Linha Euler - Euler line

A linha de Euler (vermelha) é uma linha reta que passa pelo centróide (laranja), ortocentro (azul), circuncentro (verde) e centro do círculo de nove pontos (vermelho).

Na geometria , a linha de Euler , em homenagem a Euler ( / ɔɪ l ər / ), é uma linha determinada a partir de qualquer triângulo que não é equilátero . É uma linha central do triângulo e passa por vários pontos importantes determinados a partir do triângulo, incluindo o ortocentro , o circuncentro , o centróide , o ponto Exeter e o centro do círculo de nove pontos do triângulo.

O conceito de linha de Euler de um triângulo se estende à linha de Euler de outras formas, como o quadrilátero e o tetraedro .

Triângulo centrado na linha de Euler

Centros individuais

Euler mostrou em 1765 que em qualquer triângulo, o ortocentro, o circuncentro e o centróide são colineares . Essa propriedade também é verdadeira para outro centro de triângulo , o centro de nove pontos , embora não tenha sido definido na época de Euler. Em triângulos equiláteros, esses quatro pontos coincidem, mas em qualquer outro triângulo eles são todos distintos um do outro, e a linha de Euler é determinada por quaisquer dois deles.

Outros pontos notáveis ​​que se encontram na linha de Euler incluem o ponto de Longchamps , o ponto Schiffler , o ponto Exeter e o perspector Gossard . No entanto, o incentivo geralmente não está na linha de Euler; está na linha de Euler apenas para triângulos isósceles , para os quais a linha de Euler coincide com o eixo de simetria do triângulo e contém todos os centros do triângulo.

O triângulo tangencial de um triângulo de referência é tangente à circunferência do último nos vértices do triângulo de referência. O circuncentro do triângulo tangencial encontra-se na linha de Euler do triângulo de referência. O centro de semelhança dos triângulos ortic e tangencial também está na linha de Euler.

Uma prova vetorial

Deixe ser um triângulo. Uma prova do fato de que o circuncentro , o centróide e o ortocentro são colineares depende de vetores livres . Começamos declarando os pré-requisitos. Primeiro, satisfaz a relação ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ vec {GA}} + {\ vec {GB}} + {\ vec {GC}} = 0.}$

Isso decorre do fato de que as coordenadas baricêntricas absolutas de são . Além disso, o problema de Sylvester é lido como ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}: {\ frac {1} {3}}: {\ frac {1} {3}}}$

${\ displaystyle {\ vec {OH}} = {\ vec {OA}} + {\ vec {OB}} + {\ vec {OC}}.}$

Agora, usando a adição de vetor, deduzimos que

${\ displaystyle {\ vec {GO}} = {\ vec {GA}} + {\ vec {AO}} \, {\ mbox {(no triângulo}} AGO {\ mbox {)}}, \, {\ vec {GO}} = {\ vec {GB}} + {\ vec {BO}} \, {\ mbox {(no triângulo}} BGO {\ mbox {)}}, \, {\ vec {GO}} = {\ vec {GC}} + {\ vec {CO}} \, {\ mbox {(no triângulo}} CGO {\ mbox {)}}.}$

Ao adicionar essas três relações, termo a termo, obtemos que

${\ displaystyle 3 \ cdot {\ vec {GO}} = \ left (\ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {GA}} \ right) + \ left (\ sum \ limites _ {\ scriptstyle {\ rm {cíclico}}} {\ vec {AO}} \ direita) = 0- \ left (\ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cíclico}}} {\ vec {OA }} \ right) = - {\ vec {OH}}.}$

Em conclusão,, e assim os três pontos , e (nesta ordem) são colineares. ${\ displaystyle 3 \ cdot {\ vec {OG}} = {\ vec {OH}}}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

No livro de Dörrie, a linha de Euler e o problema de Sylvester são reunidos em uma única prova. No entanto, a maioria das provas do problema de Sylvester depende das propriedades fundamentais dos vetores livres, independentemente da linha de Euler.

Distâncias entre centros

Na linha de Euler, o centróide G está entre o circuncentro O e o ortocentro H e está duas vezes mais longe do ortocentro do que do circuncentro:

${\ displaystyle GH = 2GO;}$

${\ displaystyle OH = 3GO.}$

O segmento GH é um diâmetro do círculo ortocentroidal .

