Avaliação (teoria da medida) - Valuation (measure theory)

Na teoria da medida , ou pelo menos na abordagem dela por meio da teoria do domínio , uma avaliação é um mapa da classe de conjuntos abertos de um espaço topológico para o conjunto de números reais positivos incluindo infinito , com certas propriedades. É um conceito intimamente relacionado ao de medida e, como tal, encontra aplicações na teoria da medida, teoria da probabilidade e ciência da computação teórica .

Definição da teoria de domínio / medida

Deixe ser um espaço topológico: uma avaliação é qualquer mapa ${\ displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {T}})}$

${\ displaystyle v: {\ mathcal {T}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+} \ cup \ {+ \ infty \}}$

satisfazendo as três propriedades a seguir

${\ displaystyle {\ begin {array} {lll} v (\ varnothing) = 0 && \ scriptstyle {\ text {Strictness property}} \\ v (U) \ leq v (V) & {\ mbox {if}} ~ U \ subseteq V \ quad U, V \ in {\ mathcal {T}} & \ scriptstyle {\ text {propriedade de monotonicidade}} \\ v (U \ cup V) + v (U \ cap V) = v (U ) + v (V) & \ forall U, V \ in {\ mathcal {T}} & \ scriptstyle {\ text {Modularity property}} \, \ end {array}}}$

A definição mostra imediatamente a relação entre uma avaliação e uma medida: as propriedades dos dois objetos matemáticos são frequentemente muito semelhantes, senão idênticas, a única diferença é que o domínio de uma medida é a álgebra de Borel do espaço topológico dado, enquanto o domínio de uma avaliação é a classe dos conjuntos abertos. Mais detalhes e referências podem ser encontrados em Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 e Goubault-Larrecq 2005 .

Avaliação contínua

Uma avaliação (conforme definida na teoria do domínio / teoria da medida) é considerada contínua se para cada família direcionada de conjuntos abertos (ou seja, uma família indexada de conjuntos abertos que também é direcionada no sentido de que para cada par de índices e pertencente ao conjunto de índices , existe um índice tal que e ) a seguinte igualdade é válida: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ scriptstyle U_ {i} \ subseteq U_ {k}}$${\ displaystyle \ scriptstyle U_ {j} \ subseteq U_ {k}}$

${\ displaystyle v \ left (\ bigcup _ {i \ in I} U_ {i} \ right) = \ sup _ {i \ in I} v (U_ {i}).}$

Esta propriedade é análoga à τ-aditividade das medidas.

Avaliação simples

Uma avaliação (conforme definida na teoria do domínio / teoria da medida) é considerada simples se for uma combinação linear finita com coeficientes não negativos das avaliações de Dirac , ou seja,

${\ displaystyle v (U) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ delta _ {x_ {i}} (U) \ quad \ forall U \ in {\ mathcal {T}} }$

onde é sempre maior ou pelo menos igual a zero para todos os índices . Avaliações simples são obviamente contínuas no sentido acima. O supremo de uma família direcionada de avaliações simples (ou seja, uma família indexada de avaliações simples que também é direcionada no sentido de que para cada par de índices e pertencente ao conjunto de índices , existe um índice tal que e ) é chamado de quase-simples avaliação${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ scriptstyle v_ {i} (U) \ leq v_ {k} (U) \!}$${\ displaystyle \ scriptstyle v_ {j} (U) \ leq v_ {k} (U) \!}$

${\ displaystyle {\ bar {v}} (U) = \ sup _ {i \ in I} v_ {i} (U) \ quad \ forall U \ in {\ mathcal {T}}. \,}$

Veja também

• O problema de extensão para uma dada valoração (no sentido de teoria de domínio / teoria de medida) consiste em descobrir em que tipo de condições ela pode ser estendida para uma medida em um espaço topológico adequado, que pode ou não ser o mesmo espaço onde é definido: os artigos Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 e Goubault-Larrecq 2005 na seção de referências são dedicados a este objetivo e também fornecem vários detalhes históricos.
• Os conceitos de avaliação em conjuntos convexos e avaliação em variedades são uma generalização da avaliação no sentido da teoria de domínio / medida. Uma avaliação em conjuntos convexos pode assumir valores complexos , e o espaço topológico subjacente é o conjunto de subconjuntos compactos convexos não vazios de um espaço vetorial de dimensão finita : uma avaliação em variedades é uma medida complexa com valor finito aditiva definida em um subconjunto da classe de todas as subvariedades compactas dos dados manifolds .

Exemplos

Avaliação de Dirac

Seja um espaço topológico e seja um ponto de : o mapa ${\ displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ delta _ {x} (U) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} ~ x \ notin U \\ 1 & {\ mbox {if}} ~ x \ in U \ end { casos}} \ quad \ forall U \ in {\ mathcal {T}}}$

é uma avaliação na teoria do domínio / teoria da medida, no sentido denominado avaliação de Dirac . Este conceito tem sua origem na teoria da distribuição , pois é uma transposição óbvia para a teoria de avaliação da distribuição de Dirac : como visto acima, as avaliações de Dirac são os " tijolos " de que as avaliações simples são feitas.

Notas

Trabalhos citados

links externos

• Alesker, Semyon, " vários preprints on valuation s ", servidor de pré-impressão arXiv , site principal na Cornell University . Vários artigos que tratam de avaliações em conjuntos convexos, avaliações em variedades e tópicos relacionados.
• A página nLab sobre avaliações