Número colossalmente abundante - Colossally abundant number
Em matemática , um número colossalmente abundante (às vezes abreviado como CA ) é um número natural que, em um sentido particular e rigoroso, tem muitos divisores . Formalmente, um número n é colossalmente abundante se e somente se houver um ε> 0 tal que para todo k > 1,
onde σ denota a função da soma dos divisores . Todos os números colossalmente abundantes também são números superabundantes , mas o inverso não é verdadeiro.
Os primeiros 15 números colossalmente abundantes, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sequência A004490 no OEIS ) também são os primeiros 15 altamente superiores números compostos , mas nenhum conjunto é um subconjunto do outro.
História
Números colossalmente abundantes foram estudados pela primeira vez por Ramanujan e suas descobertas deveriam ser incluídas em seu artigo de 1915 sobre números altamente compostos . Infelizmente, o editor do jornal ao qual Ramanujan submeteu seu trabalho, a London Mathematical Society , estava em dificuldades financeiras na época e Ramanujan concordou em remover alguns aspectos do trabalho para reduzir o custo de impressão. Suas descobertas foram principalmente condicionais à hipótese de Riemann e com esta suposição ele encontrou limites superior e inferior para o tamanho de números colossalmente abundantes e provou que o que viria a ser conhecido como desigualdade de Robin (veja abaixo) vale para todos os valores suficientemente grandes de n .
A classe de números foi reconsiderada de uma forma ligeiramente mais forte em um artigo de 1944 de Leonidas Alaoglu e Paul Erdős, no qual eles tentaram estender os resultados de Ramanujan.
Propriedades
Números colossalmente abundantes são uma das várias classes de inteiros que tentam capturar a noção de ter muitos divisores. Para um número inteiro positivo n , a função de soma dos divisores σ ( n ) fornece a soma de todos os números que dividem n , incluindo o próprio 1 e n . Paul Bachmann mostrou que, em média, σ ( n ) está em torno de π 2 n / 6. O teorema de Grönwall , entretanto, diz que a ordem máxima de σ ( n ) é ligeiramente maior, especificamente há uma sequência crescente de inteiros n tais que para esses inteiros σ ( n ) é aproximadamente do mesmo tamanho que e γ n log (log ( n )), onde γ é a constante de Euler-Mascheroni . Portanto, números colossalmente abundantes capturam a noção de ter muitos divisores, exigindo que maximizem, para alguns ε> 0, o valor da função
sobre todos os valores de n . Os resultados de Bachmann e Grönwall garantem que para cada ε> 0 esta função tem um máximo e que à medida que ε tende a zero esses máximos irão aumentar. Assim, existem infinitos números colossalmente abundantes, embora sejam bastante esparsos, com apenas 22 deles menos de 10 18 .
Assim como com os números altamente compostos superiores, uma construção eficaz do conjunto de todos os números colossalmente abundantes é dada pelo seguinte mapeamento monotônico dos números reais positivos. Deixar
para qualquer número primo pe real positivo . Então
- é um número colossalmente abundante.
Para cada ε a função acima tem um máximo, mas não é óbvio, e de fato não é verdade, que para cada ε este valor máximo é único. Alaoglu e Erdős estudaram quantos valores diferentes de n poderiam fornecer o mesmo valor máximo da função acima para um determinado valor de ε. Eles mostraram que para a maioria dos valores de ε haveria um único inteiro n maximizando a função. Mais tarde, entretanto, Erdős e Jean-Louis Nicolas mostraram que para um certo conjunto de valores discretos de ε poderia haver dois ou quatro valores diferentes de n dando o mesmo valor máximo.
Em seu artigo de 1944, Alaoglu e Erdős conjeturaram que a proporção de dois números colossalmente abundantes consecutivos era sempre um número primo . Eles mostraram que isso resultaria de um caso especial da conjectura dos quatro exponenciais na teoria dos números transcendentais , especificamente que para quaisquer dois números primos distintos p e q , os únicos números reais t para os quais p t e q t são racionais são os positivos inteiros. Usando o resultado correspondente para três primos - um caso especial do teorema dos seis exponenciais que Siegel afirmou ter provado - eles conseguiram mostrar que o quociente de dois números colossalmente abundantes consecutivos é sempre um primo ou um semiprime , ou seja, um número com apenas dois fatores principais . O quociente nunca pode ser o quadrado de um primo.
A conjectura de Alaoglu e Erdős permanece aberta, embora tenha sido verificada até pelo menos 10 7 . Se for verdade, isso significaria que houve uma sequência de números primos distintos não- p 1 , p 2 , p 3 , ... de tal modo que o n ° número colossally abundante era a forma de
Supondo que a conjectura seja válida, esta sequência de primos começa com 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (sequência A073751 no OEIS ). A conjectura de Alaoglu e Erdős também significaria que nenhum valor de ε fornece quatro inteiros diferentes n como máximos da função acima.
Relação com a hipótese de Riemann
Na década de 1980, Guy Robin mostrou que a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação de que a seguinte desigualdade é verdadeira para todo n > 5040: (onde γ é a constante de Euler-Mascheroni )
Esta desigualdade é conhecida por falhar para 27 números (sequência A067698 no OEIS ):
- 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040
Robin mostrou que se a hipótese de Riemann for verdadeira, então n = 5040 é o último inteiro para o qual ela falha. A desigualdade agora é conhecida como a desigualdade de Robin depois de seu trabalho. É sabido que a desigualdade de Robin, se alguma vez falhar em se manter, falhará para um número colossalmente abundante n ; assim, a hipótese de Riemann é de fato equivalente à desigualdade de Robin mantida para cada número colossalmente abundante n > 5040.
Em 2001-2, Lagarias demonstrou uma forma alternativa de afirmação de Robin que não requer exceções, usando os números harmônicos em vez de log:
Ou, exceto as 8 exceções de n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:
