Projeção vetorial - Vector projection

Projeção de a em b ( a ₁ ) e rejeição de a a partir de b ( a ₂ ).

Quando 90 ° < θ ≤ 180 °, a ₁ tem uma direção oposta em relação a b .

A projeção vetorial de um vetor a sobre (ou sobre) um vetor diferente de zero b , às vezes denotado (também conhecido como o componente vetorial ou resolução vetorial de a na direção de b ), é a projeção ortogonal de a em uma linha reta paralela a b . É um vetor paralelo a b , definido como: ${\ displaystyle \ operatorname {proj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

onde é um escalar, chamado de projeção escalar de a em b , e b̂ é o vetor unitário na direção de b . ${\ displaystyle a_ {1}}$

Por sua vez, a projeção escalar é definida como:

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \,}$

onde o operador ⋅ denota um produto escalar , ‖ a ‖ é o comprimento de a , e θ é o ângulo entre a e b .

O que finalmente dá:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \ right) \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ esquerda \ | \ mathbf {b} \ direita \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ esquerda \ | \ mathbf {b} \ direita \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

A projeção escalar é igual ao comprimento da projeção vetorial, com um sinal de menos se a direção da projeção for oposta à direção de b . O componente vetorial ou vetor resoluto de a perpendicular a b , às vezes também chamado de rejeição vetorial de a de b (denotado ), é a projeção ortogonal de a no plano (ou, em geral, hiperplano ) ortogonal a b . Tanto a projeção a ₁ quanto a rejeição a ₂ de um vetor a são vetores, e sua soma é igual a a , o que implica que a rejeição é dada por: ${\ displaystyle \ operatorname {oproj} _ {\ mathbf {b}} \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}.}$

Notação

Tipicamente, um vector de projecção é indicada em negrito (por exemplo, um ₁ ), e a projecção escalar correspondente com fonte normal (por exemplo, um ₁ ). Em alguns casos, especialmente em escrita, a projecção vector é também denotado usando um diacrítico acima ou abaixo da letra (por exemplo, ou uma ₁ ). A projeção vetorial de a sobre b e a rejeição correspondente às vezes são denotadas por a _{∥ b} e a _{⊥ b} , respectivamente. ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}}$

Definições baseadas no ângulo θ

Projeção escalar

A projeção escalar de a em b é um escalar igual a

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta,}$

onde θ é o ângulo entre a e b .

Uma projeção escalar pode ser usada como um fator de escala para calcular a projeção vetorial correspondente.

Projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor cuja magnitude é a projeção escalar de a sobre b com a mesma direção de b . Ou seja, é definido como

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = (\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta) \ mathbf {\ chapéu {b}}}$

onde é a projeção escalar correspondente, conforme definido acima, e é o vetor unitário com a mesma direção de b : ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} \,}$

Rejeição de vetor

Por definição, a rejeição de vetor de a em b é:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

Por isso,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ left (\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {b} }}$

Definições em termos de a e b

Quando θ não é conhecido, o cosseno de θ pode ser calculado em termos de a e b , pela seguinte propriedade do produto escalar a ⋅ b

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = \ cos \ theta}$

Projeção escalar

Pela propriedade acima mencionada do produto escalar, a definição da projeção escalar torna-se:

${\ displaystyle a_ {1} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Em duas dimensões, isso se torna

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {x} \ mathbf {b} _ {x} + \ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Projeção vetorial

Da mesma forma, a definição da projeção vetorial de a sobre b torna-se:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = a_ {1} \ mathbf {\ hat {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}},}$

que é equivalente a qualquer um

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}} \ right) \ mathbf {\ hat {b}},}$

ou

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | ^ {2}}} {\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}}} {\ mathbf {b}} ~.}$

Rejeição escalar

Em duas dimensões, a rejeição escalar é equivalente para a projecção de um na , que é rodado 90 ° para a esquerda. Por isso, ${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {\ perp} = {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {b} _ {y} & \ mathbf {b} _ {x} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {b} _ {x} & \ mathbf {b} _ {y} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle a_ {2} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ sin \ theta = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} ^ {\ perp}} {\ esquerda \ | \ mathbf {b} \ direita \ |}} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {y} \ mathbf {b} _ {x} - \ mathbf {a} _ {x} \ mathbf { b} _ {y}} {\ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}$

Esse produto escalar é chamado de "produto escalar perp".

