4-manifold - 4-manifold

Em matemática , uma variedade de 4 é uma variedade topológica de 4 dimensões . Um manifold liso de 4 é um manifold de 4 com uma estrutura lisa . Na dimensão quatro, em marcante contraste com as dimensões inferiores, as variedades topológicas e suaves são bastante diferentes. Existem algumas variedades topológicas de 4 que não admitem nenhuma estrutura suave e, mesmo que exista uma estrutura lisa, ela não precisa ser única (ou seja, existem 4 variedades de topologia que são homeomórficas, mas não difeomórficas ).

4-variedades são importantes em física porque na Relatividade Geral , o espaço - tempo é modelado como uma pseudo-Riemanniana 4-variedade.

4 variedades topológicas

O tipo de homotopia de uma variedade compacta de 4 simplesmente conectada depende apenas da forma de interseção na homologia de dimensão média. Um famoso teorema de Michael Freedman  ( 1982 ) implica que o tipo de homeomorfismo da variedade depende apenas desta forma de interseção e de um invariante chamado de invariante de Kirby – Siebenmann e, além disso, que toda combinação de forma unimodular e invariante de Kirby – Siebenmann pode surgir , exceto que se a forma for par, então a invariante Kirby – Siebenmann deve ser a assinatura / 8 (mod 2).

Exemplos:

  • No caso especial em que a forma é 0, isso implica na conjectura topológica de Poincaré quadridimensional .
  • Se a forma for a rede E8 , isso dá uma variedade chamada variedade E8 , uma variedade não homeomórfica a qualquer complexo simplicial .
  • Se a forma for , há duas variedades dependendo do invariante de Kirby – Siebenmann: uma é um espaço projetivo complexo bidimensional e a outra é um espaço projetivo falso, com o mesmo tipo de homotopia, mas não homeomórfico (e sem estrutura lisa) .
  • Quando a classificação da forma é maior do que cerca de 28, o número de formas unimodulares definidas positivas começa a aumentar extremamente rapidamente com a classificação, então há um grande número de 4 variedades topológicas conectadas simplesmente correspondentes (a maioria das quais parece ser de quase sem juros).

A classificação de Freedman pode ser estendida a alguns casos em que o grupo fundamental não é muito complicado; por exemplo, quando for , há uma classificação semelhante à anterior usando formas Hermitianas sobre o anel de grupo de . Se o grupo fundamental for muito grande (por exemplo, um grupo livre em 2 geradores), as técnicas de Freedman parecem falhar e muito pouco se sabe sobre tais variedades.

Para qualquer grupo finitamente apresentado , é fácil construir uma variedade de 4 compactos (suave) com ele como seu grupo fundamental. Como não há algoritmo para dizer se dois grupos finitamente apresentados são isomórficos (mesmo que um seja conhecido como trivial), não há algoritmo para dizer se duas variedades de 4 têm o mesmo grupo fundamental. Esta é uma razão pela qual grande parte do trabalho em variedades de 4 apenas considera o caso simplesmente conectado: o caso geral de muitos problemas já é conhecido por ser intratável.

4-manifolds suaves

Para variedades de dimensão no máximo 6, qualquer estrutura linear por partes (PL) pode ser suavizada de uma maneira essencialmente única, então, em particular, a teoria das variedades PL 4 dimensionais é muito semelhante à teoria das variedades suaves 4 dimensionais.

Um grande problema em aberto na teoria das variedades 4 suaves é classificar as compactas simplesmente conectadas. Como os topológicos são conhecidos, ele se divide em duas partes:

  1. Quais variedades topológicas são suaves?
  2. Classifique as diferentes estruturas lisas em uma variedade flexível.

Há uma resposta quase completa para o primeiro problema de que 4 variedades compactas simplesmente conectadas têm estruturas lisas. Primeiro, a classe Kirby – Siebenmann deve desaparecer.

  • Se a forma de interseção é definida, o teorema de Donaldson ( Donaldson 1983 ) dá uma resposta completa: há uma estrutura suave se e somente se a forma for diagonalizável.
  • Se a forma for indefinida e ímpar, haverá uma estrutura uniforme.
  • Se a forma for indefinida e mesmo assim podemos supor que é de assinatura não positiva mudando as orientações, se necessário, caso em que é isomórfico a uma soma de m cópias de II 1,1 e 2 n cópias de E 8 (- 1) para alguns m e n . Se m ≥ 3 N (de modo que a dimensão é de pelo menos 11/8 vezes o | assinatura |), em seguida, existe uma estrutura lisa, tomado como uma soma ligado de n K3 superfícies e m  - 3 n cópias de S 2 × S 2 . Se m ≤ 2 n (então a dimensão é no máximo 10/8 vezes a | assinatura |) então Furuta provou que não existe uma estrutura lisa ( Furuta 2001 ). Isso deixa uma pequena lacuna entre 8/10 e 8/11, onde a resposta é quase sempre desconhecida. (O menor caso não coberto acima tem n = 2 e m = 5, mas isso também foi descartado, então a menor rede para a qual a resposta não é conhecida atualmente é a rede II 7,55 de classificação 62 com n = 3 e m = 7. Consulte o progresso recente (em 2019) nesta área.) A "conjectura 11/8" afirma que não existem estruturas suaves se a dimensão for inferior a 11/8 vezes a | assinatura |.

