Teorema do ponto fixo de Brouwer - Brouwer fixed-point theorem

O teorema de ponto fixo de Brouwer é um teorema de ponto fixo em topologia , nomeado após LEJ (Bertus) Brouwer . Ele afirma que para qualquer função contínua que mapeia um conjunto convexo compacto para si mesmo, há um ponto tal que . As formas mais simples do teorema de Brouwer são para funções contínuas de um intervalo fechado nos números reais para si mesmo ou de um disco fechado para si mesmo. Uma forma mais geral do que a última é para funções contínuas de um subconjunto compacto convexo do espaço euclidiano para si mesmo. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (x_ {0}) = x_ {0}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle K}$

Entre centenas de teoremas de ponto fixo , o de Brouwer é particularmente bem conhecido, em parte devido ao seu uso em vários campos da matemática. Em seu campo original, este resultado é um dos teoremas-chave que caracterizam a topologia dos espaços euclidianos, juntamente com o teorema da curva de Jordan , o teorema da bola cabeluda e o teorema de Borsuk-Ulam . Isso lhe dá um lugar entre os teoremas fundamentais da topologia. O teorema também é usado para provar resultados profundos sobre equações diferenciais e é coberto na maioria dos cursos introdutórios em geometria diferencial . Ele aparece em campos improváveis, como a teoria dos jogos . Na economia, o teorema do ponto fixo de Brouwer e sua extensão, o teorema do ponto fixo de Kakutani , desempenham um papel central na prova da existência do equilíbrio geral nas economias de mercado desenvolvidas na década de 1950 pelos ganhadores do prêmio Nobel de economia Kenneth Arrow e Gérard Debreu .

O teorema foi estudado pela primeira vez em vista do trabalho em equações diferenciais pelos matemáticos franceses em torno de Henri Poincaré e Charles Émile Picard . Provar resultados como o teorema de Poincaré – Bendixson requer o uso de métodos topológicos. Este trabalho no final do século 19 abriu em várias versões sucessivas do teorema. O caso geral foi provado pela primeira vez em 1910 por Jacques Hadamard e por Luitzen Egbertus Jan Brouwer .

Demonstração

O teorema possui várias formulações, dependendo do contexto em que é usado e do seu grau de generalização. O mais simples às vezes é fornecido da seguinte forma:

No avião

Cada função contínua de um disco fechado para si mesmo tem pelo menos um ponto fixo.

Isso pode ser generalizado para uma dimensão finita arbitrária:

No espaço euclidiano

Cada função contínua de uma bola fechada de um espaço euclidiano em si mesma tem um ponto fixo.

Uma versão um pouco mais geral é a seguinte:

Conjunto compacto convexo

Toda função contínua de um subconjunto compacto convexo K de um espaço euclidiano até o próprio K tem um ponto fixo.

Uma forma ainda mais geral é mais conhecida por um nome diferente:

Teorema do ponto fixo de Schauder

Cada função contínua de um subconjunto compacto convexo K de um espaço de Banach até o próprio K tem um ponto fixo.

Importância das pré-condições

O teorema é válido apenas para conjuntos que são compactos (portanto, em particular, limitados e fechados) e convexos (ou homeomórficos para convexos). Os exemplos a seguir mostram por que as pré-condições são importantes.

Fronteira

Considere a função

${\ displaystyle f (x) = x + 1,}$

que é uma função contínua de si mesmo. Como ele desloca todos os pontos para a direita, não pode ter um ponto fixo. O espaço é convexo e fechado, mas não limitado. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Fechamento

Considere a função

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x + 1} {2}},}$

que é uma função contínua do intervalo aberto (-1,1) para si mesmo. Nesse intervalo, ele desloca todos os pontos para a direita, portanto, não pode ter um ponto fixo. O espaço (−1,1) é convexo e limitado, mas não fechado. A função f não tem um ponto fixo para o intervalo [-1,1], nomeadamente f (1) = 1.

Convexidade

A convexidade não é estritamente necessária para o BFPT. Como as propriedades envolvidas (continuidade, sendo um ponto fixo) são invariantes sob os homeomorfismos , o BFPT é equivalente a formas nas quais o domínio deve ser uma bola unitária fechada . Pela mesma razão, vale para todo conjunto que é homeomórfico a uma bola fechada (e, portanto, também fechada , limitada, conectada , sem buracos , etc.). ${\ displaystyle D ^ {n}}$

O exemplo a seguir mostra que o BFPT não funciona para domínios com lacunas. Considere a função , que é uma função contínua do círculo unitário até ela mesma. Como -x ≠ x vale para qualquer ponto do círculo unitário, f não tem ponto fixo. O exemplo análogo funciona para a esfera n- dimensional (ou qualquer domínio simétrico que não contenha a origem). O círculo unitário é fechado e limitado, mas tem um orifício (e portanto não é convexo). A função f não têm um ponto fixo para o disco unidade, uma vez que leva a origem para si. ${\ displaystyle f (x) = - x}$

Uma generalização formal do BFPT para domínios "livres de buracos" pode ser derivada do teorema de ponto fixo de Lefschetz .

