Teorema de Borsuk-Ulam - Borsuk–Ulam theorem

Em matemática , o teorema de Borsuk-Ulam afirma que toda função contínua de uma n -sfera em um n- espaço euclidiano mapeia algum par de pontos antípodas para o mesmo ponto. Aqui, dois pontos em uma esfera são chamados de antípodais se estiverem em direções exatamente opostas do centro da esfera.

Formalmente: se é contínua então existe uma tal forma que: . ${\ displaystyle f: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x \ in S ^ {n}}$${\ displaystyle f (-x) = f (x)}$

O caso pode ser ilustrado dizendo que sempre existe um par de pontos opostos no equador da Terra com a mesma temperatura. O mesmo é verdade para qualquer círculo. Isso pressupõe que a temperatura varia continuamente no espaço. ${\ displaystyle n = 1}$

O caso é frequentemente ilustrado dizendo que a qualquer momento, há sempre um par de pontos antípodais na superfície da Terra com temperaturas iguais e pressões barométricas iguais, assumindo que ambos os parâmetros variam continuamente no espaço. ${\ displaystyle n = 2}$

O teorema de Borsuk-Ulam tem várias declarações equivalentes em termos de funções ímpares . Lembre-se que é o n -sphere e é o n -ball : ${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle B ^ {n}}$

• Se é uma função ímpar contínua, então existe uma tal forma que: .${\ displaystyle g: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x \ in S ^ {n}}$${\ displaystyle g (x) = 0}$
• Se é uma função contínua que é estranho no (o limite de ), então existe uma tal forma que: .${\ displaystyle g: B ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$${\ displaystyle B ^ {n}}$${\ displaystyle x \ in B ^ {n}}$${\ displaystyle g (x) = 0}$

História

Segundo Jiří Matoušek (2003 , p. 25) , a primeira menção histórica da afirmação do teorema de Borsuk – Ulam aparece em Lyusternik & Shnirel'man (1930) . A primeira prova foi dada por Karol Borsuk  ( 1933 ), onde a formulação do problema foi atribuída a Stanislaw Ulam . Desde então, muitas provas alternativas foram encontradas por vários autores, conforme coletadas por Steinlein (1985) . erro harvtxt: sem alvo: CITEREFJiří_Matoušek2003 ( ajuda )

Declarações equivalentes

As declarações a seguir são equivalentes ao teorema de Borsuk – Ulam.

Com funções estranhas

Uma função é chamado estranho (aka antípoda ou -antípoda preservando ) se para todo : . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle g (-x) = - g (x)}$

O teorema de Borsuk-Ulam é equivalente à seguinte afirmação: Uma função ímpar contínua de uma n -sfera para um n- espaço euclidiano tem um zero. PROVA:

• Se o teorema estiver correto, então ele é especificamente correto para funções ímpares e para uma função ímpar, sse . Portanto, toda função contínua ímpar tem um zero.${\ displaystyle g (-x) = g (x)}$${\ displaystyle g (x) = 0}$
• Para cada função contínua , a seguinte função é contínua e estranho: . Se toda função contínua ímpar tem zero, então tem zero e, portanto ,. Portanto, o teorema está correto.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g (x) = f (x) -f (-x)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f (x) = f (-x)}$

Com retratações

Defina uma retração como uma função O teorema de Borsuk-Ulam é equivalente à seguinte afirmação: não há retração ímpar contínua. ${\ displaystyle h: S ^ {n} \ a S ^ {n-1}.}$

Prova: Se o teorema estiver correto, então toda função ímpar contínua de deve incluir 0 em seu intervalo. No entanto, não pode haver uma função ímpar contínua cujo intervalo seja . ${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle 0 \ notin S ^ {n-1}}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$

Inversamente, se estiver incorreto, haverá uma função ímpar contínua sem zeros. Então, podemos construir outra função ímpar : ${\ displaystyle g: S ^ {n} \ para {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ displaystyle h: S ^ {n} \ a S ^ {n-1}}$

${\ displaystyle h (x) = {\ frac {g (x)} {| g (x) |}}}$

uma vez que não tem zeros, é bem definido e contínuo. Assim, temos uma retração ímpar contínua. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$

Provas

Caso unidimensional

O caso unidimensional pode ser facilmente provado usando o teorema do valor intermediário (IVT).

