em dois artigos em 1921. Efeitos relativísticos como contração de comprimento e dilatação do tempo e algumas relações com vetores covariantes e contravariantes foram demonstrados por eles. Gruner estendeu esse método em artigos subsequentes (1922-1924) e também deu crédito ao tratamento de Mirimanoff.
• A construção de diagramas simétricos de Minkowski foi posteriormente redescoberta de forma independente por vários autores. Por exemplo, a partir de 1948, Enrique Loedel Palumbo publicou uma série de artigos em língua espanhola, apresentando os detalhes de tal abordagem. Em 1955, Henri Amar também publicou um artigo apresentando tais relações e deu crédito a Loedel em um artigo subsequente em 1957. Alguns autores de livros didáticos usam diagramas de Minkowski simétricos, denotando-os como diagramas de Loedel .

Fenômenos relativísticos em diagramas

Dilatação do tempo

Dilatação relativística do tempo, conforme ilustrado em dois diagramas de espaço-tempo de Loedel. Ambos os observadores consideram o relógio do outro mais lento.

Dilatação relativística do tempo, conforme representado em um único diagrama de espaço-tempo de Loedel. Ambos os observadores consideram o relógio do outro mais lento.

A dilatação relativística do tempo refere-se ao fato de que um relógio (indicando seu próprio tempo em seu referencial de repouso) que se move em relação a um observador é observado para correr mais devagar. A situação é representada em diagramas de Loedel simétricos à direita. Observe que podemos comparar comprimentos de espaço-tempo na página diretamente uns com os outros, devido à natureza simétrica do diagrama de Loedel.

O observador cujo referencial é dado pelos eixos pretos é assumido para se mover da origem O em direção a A. O relógio em movimento tem o referencial dado pelos eixos azuis e se move de O para B. Para o observador preto, todos os eventos acontecem simultaneamente com o evento em A estão localizados em uma linha reta paralela ao seu eixo espacial. Esta linha passa por A e B, então A e B são simultâneos do referencial do observador com eixos pretos. No entanto, o relógio que está se movendo em relação ao observador preto marca o tempo ao longo do eixo de tempo azul. Isso é representado pela distância de O a B. Portanto, o observador em A com os eixos pretos percebe que seu relógio está lendo a distância de O a A enquanto observa o relógio se movendo em relação a ele para ler a distância de O a B Devido à distância de O a B ser menor do que a distância de O a A, eles concluem que o tempo passado no relógio se movendo em relação a eles é menor do que o tempo passado em seu próprio relógio.

Um segundo observador, tendo se movido junto com o relógio de O para B, argumentará que o relógio do eixo preto atingiu apenas C e, portanto, funciona mais devagar. A razão para essas afirmações aparentemente paradoxais é a determinação diferente dos eventos acontecendo sincronizadamente em locais diferentes. Devido ao princípio da relatividade, a questão de quem está certo não tem resposta e não faz sentido.

Contração de comprimento

Contração relativística do comprimento, conforme ilustrado em dois diagramas de espaço-tempo de Loedel. Ambos os observadores consideram os objetos que se movem com o outro observador como sendo mais curtos.

Contração relativística do comprimento, conforme representado em um único diagrama de espaço-tempo de Loedel. Ambos os observadores consideram os objetos que se movem com o outro observador como sendo mais curtos.

A contração relativística do comprimento refere-se ao fato de que uma régua (indicando seu comprimento adequado em seu quadro de repouso) que se move em relação a um observador é observada se contraindo / encurtando. A situação é representada em diagramas de Loedel simétricos à direita. Observe que podemos comparar comprimentos de espaço-tempo na página diretamente uns com os outros, devido à natureza simétrica do diagrama de Loedel.

Presume-se que o observador se mova novamente ao longo do eixo ct . Supõe-se que as linhas de mundo das extremidades de um objeto que se move em relação a ele se movem ao longo do eixo ct ′ e da linha paralela passando por A e B. Para este observador, as extremidades do objeto em t = 0 são O e A. Para um segundo observador movendo-se junto com o objeto, de modo que para ele o objeto esteja em repouso, ele tem o comprimento adequado OB em t ′ = 0 . Devido a OA <OB . o objeto é contraído para o primeiro observador.

O segundo observador argumentará que o primeiro observador avaliou os pontos finais do objeto em O e A respectivamente e, portanto, em momentos diferentes, levando a um resultado incorreto devido ao seu movimento nesse ínterim. Se o segundo observador investiga o comprimento de outro objeto com pontos finais se movendo ao longo do eixo ct e uma linha paralela passando por C e D, ele conclui da mesma forma que este objeto é contraído de OD para OC. Cada observador estima os objetos que se movem com o outro observador a serem contraídos. Esta situação aparentemente paradoxal é novamente uma consequência da relatividade da simultaneidade como demonstrado pela análise via diagrama de Minkowski.