Notas

A função contínua neste teorema não precisa ser bijetiva ou mesmo sobrejetiva .

Ilustrações

O teorema tem várias ilustrações do "mundo real". Aqui estão alguns exemplos.

1. Pegue duas folhas de papel milimetrado de igual tamanho com sistemas de coordenadas, coloque uma plana sobre a mesa e amasse (sem rasgar ou rasgar) a outra e coloque-a, de qualquer forma, em cima da primeira para que amassada o papel não sai do plano. Haverá então pelo menos um ponto da folha amassada que fica diretamente acima de seu ponto correspondente (ou seja, o ponto com as mesmas coordenadas) da folha plana. Isso é uma consequência do caso n = 2 do teorema de Brouwer aplicado ao mapa contínuo que atribui às coordenadas de cada ponto da folha amassada as coordenadas do ponto da folha plana imediatamente abaixo dela.
2. Pegue um mapa comum de um país e suponha que esse mapa esteja colocado em uma mesa dentro desse país. Sempre haverá um ponto "Você está aqui" no mapa que representa esse mesmo ponto no país.
3. Em três dimensões, uma consequência do teorema do ponto fixo de Brouwer é que, por mais que você mexa um coquetel em um copo (ou pense em milk-shake), quando o líquido parar, algum ponto do líquido vai acabar exatamente no mesmo lugar no copo como antes de você tomar qualquer ação, assumindo que a posição final de cada ponto é uma função contínua de sua posição original, que o líquido após a agitação está contido dentro do espaço originalmente ocupado por ele, e que o vidro (e a forma da superfície agitada) mantém um volume convexo. Pedir um coquetel batido, não mexido, derrota a condição de convexidade ("agitação" sendo definida como uma série dinâmica de estados de contenção inercial não convexa no espaço vazio sob uma tampa). Nesse caso, o teorema não se aplicaria e, portanto, todos os pontos da disposição do líquido são potencialmente deslocados do estado original.

Abordagem intuitiva

Explicações atribuídas a Brouwer

O teorema supostamente se originou da observação de Brouwer sobre uma xícara de café. Se alguém mexer para dissolver um torrão de açúcar, parece que sempre há um ponto sem movimento. Ele chegou à conclusão de que, a qualquer momento, há um ponto na superfície que não está se movendo. O ponto fixo não é necessariamente o ponto que parece estar imóvel, pois o centro da turbulência se move um pouco. O resultado não é intuitivo, pois o ponto fixo original pode se tornar móvel quando outro ponto fixo aparece.

Diz-se que Brouwer acrescentou: "Posso formular este esplêndido resultado diferente, pego uma folha horizontal e outra idêntica que amasso, aplano e coloco na outra. Então, uma ponta da folha amarrotada está no mesmo lugar que na outra folha. " Brouwer "alisa" seu lençol como se fosse uma chapinha, sem remover as dobras e rugas. Ao contrário do exemplo da xícara de café, o exemplo do papel amassado também demonstra que pode existir mais de um ponto fixo. Isso distingue o resultado de Brouwer de outros teoremas de ponto fixo, como o de Stefan Banach , que garantem a unicidade.

Caso unidimensional

Em uma dimensão, o resultado é intuitivo e fácil de provar. A função contínua f é definida em um intervalo fechado [ a ,  b ] e assume valores no mesmo intervalo. Dizer que essa função tem um ponto fixo equivale a dizer que seu gráfico (verde escuro na figura à direita) intercepta o da função definida no mesmo intervalo [ a ,  b ] que mapeia x a x (verde claro).

Intuitivamente, qualquer linha contínua da borda esquerda do quadrado à borda direita deve necessariamente cruzar a diagonal verde. Para provar isso, considere a função g que mapeia x a f ( x ) -  x . É ≥ 0 em a e ≤ 0 em  b . Pelo teorema do valor intermediário , g tem um zero em [ a ,  b ]; esse zero é um ponto fixo.