Rejeição de vetor

Por definição,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - \ mathbf {a} _ {1}}$

Por isso,

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = \ mathbf {a} - {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b}} } {\ mathbf {b}}.}$

Propriedades

Se 0 ° ≤ θ ≤ 90 °, como neste caso, a projeção escalar de a sobre b coincide com o comprimento da projeção vetorial.

Projeção escalar

A projeção escalar a sobre b é um escalar com sinal negativo se 90 graus < θ ≤ 180 graus . Ele coincide com o comprimento ‖ c ‖ da projeção do vetor se o ângulo for menor que 90 °. Mais exatamente:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ se 0 ° ≤ θ ≤ 90 °,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ se 90 ° < θ ≤ 180 °.

Projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor a ₁ que é nulo ou paralelo a b . Mais exatamente:

• a ₁ = 0 se θ = 90 °,
• a ₁ e b têm a mesma direção se 0 ° ≤ θ <90 °,
• a ₁ e b têm direções opostas se 90 ° < θ ≤ 180 °.

Rejeição de vetor

O vetor de rejeição de a em b é um vetor a ₂ que é nulo ou ortogonal a b . Mais exatamente:

• a ₂ = 0 se θ = 0 ° ou θ = 180 °,
• a ₂ é ortogonal a b se 0 < θ <180 °,

Representação matricial

A projeção ortogonal pode ser representada por uma matriz de projeção. Para projetar um vetor no vetor unitário a = ( a _x , a _y , a _z ), ele precisaria ser multiplicado por esta matriz de projeção:

${\ displaystyle P _ {\ mathbf {a}} = \ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {\ textf {T}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {x} & a_ {y} & a_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {x} ^ {2} & a_ { x} a_ {y} & a_ {x} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {y} & a_ {y} ^ {2} & a_ {y} a_ {z} \\ a_ {x} a_ {z} & a_ {y} a_ {z} & a_ {z} ^ {2} \\\ end {bmatriz}}}$

Usos

A projeção vetorial é uma operação importante na ortonormalização de Gram-Schmidt de bases do espaço vetorial . Ele também é usado no teorema do eixo de separação para detectar se duas formas convexas se cruzam.

Generalizações

Uma vez que as noções de comprimento de vetor e ângulo entre vetores podem ser generalizadas para qualquer espaço de produto interno n- dimensional , isso também é verdadeiro para as noções de projeção ortogonal de um vetor, projeção de um vetor em outro e rejeição de um vetor de outro .

Em alguns casos, o produto interno coincide com o produto escalar. Sempre que eles não coincidem, o produto interno é usado em vez do produto escalar nas definições formais de projeção e rejeição. Para um espaço de produto interno tridimensional , as noções de projeção de um vetor em outro e rejeição de um vetor de outro podem ser generalizadas para as noções de projeção de um vetor em um plano e rejeição de um vetor de um plano. A projeção de um vetor em um plano é sua projeção ortogonal nesse plano. A rejeição de um vetor de um plano é sua projeção ortogonal em uma linha reta ortogonal a esse plano. Ambos são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal.

Para um determinado vetor e plano, a soma da projeção e rejeição é igual ao vetor original. Da mesma forma, para espaços de produto interno com mais de três dimensões, as noções de projeção em um vetor e rejeição de um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção em um hiperplano e rejeição de um hiperplano . Na álgebra geométrica , eles podem ser generalizados para as noções de projeção e rejeição de um multivetor geral para / de qualquer k- lâmina invertível .

Veja também

• Projeção escalar
• Notação vetorial

Referências

links externos

• Projeção de um vetor em um plano