Por todas essas considerações, foi assumido que ambos os observadores levam em consideração a velocidade da luz e sua distância a todos os eventos que vêem, a fim de determinar os tempos reais em que esses eventos acontecem de seu ponto de vista.

Constância da velocidade da luz

Diagrama de Minkowski para 3 sistemas de coordenadas. Para as velocidades relativas ao sistema em preto v ′ = 0,4 c e v ″ = 0,8 c é válido.

Outro postulado da relatividade especial é a constância da velocidade da luz. Diz que qualquer observador em um referencial inercial medindo a velocidade do vácuo da luz em relação a si mesmo obtém o mesmo valor independentemente de seu próprio movimento e do da fonte de luz. Essa afirmação parece paradoxal, mas decorre imediatamente da equação diferencial que a produz, e o diagrama de Minkowski concorda. Explica também o resultado do experimento Michelson-Morley, que era considerado um mistério antes da descoberta da teoria da relatividade, quando se pensava que os fótons eram ondas através de um meio indetectável.

Para linhas mundiais de fótons passando pela origem em diferentes direções, x = ct e x = - ct é válido. Isso significa que qualquer posição em tal linha mundial corresponde a etapas nos eixos x e ct de igual valor absoluto. Da regra para leitura de coordenadas no sistema de coordenadas com eixos inclinados segue que as duas linhas mundiais são as bissetoras dos ângulos x - e ct . O diagrama de Minkowski mostra que eles são bissetores dos ângulos x ′ - e ct ′ também. Isso significa que ambos os observadores medem a mesma velocidade c para ambos os fótons.

Outros sistemas de coordenadas correspondentes a observadores com velocidades arbitrárias podem ser adicionados a este diagrama de Minkowski. Para todos esses sistemas, as duas linhas do mundo dos fótons representam as bissetoras dos ângulos dos eixos. Quanto mais a velocidade relativa se aproxima da velocidade da luz, mais os eixos se aproximam da bissetriz do ângulo correspondente. O eixo é sempre mais plano e o eixo do tempo mais inclinado do que as linhas do mundo dos fótons. As escalas em ambos os eixos são sempre idênticas, mas geralmente diferentes daquelas dos outros sistemas de coordenadas. ${\ displaystyle x}$

Velocidade da luz e causalidade

Passado e futuro em relação à origem. Para as áreas cinzentas, uma classificação temporal correspondente não é possível.

As linhas retas que passam pela origem, que são mais íngremes do que as duas linhas do mundo dos fótons, correspondem a objetos que se movem mais lentamente do que a velocidade da luz. Se isso se aplica a um objeto, então se aplica do ponto de vista de todos os observadores, porque as linhas de mundo desses fótons são as bissetoras dos ângulos para qualquer referencial inercial. Portanto, qualquer ponto acima da origem e entre as linhas de mundo de ambos os fótons pode ser alcançado com uma velocidade menor que a da luz e pode ter uma relação de causa e efeito com a origem. Esta área é o futuro absoluto, porque qualquer evento ali acontece mais tarde em comparação com o evento representado pela origem independentemente do observador, o que é graficamente óbvio no diagrama de Minkowski.

Seguindo o mesmo argumento, o intervalo abaixo da origem e entre as linhas do mundo dos fótons é o passado absoluto em relação à origem. Qualquer evento ali pertence definitivamente ao passado e pode ser a causa de um efeito na origem.

A relação entre qualquer um desses pares de eventos é chamada de tempo , porque eles têm uma distância de tempo maior que zero para todos os observadores. Uma linha reta conectando esses dois eventos é sempre o eixo do tempo de um possível observador para quem eles acontecem no mesmo lugar. Dois eventos que podem ser conectados apenas com a velocidade da luz são chamados de semelhantes à luz .

Em princípio, uma outra dimensão do espaço pode ser adicionada ao diagrama de Minkowski levando a uma representação tridimensional. Nesse caso, as faixas de futuro e passado tornam-se cones com vértices se tocando na origem. Eles são chamados de cones de luz .

A velocidade da luz como limite

Enviando uma mensagem em velocidade superluminal de O via A para B no passado. Ambos os observadores consideram a ordem temporal dos pares de eventos O e A, bem como A e B diferentes.