Diz-se que Brouwer expressou isso da seguinte maneira: "Em vez de examinar uma superfície, provaremos o teorema sobre um pedaço de corda. Vamos começar com a corda em um estado desdobrado e, em seguida, dobrá-la novamente. Vamos achatar a corda redobrada. Mais uma vez, uma ponta da corda não mudou sua posição em relação à sua posição original na corda desdobrada. "

História

O teorema de ponto fixo de Brouwer foi uma das primeiras realizações da topologia algébrica e é a base de teoremas de ponto fixo mais gerais que são importantes na análise funcional . O caso n = 3 foi provado pela primeira vez por Piers Bohl em 1904 (publicado no Journal für die reine und angewandte Mathematik ). Posteriormente, foi provado por LEJ Brouwer em 1909. Jacques Hadamard provou o caso geral em 1910, e Brouwer encontrou uma prova diferente no mesmo ano. Uma vez que essas primeiras provas eram todas provas indiretas não construtivas , elas eram contrárias aos ideais intuicionistas de Brouwer . Embora a existência de um ponto fixo não seja construtiva no sentido do construtivismo em matemática , os métodos para aproximar pontos fixos garantidos pelo teorema de Brouwer são agora conhecidos.

Pré-história

Para entender a pré-história do teorema do ponto fixo de Brouwer, é necessário passar por equações diferenciais . No final do século 19, o antigo problema da estabilidade do sistema solar voltou ao foco da comunidade matemática. Sua solução exigia novos métodos. Como observou Henri Poincaré , que trabalhou no problema dos três corpos , não há esperança de encontrar uma solução exata: "Nada é mais adequado para nos dar uma idéia da dureza do problema dos três corpos, e geralmente de todos os problemas de dinâmica onde não há integral uniforme e as séries de Bohlin divergem. " Ele também observou que a busca por uma solução aproximada não é mais eficiente: “quanto mais buscarmos obter aproximações precisas, mais o resultado irá divergir para uma imprecisão crescente”.

Ele estudou uma questão análoga à do movimento da superfície em uma xícara de café. O que podemos dizer, em geral, sobre as trajetórias em uma superfície animada por um fluxo constante ? Poincaré descobriu que a resposta pode ser encontrada no que hoje chamamos de propriedades topológicas na área que contém a trajetória. Se esta área for compacta , isto é , fechada e limitada , então a trajetória ou se torna estacionária ou se aproxima de um ciclo limite . Poincaré foi mais longe; se a área for do mesmo tipo de disco, como é o caso da xícara de café, deve haver necessariamente um ponto fixo. Este ponto fixo é invariante sob todas as funções que associam a cada ponto da superfície original sua posição após um curto intervalo de tempo  t . Se a área for uma faixa circular ou se não for fechada, esse não é necessariamente o caso.

Para entender melhor as equações diferenciais, um novo ramo da matemática nasceu. Poincaré chamou isso de situs de análise . A Encyclopædia Universalis francesa o define como o ramo que "trata as propriedades de um objeto que são invariáveis ​​se ele se deforma de forma contínua, sem rasgar". Em 1886, Poincaré provou um resultado equivalente ao teorema do ponto fixo de Brouwer, embora a conexão com o assunto deste artigo ainda não fosse aparente. Um pouco mais tarde, desenvolveu uma das ferramentas fundamentais para melhor compreender o situs de análise, hoje conhecido como grupo fundamental ou às vezes grupo de Poincaré. Este método pode ser usado para uma prova muito compacta do teorema em discussão.

O método de Poincaré era análogo ao de Émile Picard , um matemático contemporâneo que generalizou o teorema de Cauchy-Lipschitz . A abordagem de Picard é baseada em um resultado que mais tarde seria formalizado por outro teorema de ponto fixo , em homenagem a Banach . Em vez das propriedades topológicas do domínio, este teorema usa o fato de que a função em questão é uma contração .

Primeiras provas

No alvorecer do século XX, o interesse pelo situs de análise não passou despercebido. No entanto, a necessidade de um teorema equivalente ao discutido neste artigo ainda não era evidente. Piers Bohl , um matemático letão , aplicou métodos topológicos ao estudo de equações diferenciais. Em 1904 ele provou o caso tridimensional de nosso teorema, mas sua publicação não foi notada.

