Retração (geometria diferencial) - Pullback (differential geometry)

Suponha-se que φ : M → N é um mapa suave entre variedades suaves M e N . Depois, há um associado mapa linear a partir do espaço de 1-formas em N (o espaço linear de secções do feixe co-tangente ) para o espaço de 1-formas em M . Este mapa linear é conhecido como pullback (por φ ) e é freqüentemente denotado por φ ^∗ . Mais geralmente, qualquer campo tensor covariante - em particular qualquer forma diferencial - em N pode ser puxado de volta para M usando φ .

Quando o mapa φ é um difeomorfismo , então o pullback, junto com o pushforward , pode ser usado para transformar qualquer campo tensorial de N em M ou vice-versa. Em particular, se φ é um difeomorfismo entre subconjuntos abertos de R ⁿ e R ⁿ , visto como uma mudança de coordenadas (talvez entre diferentes gráficos em uma variedade M ), então o recuo e o pushforward descrevem as propriedades de transformação dos tensores covariantes e contravariantes usados em abordagens mais tradicionais (dependentes de coordenadas) do assunto.

A ideia por trás do retrocesso é essencialmente a noção de pré-composição de uma função com outra. No entanto, combinando essa ideia em vários contextos diferentes, operações de recuo bastante elaboradas podem ser construídas. Este artigo começa com as operações mais simples e, em seguida, as usa para construir outras mais sofisticadas. Grosso modo, o mecanismo de recuo (usando pré-composição) transforma várias construções em geometria diferencial em functores contravariantes .

Retrocesso de funções suaves e mapas suaves

Deixe φ : M → N ser um mapa suave entre (liso) colectores H e N , e suponhamos f : N → R é uma função suave em N . Então o recuo de f por φ é a função suave φ ^∗f em M definida por ( φ ^∗f ) ( x ) = f ( φ ( x )) . Do mesmo modo, se f é uma função suave sobre um conjunto aberto L em N , então a mesma fórmula define uma função suave no conjunto aberto φ ^-1 ( L ) em H . (Na linguagem dos feixes , o recuo define um morfismo do feixe de funções suaves em N para a imagem direta por φ do feixe de funções suaves em M. )

De modo mais geral, se f : N → A é um mapa suave de N para qualquer outro colector Um , em seguida, φ ^*f ( x ) = f ( φ ( x )) é um mapa suave do H para uma .

Retrocesso de pacotes e seções

Se E é um feixe vetorial (ou de fato qualquer feixe de fibras ) sobre N e φ : M → N é um mapa liso, então o feixe de pullback φ ^∗E é um feixe vetorial (ou feixe de fibras ) sobre M cuja fibra sobre x em M é dado por ( φ ^*E ) _x = E _{φ ( x )} .

Nesta situação, pré-composição define uma retirada de operação em secções de E : se s é uma secção de E através N , em seguida, a secção de recuo φ ^*s = s ∘ φ é uma secção de φ ^*E sobre M .

Retrocesso de formas multilineares

Seja Φ: V → W um mapa linear entre os espaços vetoriais V e W (ou seja, Φ é um elemento de L ( V , W ) , também denotado como Hom ( V , W ) ), e seja

{\ displaystyle F: W \ times W \ times \ cdots \ times W \ rightarrow \ mathbf {R}}

ser uma forma multilinear em W (também conhecido como um tensor - não deve ser confundido com um campo tensorial - de posto (0, s ) , onde s é o número de fatores de W no produto). Então o recuo Φ ^∗F de F por Φ é uma forma multilinear em V definida pela pré-composição de F com Φ. Mais precisamente, os vetores dados v ₁ , v ₂ , ..., v _s em V , Φ ^∗F é definido pela fórmula

{\ displaystyle (\ Phi ^ {*} F) (v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {s}) = F (\ Phi (v_ {1}), \ Phi (v_ {2} ), \ ldots, \ Phi (v_ {s})),}

que é uma função n-linear em V . Daí Φ ^* é um operador (linear) de função n-linear em W a função n-linear em V . Como um caso especial, observe que se F é uma forma linear (ou (0,1) -tensor) em W , de modo que F é um elemento de W ^∗ , o espaço dual de W , então Φ ^∗F é um elemento de V ^∗ , e então o recuo por Φ define um mapa linear entre espaços duais que atua na direção oposta ao próprio mapa linear Φ:

{\ displaystyle \ Phi \ colon V \ rightarrow W, \ qquad \ Phi ^ {*} \ colon W ^ {*} \ rightarrow V ^ {*}.}

Do ponto de vista tensorial, é natural tentar estender a noção de recuo para tensores de classificação arbitrária, ou seja, para mapas multilineares em W tomando valores em um produto tensorial de r cópias de W , ou seja, W ⊗ W ⊗ ⋅ ⋅⋅ ⊗ W . No entanto, os elementos de tal produto tensorial não recuam naturalmente: em vez disso, há uma operação pushforward de V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V para W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W dada por

{\ displaystyle \ Phi _ {*} (v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {r}) = \ Phi (v_ {1}) \ otimes \ Phi (v_ {2}) \ otimes \ cdots \ otimes \ Phi (v_ {r}).}

No entanto, segue-se disso que se Φ é invertível, o retrocesso pode ser definido usando pushforward pela função inversa Φ ⁻¹ . Combinar essas duas construções produz uma operação pushforward, ao longo de um mapa linear invertível, para tensores de qualquer classificação ( r , s ) .

Retração de vetores cotangentes e formas 1

Seja φ : M → N um mapa regular entre variedades suaves . Então o diferencial de φ , escrito φ _* , dφ , ou Dφ , é um morfismo de feixe vetorial (sobre M ) do feixe tangente TM de M para o feixe de pullback φ ^*TN . A transposição de φ _* é, por conseguinte, um mapa feixe de φ ^*T ^*N a T ^*M , o feixe de co-tangente de M .

