Espaço de configuração (matemática) - Configuration space (mathematics)

O espaço de configuração de todos os pares não ordenados de pontos no círculo é a faixa de Möbius .

Em matemática , um espaço de configuração é uma construção intimamente relacionada a espaços de estado ou espaços de fase na física. Na física, eles são usados ​​para descrever o estado de um sistema inteiro como um único ponto em um espaço de alta dimensão. Em matemática, eles são usados ​​para descrever atribuições de uma coleção de pontos a posições em um espaço topológico . Mais especificamente, os espaços de configuração em matemática são exemplos particulares de espaços de configuração em física no caso particular de várias partículas que não colidem.

Definição

Para um espaço topológico , o n ^th (ordenada) espaço de configuração de X é o grupo de n - tuplos de pares pontos distintos em : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X): = \ prod ^ {n} X \ smallsetminus \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ em X ^ {n} \ mid x_ {i} = x_ {j} \ {\ text {para alguns}} i \ neq j \}.}$

Este espaço é geralmente dotado da topologia de subespaço a partir da inclusão de em . É também por vezes denotado , ou . ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X)}$${\ displaystyle X ^ {n}}$${\ displaystyle F (X, n)}$${\ displaystyle F ^ {n} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {n} (X)}$

Há uma ação natural do grupo simétrico nos pontos dados por ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} S_ {n} \ times \ operatorname {Conf} _ {n} (X) & \ longrightarrow \ operatorname {Conf} _ {n} (X) \\ (\ sigma, x) & \ longmapsto \ sigma (x) = (x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma (2)}, \ ldots, x _ {\ sigma (n)}). \ end {alinhado}}}$

Esta ação dá origem ao n ^º espaço de configuração desordenada de X ,

${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (X): = \ operatorname {Conf} _ {n} (X) / S_ {n},}$

que é o espaço orbital dessa ação. A intuição é que essa ação "esquece os nomes dos pontos". O espaço de configuração não ordenada às vezes é denotado , ou . A coleção de espaços de configuração não ordenados em geral é o espaço Ran e vem com uma topologia natural. ${\ displaystyle {\ mathcal {UC}} ^ {n} (X)}$${\ displaystyle B_ {n} (X)}$${\ displaystyle C_ {n} (X)}$${\ displaystyle n}$

Formulações alternativas

Para um espaço topológico e um conjunto finito , o espaço de configuração de X com partículas rotuladas por S é ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {S} (X): = \ {f \ mid f \ dois pontos S \ hookrightarrow X {\ text {é injetivo}} \}.}$

Para , defina . Em seguida, o n ^th espaço de configuração de X é , e é indicado simplesmente . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbf {n}: = \ {1,2, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {\ mathbf {n}} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X)}$

Exemplos

• O espaço de configuração ordenada de dois pontos em é homeomórfico ao produto do 3-espaço Euclidiano com um círculo, ie . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {2} (\ mathbf {R} ^ {2}) \ cong \ mathbf {R} ^ {3} \ times S ^ {1}}$
• Mais geralmente, o espaço de configuração de dois pontos em é homotopia equivalente à esfera . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$
• O espaço de configuração de pontos em é o espaço de classificação do ésimo grupo de tranças (veja abaixo ). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ displaystyle n}$

Conexão com grupos de tranças

O grupo de trança n -strand em um espaço topológico conectado X é

${\ displaystyle B_ {n} (X): = \ pi _ {1} (\ operatorname {UConf} _ {n} (X)),}$

o grupo fundamental de o n ^th espaço de configuração não ordenada de X . O grupo de trança pura n -strand em X é

${\ displaystyle P_ {n} (X): = \ pi _ {1} (\ operatorname {Conf} _ {n} (X)).}$

Os primeiros grupos de tranças estudados foram os grupos de tranças Artin . Embora a definição acima não seja a que Emil Artin deu, Adolf Hurwitz definiu implicitamente os grupos de tranças de Artin como grupos fundamentais de espaços de configuração do plano complexo consideravelmente antes da definição de Artin (em 1891). ${\ displaystyle B_ {n} \ cong \ pi _ {1} (\ operatorname {UConf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2}))}$

Decorre desta definição e do fato de que e são espaços do tipo Eilenberg – MacLane , que o espaço de configuração desordenado do plano é um espaço de classificação para o grupo de tranças Artin, e é um espaço de classificação para o grupo de tranças Artin puro, quando ambos são considerados grupos discretos . ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$${\ displaystyle K (\ pi, 1)}$${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$