Foi Brouwer, finalmente, quem deu ao teorema sua primeira patente de nobreza. Seus objetivos eram diferentes dos de Poincaré. Este matemático foi inspirado pelos fundamentos da matemática, especialmente da lógica matemática e da topologia . Seu interesse inicial estava na tentativa de resolver o quinto problema de Hilbert . Em 1909, durante uma viagem a Paris, ele conheceu Henri Poincaré , Jacques Hadamard e Émile Borel . As discussões que se seguiram convenceram Brouwer da importância de uma melhor compreensão dos espaços euclidianos e foram a origem de uma troca de cartas frutífera com Hadamard. Nos quatro anos seguintes, ele se concentrou na prova de certos grandes teoremas sobre essa questão. Em 1912, ele provou o teorema da bola cabeluda para a esfera bidimensional, bem como o fato de que todo mapa contínuo da esfera bidimensional para si mesma tem um ponto fixo. Esses dois resultados em si não eram realmente novos. Como Hadamard observou, Poincaré havia mostrado um teorema equivalente ao teorema da bola cabeluda. O aspecto revolucionário da abordagem de Brouwer foi seu uso sistemático de ferramentas recentemente desenvolvidas, como a homotopia , o conceito subjacente do grupo de Poincaré. No ano seguinte, Hadamard generalizou o teorema em discussão para uma dimensão finita arbitrária, mas ele empregou métodos diferentes. Hans Freudenthal comenta sobre os respectivos papéis da seguinte forma: "Comparados aos métodos revolucionários de Brouwer, os de Hadamard eram muito tradicionais, mas a participação de Hadamard no nascimento das idéias de Brouwer se assemelha mais à de uma parteira do que a de um mero espectador."

A abordagem de Brouwer deu seus frutos e, em 1910, ele também encontrou uma prova válida para qualquer dimensão finita, bem como outros teoremas-chave, como a invariância da dimensão. No contexto deste trabalho, Brouwer também generalizou o teorema da curva de Jordan para dimensão arbitrária e estabeleceu as propriedades relacionadas com o grau de um mapeamento contínuo . Este ramo da matemática, originalmente imaginado por Poincaré e desenvolvido por Brouwer, mudou de nome. Na década de 1930, o situs de análise tornou-se topologia algébrica .

Recepção

O teorema provou seu valor de mais de uma maneira. Durante o século 20, vários teoremas de ponto fixo foram desenvolvidos, e até mesmo um ramo da matemática chamado teoria de ponto fixo . O teorema de Brouwer é provavelmente o mais importante. Também está entre os teoremas fundamentais na topologia de variedades topológicas e é freqüentemente usado para provar outros resultados importantes, como o teorema da curva de Jordan .

Além dos teoremas de ponto fixo para funções mais ou menos contratantes , há muitos que surgiram direta ou indiretamente do resultado em discussão. Um mapa contínuo de uma bola fechada do espaço euclidiano até sua fronteira não pode ser a identidade na fronteira. Da mesma forma, o teorema de Borsuk-Ulam diz que um mapa contínuo da esfera n- dimensional para R ⁿ tem um par de pontos antípodas que são mapeados para o mesmo ponto. No caso de dimensão finita, o teorema do ponto fixo de Lefschetz forneceu a partir de 1926 um método para contar pontos fixos. Em 1930, o teorema do ponto fixo de Brouwer foi generalizado para espaços de Banach . Esta generalização é conhecida como teorema do ponto fixo de Schauder , um resultado generalizado posteriormente por S. Kakutani para funções multivaloradas . Também se encontra o teorema e suas variantes fora da topologia. Ele pode ser usado para provar o teorema de Hartman-Grobman , que descreve o comportamento qualitativo de certas equações diferenciais perto de certos equilíbrios. Da mesma forma, o teorema de Brouwer é usado para a prova do Teorema do Limite Central . O teorema também pode ser encontrado em provas de existência para as soluções de certas equações diferenciais parciais .

Outras áreas também são tocadas. Na teoria dos jogos , John Nash usou o teorema para provar que no jogo de Hex existe uma estratégia vencedora para as brancas. Em economia, P. Bich explica que certas generalizações do teorema mostram que seu uso é útil para certos problemas clássicos da teoria dos jogos e geralmente para equilíbrios ( lei de Hotelling ), equilíbrios financeiros e mercados incompletos.

A celebridade de Brouwer não se deve exclusivamente ao seu trabalho topológico. As provas de seus grandes teoremas topológicos não são construtivas , e a insatisfação de Brouwer com isso é em parte o que o levou a articular a ideia de construtividade . Ele se tornou o criador e defensor zeloso de uma forma de formalizar a matemática que é conhecida como intuicionismo , que na época se posicionou contra a teoria dos conjuntos . Brouwer desmentiu sua prova original do teorema do ponto fixo. O primeiro algoritmo para aproximar um ponto fixo foi proposto por Herbert Scarf . Um aspecto sutil do algoritmo de Scarf é que ele encontra um ponto que é quase fixo por uma função f , mas em geral não consegue encontrar um ponto próximo a um ponto fixo real. Em linguagem matemática, se ε for escolhido para ser muito pequeno, o algoritmo de Scarf pode ser usado para encontrar um ponto x tal que f ( x ) seja muito próximo de x , isto é ,. Mas o algoritmo de Scarf não pode ser usado para encontrar um ponto x tal que x esteja muito próximo de um ponto fixo: não podemos garantir onde Freqüentemente esta última condição é o que significa a frase informal "aproximando-se de um ponto fixo". ${\ displaystyle d (f (x), x) <\ varepsilon}$${\ displaystyle d (x, y) <\ varepsilon,}$${\ displaystyle f (y) = y.}$

Contornos de prova

Uma prova usando diploma

A prova original de Brouwer de 1911 baseou-se na noção do grau de um mapeamento contínuo . Relatos modernos da prova também podem ser encontrados na literatura.

