geometria afim de curvas - Affine geometry of curves

No matemático campo de geometria diferencial , a geometria afim de curvas é o estudo de curvas em um espaço afim , e, especificamente, as propriedades de tais curvas que são invariantes sob o grupo afim especial ${\ Displaystyle {\ mbox {SL}} (n, \ mathbb {R}) \ ltimes \ mathbb {R} ^ {n}.}$

No clássico geometria euclidiana de curvas , a ferramenta fundamental é a moldura Frenet-Serret . Na geometria afim, o quadro Frenet-Serret já não é bem definida, mas é possível definir outra canónica moldura móvel ao longo de uma curva, que desempenha um papel decisivo semelhante. A teoria foi desenvolvida no início do século 20, grande parte dos esforços de Wilhelm Blaschke e Jean Favard .

A estrutura afim

Deixe- x ( t ) ser uma curva no . Suponha, como se faz no caso Euclidiana, que os primeiros n derivados de x ( t ) são linearmente independentes de modo que, em particular, x ( t ) não reside em qualquer subespaço afim inferior-dimensional . Em seguida, o parâmetro de curva de t pode ser normalizado, definindo determinante${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}}, e {\ ddot {\ mathbf {x}}}, e \ pontos, & {\ mathbf {x}} ^ { (n)} \ final {bmatrix}} = \ pm 1.}$

Tal curva é dito para ser parametrizado pelo seu comprimento do arco afim . Para tal parametrização,

${\ Displaystyle t \ mapsto [\ mathbf {x} (t), {\ dot {\ mathbf {x}}} (t), \ pontos, \ mathbf {x} ^ {(n)} (t)]}$

determina um mapeamento para o grupo afim especial, conhecido como uma estrutura afim especial para a curva. Isto é, em cada ponto das quantidades definir uma especial estrutura afim para o espaço afim , que consiste de um ponto x do espaço e uma base linear especial ligado ao ponto em x . O recuo da forma de Maurer-Cartan ao longo deste mapa dá um conjunto completo de invariantes estruturais afins da curva. No plano, isto dá um único escalar invariante, a curvatura afim da curva. ${\ Displaystyle \ mathbf {x}, {\ dot {\ mathbf {x}}}, \ pontos, \ mathbf {x} {^ (n)}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}, \ pontos, \ mathbf {x} ^ {(n)}}$

invariante discreta

A normalização da curva de parâmetro s foi seleccionada de modo a que acima

${\ Displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}}, e {\ ddot {\ mathbf {x}}}, e \ pontos, & {\ mathbf {x}} ^ { (n)} \ final {bmatrix}} = \ pm 1.}$

Se n ≡0 (mod 4) ou n ≡3 (mod 4), em seguida, o sinal de esse determinante é uma invariante discreta da curva. Uma curva é chamado dextrorsa (direita enrolamento, frequentemente weinwendig em alemão) se é um, e sinistrorse (esquerda enrolamento, frequentemente hopfenwendig em alemão) se for -1.

Em três dimensões, um destro hélice é dextrorsa, e uma hélice com a mão esquerda é sinistrorse.

Curvatura

Suponha-se que a curva de X em é parametrizado pelo comprimento do arco afim. Em seguida, o curvaturas afins , k ₁ , ..., k _{n -1} de x são definidos pela ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {(n + 1)} = K_ {1} {\ dot {\ mathbf {x}}} + \ cdots + K_ {n-1} \ mathbf {x} ^ {( n-1)}.}$

Que tal expressão é possível segue calculando a derivada do determinante

${\ Displaystyle 0 = \ det {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}}, e {\ ddot {\ mathbf {x}}}, e \ pontos, & {\ mathbf {x}} ^ {(n)} \ final {bmatrix}} {\ dot {}} \, = \ det {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}}, e {\ ddot {\ mathbf {x }}}, e \ pontos, e {\ mathbf {x}} {^ (n + 1)} \ final {bmatrix}}}$

de modo que x ^{( n + 1)} é uma combinação linear de x ', ..., x ^{( N -1)} .

Considere a matriz

${\ Displaystyle A = {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}}, e {\ ddot {\ mathbf {x}}}, e \ pontos, & {\ mathbf {x}} ^ { (n)} \ final {bmatrix}}}$

cujas colunas são os primeiros n derivados de x (ainda parametrizados pelo comprimento do arco especial afim). Então,

${\ Displaystyle {\ dot {A}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ cdots & \ cdots & \ vdots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \\ K_ {1} & K_ {2} & K_ {3} & K_ {4} & \ cdots & K_ {n-1} & 0 \ final {bmatrix}} A = CA.}$

Em termos concretos, a matriz C é a retirada da forma de Maurer-Cartan do grupo especial linear ao longo do quadro dado pelos primeiros n derivados de x .

Veja também

• quadro em movimento
• esfera afim

Referências

• Guggenheimer, Heinrich (1977). Geometria Diferencial . Dover. ISBN  0-486-63433-7 .
• Spivak, Michael (1999). Uma introdução completas para a geometria diferencial (Volume 2) . Publique ou pereça. ISBN  0-914098-71-3 .