Seguindo o mesmo argumento, todas as linhas retas que passam pela origem e que são mais horizontais do que as linhas do mundo do fóton, corresponderiam a objetos ou sinais se movendo mais rápido que a luz, independentemente da velocidade do observador. Portanto, nenhum evento fora dos cones de luz pode ser alcançado a partir da origem, mesmo por um sinal de luz, nem por qualquer objeto ou sinal se movendo com menos que a velocidade da luz. Esses pares de eventos são chamados de espaciais porque têm uma distância espacial finita diferente de zero para todos os observadores. Por outro lado, uma linha reta conectando tais eventos é sempre o eixo das coordenadas espaciais de um possível observador para o qual eles acontecem ao mesmo tempo. Por uma ligeira variação da velocidade desse sistema de coordenadas em ambas as direções, é sempre possível encontrar dois referenciais inerciais cujos observadores estimam que a ordem cronológica desses eventos seja diferente.

Portanto, um objeto se movendo mais rápido do que a luz, digamos de O para A no diagrama adjacente, implicaria que, para qualquer observador observando o objeto se movendo de O para A, outro observador pode ser encontrado (movendo-se a menos que a velocidade da luz com em relação ao primeiro) para quem o objeto se move de A para O. A questão de qual observador está certo não tem uma resposta única e, portanto, não faz sentido físico. Qualquer objeto ou sinal em movimento violaria o princípio da causalidade.

Além disso, qualquer meio técnico geral de enviar sinais mais rápido do que a luz permitiria que as informações fossem enviadas para o próprio passado do originador. No diagrama, um observador em O no sistema x - ct envia uma mensagem se movendo mais rápido que a luz para A. Em A, ela é recebida por outro observador, movendo-se de forma a estar no sistema x ′ - ct ′ , que envia de volta, novamente mais rápido que a luz, chegando a B. Mas B está no passado em relação a O. O absurdo desse processo se torna óbvio quando ambos os observadores subsequentemente confirmam que não receberam nenhuma mensagem, mas todas as mensagens foram direcionadas para o outro observador, como pode ser visto graficamente no diagrama de Minkowski. Além disso, se fosse possível acelerar um observador até a velocidade da luz, seus eixos de espaço e tempo coincidiriam com sua bissetriz de ângulo. O sistema de coordenadas entraria em colapso, em concordância com o fato de que, devido à dilatação do tempo, o tempo efetivamente pararia de passar para eles.

Essas considerações mostram que a velocidade da luz como limite é uma consequência das propriedades do espaço-tempo, e não das propriedades de objetos como naves espaciais tecnologicamente imperfeitas. A proibição do movimento mais rápido que a luz, portanto, não tem nada a ver em particular com ondas eletromagnéticas ou luz, mas vem como uma consequência da estrutura do espaço-tempo.

Observadores acelerando

Os quadros inerciais que se movem momentaneamente ao longo da linha de mundo de um observador em rápida aceleração (centro).

Na animação à direita, a direção vertical indica o tempo enquanto a horizontal indica a distância. A linha tracejada é a linha do mundo de um observador em aceleração e os pequenos pontos são eventos específicos no espaço-tempo.

Se imaginarmos que cada evento é o lampejo de uma luz, então os eventos que passam pelas duas linhas diagonais na metade inferior da imagem (o cone de luz passado do observador na origem) são os eventos visíveis para o observador. A inclinação da linha mundial (desvio de ser vertical) dá a velocidade relativa ao observador. Observe como o quadro inercial com movimento momentâneo muda quando o observador acelera.

Veja também

• Espaço Minkowski
• Diagrama de Penrose
• Rapidez

Referências

• Anthony French (1968) Special Relativity , páginas 82 e 83, New York: WW Norton & Company .
• EN Glass (1975) "Lorentz boosts and Minkowski diagrams" American Journal of Physics 43: 1013,4.
• N. David Mermin (1968) Space and Time in Special Relativity , Capítulo 17, diagramas de Minkowski: The Geometry of Spacetime, páginas 155-99 McGraw-Hill .
• Rindler, Wolfgang (2001). Relatividade: especial, geral e cosmológica . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-850836-0.
• WGV Rosser (1964) Uma Introdução à Teoria da Relatividade , página 256, Figura 6.4, Londres: Butterworths .
• Edwin F. Taylor e John Archibald Wheeler (1963) Spacetime Physics , páginas 27 a 38, Nova York: WH Freeman and Company , Segunda edição (1992).
• Walter, Scott (1999), "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity" (PDF) , em J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics , Oxford University Press, pp. 91-127 (consulte a página 10 do e-link)

links externos

Mídia relacionada aos diagramas de Minkowski no Wikimedia Commons