Deixe denotar a bola unitária fechada centrada na origem. Suponha, de forma simples, que seja continuamente diferenciável. Um valor regular de é um ponto tal que o Jacobiano de não é singular em todos os pontos da pré-imagem de . Em particular, pelo teorema da função inversa , cada ponto da pré-imagem de fica em (o interior de ). O grau de em um valor regular é definido como a soma dos sinais do determinante Jacobiano de sobre as pré-imagens de sob : ${\ displaystyle K = {\ overline {B (0)}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: K \ to K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p \ in B (0)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B (0)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p \ in B (0)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ operatorname {deg} _ {p} (f) = \ sum _ {x \ in f ^ {- 1} (p)} \ operatorname {sign} \ left (\ det (Df (x)) \ direito).}$

O grau é, grosso modo, o número de "folhas" da pré-imagem f colocadas sobre um pequeno conjunto aberto em torno de p , com folhas contadas de forma oposta se forem orientadas de forma oposta. Esta é, portanto, uma generalização do número de enrolamentos para dimensões mais altas.

O grau satisfaz a propriedade de invariância de homotopia : sejam e sejam duas funções continuamente diferenciáveis, e para . Suponha que o ponto seja um valor regular de para todo t . Então . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle H_ {t} (x) = tf + (1-t) g}$${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle H_ {t}}$${\ displaystyle \ deg _ {p} f = \ deg _ {p} g}$

Se não houver um ponto fixo do limite de , então a função ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle g (x) = {\ frac {xf (x)} {\ sup _ {x \ in K} \ left | xf (x) \ right |}}}$

está bem definido, e

${\ displaystyle H (t, x) = {\ frac {x-tf (x)} {\ sup _ {x \ in K} \ left | x-tf (x) \ right |}}}$

define uma homotopia da função de identidade para ela. A função de identidade tem grau um em todos os pontos. Em particular, a função de identidade tem grau um na origem, então também tem grau um na origem. Como consequência, a pré - imagem não está vazia. Os elementos de são precisamente os pontos fixos da função original f . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle g ^ {- 1} (0)}$

Isso requer algum trabalho para torná-lo totalmente geral. A definição de grau deve ser estendida a valores singulares de f , e então a funções contínuas. O advento mais moderno da teoria da homologia simplifica a construção do grau e, portanto, tornou-se uma prova padrão na literatura.

Uma prova usando homologia

A prova usa a observação de que o limite do n -disco D ⁿ é S ^{n −1} , a ( n - 1) - esfera .

Suponha, por contradição, que uma função contínua f  : D ⁿ → D ⁿ não tem ponto fixo. Isso significa que, para cada ponto x em D ⁿ , os pontos x e f ( x ) são distintos. Como eles são distintos, para cada ponto x em D ⁿ , podemos construir um raio único de f ( x ) a x e seguir o raio até que ele cruze o limite S ^{n −1} (veja a ilustração). Ao chamar esse ponto de interseção F ( x ), definimos uma função F  :  D ⁿ  →  S ^{n −1} enviando cada ponto no disco para seu ponto de interseção correspondente no limite. Como um caso especial, sempre que o próprio x estiver no limite, o ponto de interseção F ( x ) deve ser x .

Por conseguinte, F é um tipo especial de função contínua conhecido como uma retracção : cada ponto do codomain (neste caso S ^{n -1} ) é um ponto fixo de F .

Intuitivamente, parece improvável que possa haver uma retração de D ⁿ em S ^{n −1} , e no caso n = 1, a impossibilidade é mais básica, porque S ⁰ (ou seja, os pontos finais do intervalo fechado D ¹ ) não é mesmo conectado. O caso n = 2 é menos óbvio, mas pode ser comprovado por meio de argumentos básicos envolvendo os grupos fundamentais dos respectivos espaços: a retração induziria a um homomorfismo de grupo sobrejetivo do grupo fundamental de D ² ao de S ¹ , mas o último grupo é isomorfo a Z enquanto o primeiro grupo é trivial, então isso é impossível. O caso n = 2 também pode ser provado por contradição com base em um teorema sobre campos vetoriais não desaparecidos .