Espaços de configuração de manifolds

Se o espaço original é um múltiplo , seus espaços de configuração ordenados são subespaços abertos dos poderes de e, portanto, eles próprios são múltiplos. O espaço de configuração de pontos desordenados distintos também é uma variedade, enquanto o espaço de configuração de pontos não ordenados não necessariamente distintos é, em vez disso, um orbifold . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Um espaço de configuração é um tipo de espaço de classificação ou espaço de módulos (finos) . Em particular, existe um feixe universal que é um sub-feixe do feixe trivial e que tem a propriedade de que a fibra sobre cada ponto é o subconjunto de n elementos classificado por  p . ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos E_ {n} \ a C_ {n}}$${\ displaystyle C_ {n} \ times X \ a C_ {n}}$${\ displaystyle p \ in C_ {n}}$${\ displaystyle X}$

Invariância de homotopia

O tipo de homotopia dos espaços de configuração não é invariante à homotopia . Por exemplo, os espaços não são homotópicos equivalentes para quaisquer dois valores distintos de : é vazio para , não está conectado para , é um espaço do tipo Eilenberg – MacLane e é simplesmente conectado para . ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {m})}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathrm {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {0})}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {2})}$${\ displaystyle K (\ pi, 1)}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {m})}$${\ displaystyle m \ geq 3}$

Costumava ser uma questão em aberto se havia exemplos de variedades compactas que eram homotópicas equivalentes, mas tinham espaços de configuração equivalentes não homotópicos: tal exemplo foi encontrado apenas em 2005 por Riccardo Longoni e Paolo Salvatore. O exemplo deles são dois espaços de lentes tridimensionais e os espaços de configuração de pelo menos dois pontos neles. Que esses espaços de configuração não são homotópicos equivalentes foi detectado pelos produtos Massey em suas respectivas tampas universais. A invariância de homotopia para espaços de configuração de variedades fechadas simplesmente conectadas permanece aberta em geral e foi comprovada para manter sobre o campo base . A invariância de homotopia real de variedades compactas simplesmente conectadas com limite de dimensão simplesmente conectada de pelo menos 4 também foi provada. ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

Espaços de configuração de gráficos

Alguns resultados são específicos para espaços de configuração de gráficos . Esse problema pode estar relacionado à robótica e ao planejamento de movimento: pode-se imaginar colocar vários robôs em trilhas e tentar navegá-los para diferentes posições sem colisão. As trilhas correspondem a (as bordas de) um gráfico, os robôs correspondem a partículas e a navegação bem-sucedida corresponde a um caminho no espaço de configuração desse gráfico.

Para qualquer gráfico , é um espaço Eilenberg-MacLane do tipo e forte deformação retrai para um complexo CW de dimensão , onde é o número de vértices de grau pelo menos 3. Além disso, e a deformação retrai para complexos cúbicos de dimensão não positivamente curvos em mais . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ Gamma)}$${\ displaystyle K (\ pi, 1)}$${\ displaystyle b (\ Gamma)}$${\ displaystyle b (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ Gamma)}$ ${\ displaystyle \ min (n, b (\ Gamma))}$

Espaços de configuração de ligações mecânicas

Também se define o espaço de configuração de uma ligação mecânica com o gráfico de sua geometria subjacente. Esse gráfico é comumente assumido como sendo construído como uma concatenação de hastes e dobradiças rígidas. O espaço de configuração de tal ligação é definido como a totalidade de todas as suas posições admissíveis no espaço euclidiano equipado com uma métrica adequada. O espaço de configuração de uma articulação genérica é uma variedade lisa, por exemplo, para a articulação plana trivial feita de hastes rígidas conectadas com juntas de rotação, o espaço de configuração é o n-toro . O ponto de singularidade mais simples em tais espaços de configuração é o produto de um cone em uma hipersuperfície quadrática homogênea por um espaço euclidiano. Tal ponto de singularidade emerge para ligações que podem ser divididas em duas sub-ligações, de modo que seus respectivos pontos de extremidade traçam caminhos se cruzem de uma maneira não transversal, por exemplo, ligação que pode ser alinhada (ou seja, completamente dobrada em uma linha). ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T ^ {n}}$

Veja também

• Espaço de configuração (física)
• Espaço de estado (física)

Referências