Let Ser uma função contínua ímpar de valor real em um círculo. Escolha um arbitrário . Se então terminarmos. Caso contrário, sem perda de generalidade, mas , portanto, pelo IVT, há um ponto entre e no qual . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle g (x) = 0}$${\ displaystyle g (x)> 0.}$${\ displaystyle g (-x) <0.}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle -x}$${\ displaystyle g (y) = 0}$

Caso Geral

Prova topológica algébrica

Suponha que seja uma função contínua ímpar com (o caso é tratado acima, o caso pode ser tratado usando a teoria de cobertura básica ). Ao passar para as órbitas sob a ação antípoda, obtemos então uma função contínua induzida entre espaços projetivos reais , que induz um isomorfismo nos grupos fundamentais . Pelo teorema de Hurewicz , o homomorfismo de anel induzido em cohomologia com coeficientes [onde denota o campo com dois elementos ], ${\ displaystyle h: S ^ {n} \ a S ^ {n-1}}$${\ displaystyle n> 2}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle h ': \ mathbb {RP} ^ {n} \ to \ mathbb {RP} ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2} [a] / a ^ {n + 1} = H ^ {*} \ left (\ mathbb {RP} ^ {n}; \ mathbb {F} _ {2 } \ right) \ leftarrow H ^ {*} \ left (\ mathbb {RP} ^ {n-1}; \ mathbb {F} _ {2} \ right) = \ mathbb {F} _ {2} [b ] / b ^ {n},}$

envia para . Mas então entendemos que é enviado para uma contradição. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b ^ {n} = 0}$${\ displaystyle a ^ {n} \ neq 0}$

Pode-se também mostrar a afirmação mais forte de que qualquer mapa ímpar tem grau ímpar e então deduzir o teorema a partir desse resultado. ${\ displaystyle S ^ {n-1} \ a S ^ {n-1}}$

Prova Combinatória

O teorema de Borsuk-Ulam pode ser provado a partir do lema de Tucker .

Deixe ser uma função ímpar contínua. Como g é contínuo em um domínio compacto , ele é uniformemente contínuo . Portanto, para cada , existe tal que, para cada dois pontos que estão dentro um do outro, suas imagens sob g estão dentro uma da outra. ${\ displaystyle g: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ epsilon}$

Defina uma triangulação de com arestas de comprimento no máximo . Rotule cada vértice da triangulação com um rótulo da seguinte maneira: ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle l (v) \ in {\ pm 1, \ pm 2, \ ldots, \ pm n}}$

• O valor absoluto da etiqueta é o índice da coordenada com o maior valor absoluto de g : .${\ displaystyle | l (v) | = \ arg \ max _ {k} (| g (v) _ {k} |)}$
• O sinal da etiqueta é o sinal de g , de modo que: .${\ displaystyle l (v) = \ operatorname {sgn} (g (v)) | l (v) |}$

Porque g é ímpar, a rotulagem é também estranho: . Portanto, pelo lema de Tucker, existem dois vértices adjacentes com rótulos opostos. Suponha que os rótulos sejam . Pela definição de l , isso significa que em ambos e , a coordenada # 1 é a maior coordenada: nesta coordenada é positiva enquanto nela é negativa. Pela construção da triangulação, a distância entre e é, no máximo , tão em particular (pois e têm signos opostos) e assim . Mas como a maior coordenada de é a coordenada # 1, isso significa que para cada um . Então , onde está alguma constante dependendo da norma que você escolheu. ${\ displaystyle l (-v) = - l (v)}$${\ displaystyle u, v}$${\ displaystyle l (u) = 1, l (v) = - 1}$${\ displaystyle g (u)}$${\ displaystyle g (v)}$${\ displaystyle g (u)}$${\ displaystyle g (v)}$${\ displaystyle g (u)}$${\ displaystyle g (v)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle | g (u) _ {1} -g (v) _ {1} | = | g (u) _ {1} | + | g (v) _ {1} | \ leq \ epsilon}$${\ displaystyle g (u) _ {1}}$${\ displaystyle g (v) _ {1}}$${\ displaystyle | g (u) _ {1} | \ leq \ epsilon}$${\ displaystyle g (u)}$${\ displaystyle | g (u) _ {k} | \ leq \ epsilon}$${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$${\ displaystyle | g (u) | \ leq c_ {n} \ epsilon}$${\ displaystyle c_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle | \ cdot |}$