Para n > 2, entretanto, provar a impossibilidade da retração é mais difícil. Uma maneira é fazer uso de grupos de homologia : a homologia H _{n −1} ( D ⁿ ) é trivial, enquanto H _{n −1} ( S ^{n −1} ) é cíclica infinita . Isso mostra que a retração é impossível, porque novamente a retração induziria um homomorfismo do grupo injetivo deste para o primeiro grupo.

Uma prova usando o teorema de Stokes

Para provar que um mapa contínuo tem pontos fixos, pode-se supor que ele é liso, porque se um mapa não tem pontos fixos então , sua convolução com um molificador apropriado (uma função suave de suporte suficientemente pequeno e integral), produzirá um função suave sem pontos fixos. Como na prova usando homologia, o problema se reduz a provar que não há retração suave da bola em seu limite . Se é uma forma de volume na fronteira, então pelo Teorema de Stokes , ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F _ {\ epsilon}: = F \ star \ varphi _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ parcial B}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle 0 <\ int _ {\ partial B} \ omega = \ int _ {\ partial B} F ^ {*} (\ omega) = \ int _ {B} dF ^ {*} (\ omega) = \ int _ {B} F ^ {*} (d \ omega) = \ int _ {B} F ^ {*} (0) = 0}$

dando uma contradição.

De forma mais geral, isso mostra que não há retração suave de qualquer coletor compacto orientável suave não vazio em seu limite. A prova usando o teorema de Stokes está intimamente relacionada à prova usando homologia, porque a forma gera o grupo de cohomologia de de Rham que é isomorfo ao grupo de homologia pelo teorema de de Rham . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle H ^ {n-1} (\ parcial B)}$${\ displaystyle H_ {n-1} (\ parcial B)}$

Uma prova combinatória

O BFPT pode ser provado usando o lema de Sperner . Nós agora damos um esboço da prova para o caso especial em que f é uma função do padrão n - simplex , para ele mesmo, onde ${\ displaystyle \ Delta ^ {n},}$

${\ displaystyle \ Delta ^ {n} = \ left \ {P \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ mid \ sum _ {i = 0} ^ {n} {P_ {i}} = 1 {\ text {e}} P_ {i} \ geq 0 {\ text {para todos}} i \ right \}.}$

Para cada ponto também, portanto, a soma de suas coordenadas é igual: ${\ displaystyle P \ in \ Delta ^ {n},}$${\ displaystyle f (P) \ in \ Delta ^ {n}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {P_ {i}} = 1 = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {f (P) _ {i}}}$

Portanto, pelo princípio do escaninho, para cada deve haver um índice tal que a ésima coordenada de é maior ou igual à ésima coordenada de sua imagem sob f : ${\ displaystyle P \ in \ Delta ^ {n},}$${\ displaystyle j \ in \ {0, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle P_ {j} \ geq f (P) _ {j}.}$

Além disso, se estiver em uma subface k- dimensional de then pelo mesmo argumento, o índice pode ser selecionado entre as k + 1 coordenadas que não são zero nesta subface. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Delta ^ {n},}$${\ displaystyle j}$

Agora usamos esse fato para construir uma coloração de Sperner. Para cada triangulação da cor de cada vértice é um índice tal que${\ displaystyle \ Delta ^ {n},}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle f (P) _ {j} \ leq P_ {j}.}$

Por construção, esta é uma coloração Sperner. Portanto, de acordo com o lema de Sperner, existe um simplex n- dimensional cujos vértices são coloridos com todo o conjunto de n + 1 cores disponíveis.

Como f é contínuo, esse simplex pode ser feito arbitrariamente pequeno escolhendo uma triangulação arbitrariamente fina. Portanto, deve haver um ponto que satisfaça a condição de rotulagem em todas as coordenadas: para todos${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f (P) _ {j} \ leq P_ {j}}$${\ displaystyle j.}$

Como a soma das coordenadas de e deve ser igual, todas essas desigualdades devem ser igualdades. Mas isso significa que: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f (P)}$

${\ displaystyle f (P) = P.}$

Ou seja, é um ponto fixo de${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f.}$

Uma prova de Hirsch

Há também uma prova rápida, de Morris Hirsch , baseada na impossibilidade de uma retratação diferenciável. A prova indireta começa observando que o mapa f pode ser aproximado por um mapa liso que retém a propriedade de não fixar um ponto; isso pode ser feito usando o teorema de aproximação de Weierstrass , por exemplo. Em seguida, define-se uma retração como acima, que agora deve ser diferenciável. Tal retração deve ter um valor não singular, pelo teorema de Sard , que também é não singular para a restrição à fronteira (que é apenas a identidade). Assim, a imagem inversa seria uma variedade 1 com limite. O limite teria que conter pelo menos dois pontos finais, ambos os quais deveriam estar no limite da bola original - o que é impossível em uma retração.

