Fórmula para a derivada de uma razão de funções
No cálculo , a regra de quociente é um método para encontrar a derivada de uma função que é a razão de duas funções diferenciáveis. Deixe onde g e h são diferenciáveis e a regra de quociente afirma que a derivada de f ( x ) é
f
(
x
)
=
g
(
x
)
/
h
(
x
)
,
{\ displaystyle f (x) = g (x) / h (x),}
h
(
x
)
≠
0
{\ displaystyle h (x) \ neq 0.}
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
.
{\ displaystyle f '(x) = {\ frac {g' (x) h (x) -g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}}.}
Exemplos
Um exemplo básico:
d
d
x
e
x
x
2
=
(
d
d
x
e
x
)
(
x
2
)
-
(
e
x
)
(
d
d
x
x
2
)
(
x
2
)
2
=
(
e
x
)
(
x
2
)
-
(
e
x
)
(
2
x
)
x
4
=
e
x
(
x
-
2
)
x
3
.
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {2}}} & = {\ frac {\ left ({\ frac { d} {dx}} e ^ {x} \ right) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) \ left ({\ frac {d} {dx}} x ^ {2} \ right) } {(x ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {(e ^ {x}) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) (2x)} { x ^ {4}}} \\ & = {\ frac {e ^ {x} (x-2)} {x ^ {3}}}. \ end {alinhado}}}
A regra do quociente pode ser usada para encontrar a derivada de como segue.
f
(
x
)
=
bronzeado
x
=
pecado
x
cos
x
{\ displaystyle f (x) = \ tan x = {\ tfrac {\ sin x} {\ cos x}}}
d
d
x
bronzeado
x
=
d
d
x
pecado
x
cos
x
=
(
d
d
x
pecado
x
)
(
cos
x
)
-
(
pecado
x
)
(
d
d
x
cos
x
)
cos
2
x
=
cos
2
x
+
pecado
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
=
s
2
x
.
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ tan x & = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} \\ & = {\ frac {\ left ({\ frac {d} {dx}} \ sin x \ right) (\ cos x) - (\ sin x) \ left ({\ frac {d} {dx}} \ cos x \ direita)} {\ cos ^ {2} x}} \\ & = {\ frac {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}} \\ & = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = \ sec ^ {2} x. \ end {alinhado}}}
Provas Prova de definição de derivada e propriedades de limite Let Aplicando a definição da derivada e propriedades dos limites dá a seguinte prova.
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
.
{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}}.}
f
′
(
x
)
=
lim
k
→
0
f
(
x
+
k
)
-
f
(
x
)
k
=
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
h
(
x
+
k
)
-
g
(
x
)
h
(
x
)
k
=
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
(
x
+
k
)
k
⋅
h
(
x
)
h
(
x
+
k
)
=
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
(
x
+
k
)
k
⋅
lim
k
→
0
1
h
(
x
)
h
(
x
+
k
)
=
(
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
(
x
)
+
g
(
x
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
(
x
+
k
)
k
)
⋅
1
h
(
x
)
2
=
(
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
(
x
)
k
-
lim
k
→
0
g
(
x
)
h
(
x
+
k
)
-
g
(
x
)
h
(
x
)
k
)
⋅
1
h
(
x
)
2
=
(
h
(
x
)
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
-
g
(
x
)
k
-
g
(
x
)
lim
k
→
0
h
(
x
+
k
)
-
h
(
x
)
k
)
⋅
1
h
(
x
)
2
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} f '(x) & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {f (x + k) -f (x)} {k}} \\ & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {{\ frac {g (x + k)} {h (x + k)}} - {\ frac {g (x)} {h (x)}}} {k}} \\ & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k \ cdot h (x ) h (x + k)}} \\ & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k }} \ cdot \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {1} {h (x) h (x + k)}} \\ & = \ left (\ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x) + g (x) h (x) -g (x) h (x + k)} {k}} \ direita) \ cdot {\ frac {1} {h (x) ^ {2}}} \\ & = \ left (\ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x)} {k}} - \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x) h (x + k) -g (x) h (x)} {k}} \ direita) \ cdot {\ frac {1} {h (x) ^ {2}}} \\ & = \ left (h (x) \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) -g (x)} {k}} - g (x) \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {h (x + k) -h (x)} {k}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {h (x) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x ) ^ {2}}}. \ End {alinhado}}}
Prova usando diferenciação implícita Deixe assim A regra do produto então dá Resolução e substituição para dá:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
,
{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}},}
g
(
x
)
=
f
(
x
)
h
(
x
)
.
{\ displaystyle g (x) = f (x) h (x).}
g
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
h
(
x
)
+
f
(
x
)
h
′
(
x
)
.
{\ displaystyle g '(x) = f' (x) h (x) + f (x) h '(x).}
f
′
(
x
)
{\ displaystyle f '(x)}
f
(
x
)
{\ displaystyle f (x)}
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
-
f
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
g
′
(
x
)
-
g
(
x
)
h
(
x
)
⋅
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} f '(x) & = {\ frac {g' (x) -f (x) h '(x)} {h (x)}} \\ & = {\ frac {g '(x) - {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ cdot h' (x)} {h (x)}} \\ & = {\ frac {g '(x ) h (x) -g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}}. \ end {alinhado}}}
Prova usando a regra da corrente Vamos então, a regra do produto dá
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
-
1
.
{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}} = g (x) h (x) ^ {- 1}.}
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
1
+
g
(
x
)
⋅
d
d
x
(
h
(
x
)
-
1
)
.
{\ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) \ cdot {\ frac {d} {dx}} (h (x) ^ {- 1} ).}
Para avaliar a derivada no segundo termo, aplique a regra de potência junto com a regra da cadeia :
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
1
+
g
(
x
)
⋅
(
-
1
)
h
(
x
)
-
2
h
′
(
x
)
.
{\ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) \ cdot (-1) h (x) ^ {- 2} h '(x).}
Por fim, reescreva como frações e combine os termos para obter
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
-
g
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} f '(x) & = {\ frac {g' (x)} {h (x)}} - {\ frac {g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x) ^ {2}}}. \ fim {alinhado}}}
Fórmulas de ordem superior A diferenciação implícita pode ser usada para calcular a n- ésima derivada de um quociente (parcialmente em termos de suas primeiras n -1
f
h
=
g
{\ displaystyle fh = g}
f
″
h
+
2
f
′
h
′
+
f
h
″
=
g
″
{\ displaystyle f''h + 2f'h '+ fh' '= g' '}
f
″
{\ displaystyle f ''}
f
″
=
(
g
h
)
″
=
g
″
-
2
f
′
h
′
-
f
h
″
h
.
{\ displaystyle f '' = \ left ({\ frac {g} {h}} \ right) '' = {\ frac {g '' - 2f'h'-fh ''} {h}}.}
Referências
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