O acima é verdadeiro para todos ; uma vez que é compacto, deve haver, portanto, um ponto u no qual . ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle | g (u) | = 0}$

Corolários

• Nenhum subconjunto de é homeomórfico para${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n}}$
• O teorema do sanduíche de presunto : Para qualquer compactos conjuntos A ₁ , ..., A _n em nós sempre pode encontrar um hiperplano dividindo cada uma delas em dois subconjuntos de igual medida.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Resultados equivalentes

Acima, mostramos como provar o teorema de Borsuk – Ulam do lema de Tucker. O inverso também é verdadeiro: é possível provar o lema de Tucker a partir do teorema de Borsuk-Ulam. Portanto, esses dois teoremas são equivalentes. Existem vários teoremas de ponto fixo que vêm em três variantes equivalentes: uma variante de topologia algébrica , uma variante combinatória e uma variante de cobertura de conjunto. Cada variante pode ser provada separadamente usando argumentos totalmente diferentes, mas cada variante também pode ser reduzida às outras variantes em sua linha. Além disso, cada resultado na linha superior pode ser deduzido do resultado abaixo na mesma coluna.

Topologia algébrica	Combinatoria	Cobertura de conjunto
Teorema de ponto fixo de Brouwer	Lema de Sperner	Lema de Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz
Teorema de Borsuk-Ulam	Lema de Tucker	Teorema de Lusternik – Schnirelmann

Generalizações

• No teorema original, o domínio da função F é a unidade N -sphere (o limite da unidade n -ball). Em geral, é verdade também quando o domínio de f é o limite de qualquer subconjunto simétrico limitado aberto contendo a origem (aqui, simétrico significa que se x está no subconjunto, então - x também está no subconjunto).${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• Considere a função A que mapeia um ponto ao seu ponto antípoda: Observe que o teorema original afirma que há um ponto x no qual, em geral, isso também é verdadeiro para todas as funções A para as quais No entanto, em geral isso não é verdade para outras funções Uma .${\ displaystyle A (x) = - x.}$${\ displaystyle A (A (x)) = x.}$${\ displaystyle f (A (x)) = f (x).}$${\ displaystyle A (A (x)) = x.}$

Veja também

• Combinação topológica
• Problema de divisão de colar
• Teorema de Kakutani (geometria)
• Imre Bárány

Notas

Referências

• Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n -dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (em alemão). 20 : 177–190. doi : 10.4064 / fm-20-1-177-190 .
• Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Métodos Topológicos em Problemas Variacionais". Issledowatelskii Institut Matematiki I MECHANIKI Pri OMG U . Moscou.
• Matoušek, Jiří (2003). Usando o teorema de Borsuk-Ulam . Berlim: Springer Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5.
• Steinlein, H. (1985). "Teorema antípoda de Borsuk e suas generalizações e aplicações: um levantamento. Méthodes topologiques en analise non linéaire". Sém. Matemática. Super. Montreal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.) . 95 : 166–235.
• Su, Francis Edward (novembro de 1997). "Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 104 (9): 855–859. CiteSeerX  10.1.1.142.4935 . doi : 10.2307 / 2975293 . JSTOR  2975293 . Arquivado do original (PDF) em 13/10/2008 . Página visitada em 2006-04-21 .

links externos

• Quem (mais) se preocupa com a topologia? Colares roubados e Borsuk-Ulam no YouTube