R. Bruce Kellogg, Tien-Yien Li e James A. Yorke transformaram a prova de Hirsch em uma prova computável , observando que a retração é de fato definida em todos os lugares, exceto nos pontos fixos. Para quase qualquer ponto, q , na fronteira, (supondo que não seja um ponto fixo), a única variedade com fronteira mencionada acima existe e a única possibilidade é que ela conduz de q a um ponto fixo. É uma tarefa numérica fácil seguir esse caminho de q até o ponto fixo, portanto, o método é essencialmente computável. forneceu uma versão conceitualmente semelhante para seguir o caminho da prova de homotopia, que se estende a uma ampla variedade de problemas relacionados.

Uma prova usando área orientada

Uma variação da prova anterior não emprega o teorema de Sard e funciona da seguinte maneira. Se for uma retração suave, considera-se a deformação suave e a função suave ${\ displaystyle r \ dois pontos B \ a \ parcial B}$${\ displaystyle g ^ {t} (x): = tr (x) + (1-t) x,}$

${\ displaystyle \ varphi (t): = \ int _ {B} \ det Dg ^ {t} (x) \, dx.}$

Diferenciando sob o sinal da integral não é difícil verificar que φ ′ ( t ) = 0 para todo t , então φ é uma função constante, o que é uma contradição porque φ (0) é o volume n- dimensional da bola, enquanto φ (1) é zero. A ideia geométrica é que φ ( t ) é a área orientada de g ^t ( B ) (ou seja, a medida de Lebesgue da imagem da bola via g ^t , levando em consideração a multiplicidade e orientação), e deve permanecer constante (como é muito claro no caso unidimensional). Por outro lado, à medida que o parâmetro t passa de 0 para 1, o mapa g ^{t se} transforma continuamente do mapa de identidade da bola para a retração r , o que é uma contradição, pois a área orientada da identidade coincide com o volume do bola, enquanto a área orientada de r é necessariamente 0, pois sua imagem é a fronteira da bola, um conjunto de medida nula.

Uma prova usando o hex de jogo

Uma prova bem diferente dada por David Gale é baseada no jogo de Hex . O teorema básico sobre Hex é que nenhum jogo pode terminar em empate. Isso é equivalente ao teorema de ponto fixo de Brouwer para a dimensão 2. Ao considerar versões n- dimensionais de Hex, pode-se provar em geral que o teorema de Brouwer é equivalente ao teorema de determinação para Hex.

Uma prova usando o teorema de ponto fixo de Lefschetz

O teorema do ponto fixo de Lefschetz diz que se um mapa contínuo f de um complexo simplicial finito B para si mesmo tem apenas pontos fixos isolados, então o número de pontos fixos contados com multiplicidades (que podem ser negativas) é igual ao número de Lefschetz

${\ displaystyle \ displaystyle \ sum _ {n} (- 1) ^ {n} \ operatorname {Tr} (f | H_ {n} (B))}$

e, em particular, se o número de Lefschetz for diferente de zero, então f deve ter um ponto fixo. Se B é uma bola (ou mais geralmente é contraível), em seguida, o número de Lefschetz é uma porque o único grupo de homologia não-zero é: e f age como a identidade neste grupo, de modo que f tem um ponto fixo. ${\ displaystyle H_ {0} (B)}$

Uma prova em um sistema lógico fraco

Na matemática reversa , o teorema de Brouwer pode ser provado no sistema WKL ₀ , e inversamente no sistema de base RCA ₀ O teorema de Brouwer para um quadrado implica o lema de König fraco , então isso dá uma descrição precisa da força do teorema de Brouwer.

Generalizações

O teorema do ponto fixo de Brouwer forma o ponto de partida de vários teoremas de ponto fixo mais gerais .

A generalização direta para dimensões infinitas, ou seja, usando a esfera unitária de um espaço de Hilbert arbitrário em vez do espaço euclidiano, não é verdadeira. O principal problema aqui é que as bolas unitárias de espaços de Hilbert de dimensão infinita não são compactas . Por exemplo, no espaço de Hilbert ℓ ² de sequências reais (ou complexas) somadas ao quadrado, considere o mapa f  : ℓ ² → ℓ ² que envia uma sequência ( x _n ) da bola unitária fechada de ℓ ² para a sequência ( s _n ) definido por

${\ displaystyle y_ {0} = {\ sqrt {1- \ | x \ | _ {2} ^ {2}}} \ quad {\ text {and}} \ quad y_ {n} = x_ {n-1 } {\ text {para}} n \ geq 1.}$

Não é difícil verificar que este mapa é contínuo, tem sua imagem na esfera unitária de ℓ ² , mas não possui um ponto fixo.