Em contraste, muito pouco se sabe sobre a segunda questão de classificar as estruturas lisas em uma variedade de 4 alisáveis; na verdade, não existe uma única variedade 4 suavizável em que a resposta seja conhecida. Donaldson mostrou que existem algumas variedades compactas de 4 simplesmente conectadas, como as superfícies de Dolgachev , com um número infinito contável de diferentes estruturas lisas. Há um número incontável de diferentes estruturas lisas em R 4 ; veja exótico R 4 . Fintushel e Stern mostraram como usar a cirurgia para construir um grande número de diferentes estruturas lisas (indexadas por polinômios integrais arbitrários) em muitas variedades diferentes, usando invariantes de Seiberg-Witten para mostrar que as estruturas lisas são diferentes. Seus resultados sugerem que qualquer classificação de 4 variedades suaves conectadas de forma simples será muito complicada. Atualmente, não há conjecturas plausíveis sobre como essa classificação pode ser. (Algumas conjecturas iniciais de que todas as variedades 4 suaves simplesmente conectadas podem ser somas conectadas de superfícies algébricas, ou variedades simpléticas , possivelmente com orientações invertidas, foram refutadas.)

Fenômenos especiais em 4 dimensões

Existem vários teoremas fundamentais sobre variedades que podem ser provados por métodos de baixa dimensão em dimensões no máximo 3 e por métodos de alta dimensão completamente diferentes na dimensão de pelo menos 5, mas que são falsos na dimensão 4. Aqui estão alguns exemplos:

  • Em dimensões diferentes de 4, o invariante Kirby – Siebenmann fornece a obstrução para a existência de uma estrutura PL; em outras palavras, uma variedade topológica compacta tem uma estrutura PL se e somente se seu invariante de Kirby – Siebenmann em H 4 ( M , Z / 2 Z ) desaparecer. Na dimensão 3 e inferior, cada variedade topológica admite uma estrutura PL essencialmente única. Na dimensão 4, há muitos exemplos com invariante Kirby – Siebenmann desaparecendo, mas nenhuma estrutura PL.
  • Em qualquer dimensão diferente de 4, uma variedade topológica compacta tem apenas um número finito de PL essencialmente distinto ou estruturas lisas. Na dimensão 4, variedades compactas podem ter um número infinito contável de estruturas lisas não difeomórficas.
  • Quatro é a única dimensão n para a qual R n pode ter uma estrutura lisa exótica. R 4 tem um número incontável de estruturas lisas exóticas; veja exótico R 4 .
  • A solução para a conjectura suave de Poincaré é conhecida em todas as dimensões diferentes de 4 (geralmente é falsa em dimensões de pelo menos 7; veja esfera exótica ). A conjectura de Poincaré para variedades PL foi comprovada para todas as dimensões diferentes de 4, mas não se sabe se é verdadeira em 4 dimensões (é equivalente à conjectura de Poincaré suave em 4 dimensões).
  • O teorema do h-cobordismo suave é válido para os cobordismos, desde que nem o cobordismo nem seu limite tenham dimensão 4. Ele pode falhar se o limite do cobordismo tiver dimensão 4 (como mostrado por Donaldson ). Se o cobordismo tem dimensão 4, então não se sabe se o teorema do h-cobordismo é válido.
  • Uma variedade topológica de dimensão não igual a 4 tem uma decomposição de handlebody. Manifolds de dimensão 4 têm uma decomposição de corpo de guia se, e somente se, forem suaves.
  • Existem variedades topológicas quadridimensionais compactas que não são homeomórficas a nenhum complexo simplicial. Na dimensão de pelo menos 5, a existência de variedades topológicas não homeomórficas a um complexo simplicial era um problema aberto. Ciprian Manolescu mostrou que existem variedades em cada dimensão maior ou igual a 5, que não são homeomórficas a um complexo simplicial.

Falha do truque de Whitney na dimensão 4

De acordo com Frank Quinn , "Duas subvariedades n- dimensionais de uma variedade de dimensão 2 n normalmente se cruzam em pontos isolados. O " truque de Whitney " usa uma isotopia através de um disco 2 incorporado para simplificar essas interseções. Falando de maneira geral isso reduz o estudo de embeddings n- dimensionais para embeddings de 2 discos. Mas isso não é uma redução quando o embedding é 4: os 2 discos em si são de dimensão média, então tentar embuti-los encontra exatamente os mesmos problemas que deveriam resolver. Este é o fenômeno que separa a dimensão 4 das outras. "

Veja também

Referências