Número deficiente - Deficient number

Demonstração, com hastes Cuisenaire , da deficiência do número 8

Na teoria dos números , um número deficiente ou número defeituoso é um número n para o qual a soma dos divisores de n é menor que 2 n . Equivalentemente, é um número para o qual a soma dos divisores apropriados (ou soma da alíquota ) é menor que n . Por exemplo, os divisores adequados de 8 são 1, 2 e 4, e sua soma é menor que 8, portanto, 8 é deficiente.

Denotando por σ ( n ) a soma dos divisores, o valor 2 n - σ ( n ) é chamado de deficiência do número . Em termos da soma da alíquota s ( n ), a deficiência é n - s ( n ).

Exemplos

Os primeiros números deficientes são

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (sequência A005100 no OEIS )

Como exemplo, considere o número 21. Seus divisores apropriados são 1, 3 e 7, e sua soma é 11. Como 11 é menor que 21, o número 21 é deficiente. Sua deficiência é 2 × 21 - 32 = 10.

Propriedades

Como as somas das alíquotas dos números primos são iguais a 1, todos os números primos são deficientes. De maneira mais geral, todos os números ímpares com um ou dois fatores primos distintos são deficientes. Segue-se que há um número infinito de deficiências ímpares . Há também um número infinito até mesmo números deficientes, pois todas as potências de dois são ( $1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 x -1 = 2 x - 1$ ).

De maneira mais geral, todas as potências primárias são deficientes porque seus únicos divisores adequados são: que somam , que é, no máximo . ${\ displaystyle p ^ {k}}$ ${\ displaystyle 1, p, p ^ {2}, \ dots, p ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p ^ {k} -1} {p-1}}}$ ${\ displaystyle p ^ {k} -1}$

Todos os divisores adequados de números deficientes são deficientes. Além disso, todos os divisores adequados de números perfeitos são deficientes.

Existe pelo menos um número deficiente no intervalo para todos os n suficientemente grandes . ${\ displaystyle [n, n + (\ log n) ^ {2}]}$

Conceitos relacionados

Diagrama de Euler de números abundantes , primitivos abundantes , altamente abundantes , superabundantes , colossalmente abundantes , altamente compostos , altamente compostos superiores , números estranhos e perfeitos abaixo de 100 em relação aos números deficientes e compostos

Intimamente relacionados aos números deficientes estão os números perfeitos com σ ( n ) = 2 n , e os números abundantes com σ ( n )> 2 n . Os números naturais foram classificados pela primeira vez como deficientes, perfeitos ou abundantes por Nicômaco em seu Introductio Arithmetica (por volta de 100 DC).

Veja também

Referências

Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual da teoria dos números que eu . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .

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