As generalizações do teorema de ponto fixo de Brouwer para espaços dimensionais infinitos, portanto, todas incluem uma suposição de compacidade de algum tipo, e também muitas vezes uma suposição de convexidade . Veja teoremas de ponto fixo em espaços de dimensão infinita para uma discussão desses teoremas.

Há também uma generalização de dimensão finita para uma classe maior de espaços: Se é um produto de muitos contínuos encadeados finitos, então cada função contínua tem um ponto fixo, onde um contínuo encadeado é um compacto (normalmente, mas neste caso não necessariamente métrico ) Espaço de Hausdorff, do qual cada tampa aberta tem um refinamento aberto finito , de modo que se e somente se . Exemplos de contínuos encadeados incluem espaços compactos conectados linearmente ordenados e, em particular, intervalos fechados de números reais. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ {U_ {1}, \ ldots, U_ {m} \}}$${\ displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle | ij | \ leq 1}$

O teorema do ponto fixo de Kakutani generaliza o teorema do ponto fixo de Brouwer em uma direção diferente: ele permanece em R ⁿ , mas considera funções de valor de conjunto hemicontínuas superiores (funções que atribuem a cada ponto do conjunto um subconjunto do conjunto). Também requer compacidade e convexidade do conjunto.

O teorema do ponto fixo de Lefschetz se aplica a espaços topológicos compactos (quase) arbitrários e fornece uma condição em termos de homologia singular que garante a existência de pontos fixos; esta condição é trivialmente satisfeita para qualquer mapa no caso de D ⁿ .

Resultados equivalentes

Existem vários teoremas de ponto fixo que vêm em três variantes equivalentes: uma variante de topologia algébrica , uma variante combinatória e uma variante de cobertura de conjunto. Cada variante pode ser provada separadamente usando argumentos totalmente diferentes, mas cada variante também pode ser reduzida às outras variantes em sua linha. Além disso, cada resultado na linha superior pode ser deduzido do resultado abaixo na mesma coluna.

Topologia algébrica	Combinatoria	Cobertura de conjunto
Teorema de ponto fixo de Brouwer	Lema de Sperner	Lema de Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz
Teorema de Borsuk-Ulam	Lema de Tucker	Teorema de Lusternik – Schnirelmann

Veja também

• Teorema de ponto fixo de Banach
• Composições infinitas de funções analíticas
• equilíbrio de Nash
• Teorema de Poincaré-Miranda - equivalente ao teorema de ponto fixo de Brouwer
• Combinação topológica

Notas

Referências

• Chow, Shui Nee; Mallet-Paret, John; Yorke, James A. (1978). “Encontrar zeros de mapas: métodos de homotopia que são construtivos com probabilidade um” . Matemática da Computação . 32 (143): 887–899. doi : 10.1090 / S0025-5718-1978-0492046-9 . MR  0492046 .
• Gale, D. (1979). "O jogo do Hex e do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer". The American Mathematical Monthly . 86 (10): 818–827. doi : 10.2307 / 2320146 . JSTOR  2320146 .
• Hirsch, Morris W. (1988). Topologia diferencial . Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0. (ver p. 72-73 para a prova de Hirsch utilizando a inexistência de uma retração diferenciável)
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Teoria do Ponto Fixo . Matemática e suas aplicações. 7 . Dordrecht – Boston, MA: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0. MR  0620639 .
• Karamardian, S., ed. (1977). Pontos Fixos: Algoritmos e Aplicações . Academic Press. ISBN 978-0-12-398050-2.
• Kellogg, R. Bruce; Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (1976). "Uma prova construtiva do teorema do ponto fixo de Brouwer e resultados computacionais". SIAM Journal on Numerical Analysis . 13 (4): 473–483. Bibcode : 1976SJNA ... 13..473K . doi : 10.1137 / 0713041 . MR  0416010 .
• Leoni, Giovanni (2017). Um primeiro curso em espaços de Sobolev: segunda edição . Estudos de Pós-Graduação em Matemática . 181 . American Mathematical Society. pp. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8
• Sobolev, Vladimir I. (2001) [1994], "Teorema de Brouwer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

links externos

• Teorema do ponto fixo de Brouwer para triângulos no corte do nó
• Teorema de Brouwer , do PlanetMath com prova anexada.
• Reconstruindo Brouwer em MathPages
• Teorema de ponto fixo de Brouwer em imagens matemáticas.