Suponhamos agora que α é uma secção de t ^*N (um 1-forma em N ), e precompose α com φ para obter uma secção retirada de φ ^*T ^*N . Aplicando o mapa de feixe acima (ponto a ponto) a esta seção produz o recuo de α por φ , que é a forma 1 φ ^*α em M definido por

{\ displaystyle (\ varphi ^ {*} \ alpha) _ {x} (X) = \ alpha _ {\ varphi (x)} (d \ varphi _ {x} (X))}

para x em H e X em T _x M .

Retração de campos tensores (covariantes)

A construção da seção anterior generaliza imediatamente para feixes tensores de classificação (0, s ) para qualquer número natural s : a (0, s ) campo tensorial em uma variedade N é uma seção do feixe tensor em N cuja fibra em y em N é o espaço de formas s multilineares

{\ displaystyle F \ dois pontos T_ {s} N \ times \ cdots \ times T_ {s} N \ to \ mathbf {R}.}

Ao tomar Φ igual ao (pontual) diferencial de um mapa liso φ de M para N , o recuo da função n-linear pode ser combinada com a retirada de secções para produzir uma retirada (0, s ) tensor de campo em H . Mais precisamente, se S é um campo (0, s ) -tensor em N , então o recuo de S por φ é o (0, s ) -campo tensor φ ^*S em M definido por

{\ displaystyle (\ varphi ^ {*} S) _ {x} (X_ {1}, \ ldots, X_ {s}) = S _ {\ varphi (x)} (d \ varphi _ {x} (X_ { 1}), \ ldots, d \ varphi _ {x} (X_ {s}))}

para x em H e X _j em t _x M .

Retrocesso de formas diferenciais

Um caso particular importante de recuo de campos de tensores covariantes é o recuo de formas diferenciais . Se α é uma forma k diferencial , ou seja, uma seção do feixe externo Λ ^k T * N de (fibra a baixo) formas k alternadas em TN , então o recuo de α é a forma k diferencial em M definida pelo mesmo fórmula como na seção anterior:

{\ displaystyle (\ varphi ^ {*} \ alpha) _ {x} (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}) = \ alpha _ {\ varphi (x)} (d \ varphi _ {x} (X_ {1}), \ ldots, d \ varphi _ {x} (X_ {k}))}

para x em H e X _j em t _x M .

O recuo das formas diferenciais tem duas propriedades que o tornam extremamente útil.

É compatível com o produto em cunha no sentido de que para as formas diferenciais α e β em N ,
${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ alpha \ wedge \ beta) = \ varphi ^ {*} \ alpha \ wedge \ varphi ^ {*} \ beta.}$
É compatível com a derivada externa d : se α é uma forma diferencial em N, então
${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (d \ alpha) = d (\ varphi ^ {*} \ alpha).}$

Retração por difeomorfismos

Quando o mapa φ entre variedades é um difeomorfismo , ou seja, tem um inverso suave, então o retrocesso pode ser definido para os campos vetoriais , bem como para as formas 1, e, portanto, por extensão, para um campo tensor misto arbitrário no múltiplo. O mapa linear

{\ displaystyle \ Phi = d \ varphi _ {x} \ in \ operatorname {GL} \ left (T_ {x} M, T _ {\ varphi (x)} N \ right)}

pode ser invertido para dar

{\ displaystyle \ Phi ^ {- 1} = \ left ({d \ varphi _ {x}} \ right) ^ {- 1} \ in \ operatorname {GL} \ left (T _ {\ varphi (x)} N , T_ {x} M \ direita).}

Um campo geral tensor mista irá então transformar usando Φ e Φ ^-1 de acordo com o produto tensor de decomposição do feixe tensor em cópias de TN e T ^* N . Quando M = N , em seguida, a retirada e a pushforward descrever as propriedades de transformação de um tensor no colector M . Em termos tradicionais, o recuo descreve as propriedades de transformação dos índices covariantes de um tensor ; em contraste, a transformação dos índices contravariantes é dada por um pushforward .

Retrocesso por automorfismos

A construção da seção anterior tem uma interpretação teórica da representação quando φ é um difeomorfismo de uma variedade M para si mesma. Neste caso, a derivada dφ é uma seção de GL ( TM , φ ^*TM ). Isso induz uma ação de recuo em seções de qualquer feixe associado ao feixe de quadro GL ( M ) de M por uma representação do grupo linear geral GL ( m ) (onde m = dim M ).

Derivado de recuo e Lie

Veja derivada de Lie . Aplicando as idéias anteriores ao grupo local de 1 parâmetro de difeomorfismos definidos por um campo vetorial em M , e diferenciando em relação ao parâmetro, uma noção de derivada de Lie em qualquer feixe associado é obtida.

Retração de conexões (derivadas covariantes)

Se ∇ é uma conexão (ou derivada covariante ) em um pacote vetorial E sobre N e φ é um mapa suave de M para N , então há uma conexão de recuo φ ^∗ ∇ em φ ^∗E sobre M , determinada exclusivamente pela condição de que

{\ displaystyle \ left (\ varphi ^ {*} \ nabla \ right) _ {X} \ left (\ varphi ^ {*} s \ right) = \ varphi ^ {*} \ left (\ nabla _ {d \ varphi (X)} s \ right).}

Veja também

Referências

Jost, Jürgen (2002). Geometria Riemanniana e Análise Geométrica . Berlim: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Consulte as seções 1.5 e 1.6 .
Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos da Mecânica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Consulte a seção 1.7 e 2.3 .

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