O centro N do círculo de nove pontos encontra-se ao longo da linha de Euler, a meio caminho entre o ortocentro e o circuncentro:

${\ displaystyle ON = NH, \ quad OG = 2 \ cdot GN, \ quad NH = 3GN.}$

Assim, a linha de Euler poderia ser reposicionada em uma linha numérica com o circuncentro O no local 0, o centróide G em 2 t , o centro de nove pontos em 3 t e o ortocentro H em 6 t para algum fator de escala t .

Além disso, a distância quadrada entre o centróide e o circuncentro ao longo da linha de Euler é menor que o circunradio R ² quadrado por um valor igual a um nono da soma dos quadrados dos comprimentos laterais a , b e c :

${\ displaystyle GO ^ {2} = R ^ {2} - {\ tfrac {1} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}$

Além disso,

${\ displaystyle OH ^ {2} = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2});}$

${\ displaystyle GH ^ {2} = 4R ^ {2} - {\ tfrac {4} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}$

Representação

Equação

Sejam A , B , C os ângulos dos vértices do triângulo de referência, e sejam x  : y  : z um ponto variável em coordenadas trilineares ; então uma equação para a linha de Euler é

${\ displaystyle \ sin (2A) \ sin (BC) x + \ sin (2B) \ sin (CA) y + \ sin (2C) \ sin (AB) z = 0.}$

Uma equação para a linha de Euler em coordenadas baricêntricas é ${\ displaystyle \ alpha: \ beta: \ gamma}$

${\ displaystyle (\ tan C- \ tan B) \ alpha + (\ tan A- \ tan C) \ beta + (\ tan B- \ tan A) \ gamma = 0.}$

Representação paramétrica

Outra forma de representar a linha de Euler é em termos de um parâmetro t . Começando com o circuncentro (com coordenadas trilineares ) e o ortocentro (com trilinear, cada ponto na linha de Euler, exceto o ortocentro, é dado pelas coordenadas trilineares ${\ displaystyle \ cos A: \ cos B: \ cos C}$${\ displaystyle \ sec A: \ sec B: \ sec C = \ cos B \ cos C: \ cos C \ cos A: \ cos A \ cos B),}$

${\ displaystyle \ cos A + t \ cos B \ cos C: \ cos B + t \ cos C \ cos A: \ cos C + t \ cos A \ cos B}$

formado como uma combinação linear dos trilíneos desses dois pontos, para algum t .

Por exemplo:

• O circuncentro tem trilíneos correspondentes ao valor do parâmetro ${\ displaystyle \ cos A: \ cos B: \ cos C,}$${\ displaystyle t = 0.}$
• O centróide tem trilíneos correspondentes ao valor do parâmetro ${\ displaystyle \ cos A + \ cos B \ cos C: \ cos B + \ cos C \ cos A: \ cos C + \ cos A \ cos B,}$${\ displaystyle t = 1.}$
• O centro de nove pontos tem trilíneos correspondentes ao valor do parâmetro ${\ displaystyle \ cos A + 2 \ cos B \ cos C: \ cos B + 2 \ cos C \ cos A: \ cos C + 2 \ cos A \ cos B,}$${\ displaystyle t = 2.}$
• O ponto de Longchamps tem trilíneos correspondentes ao valor do parâmetro ${\ displaystyle \ cos A- \ cos B \ cos C: \ cos B- \ cos C \ cos A: \ cos C- \ cos A \ cos B,}$${\ displaystyle t = -1.}$

Inclinação

Em um sistema de coordenadas cartesianas , denotam as pistas dos lados de um triângulo como e e denota a inclinação da sua linha de Euler que . Então, essas inclinações estão relacionadas de acordo com ${\ displaystyle m_ {1},}$ ${\ displaystyle m_ {2},}$${\ displaystyle m_ {3},}$${\ displaystyle m_ {E}}$

${\ displaystyle m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {1} m_ {E} + m_ {2} m_ {3} + m_ {2} m_ {E} + m_ { 3} m_ {E}}$

${\ displaystyle + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3} m_ {E} + 3 = 0.}$

Assim, a inclinação da linha de Euler (se finita) é expressa em termos das inclinações dos lados como

${\ displaystyle m_ {E} = - {\ frac {m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {2} m_ {3} +3} {m_ {1} + m_ { 2} + m_ {3} + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3}}}.}$

Além disso, a linha de Euler é paralela ao lado BC de um triângulo agudo se e somente se ${\ displaystyle \ tan B \ tan C = 3.}$

Relação com triângulos equiláteros inscritos

O lugar geométrico dos centróides dos triângulos equiláteros inscritos em um determinado triângulo é formado por duas linhas perpendiculares à linha de Euler do triângulo.

Em triângulos especiais

Triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo , a linha de Euler coincide com a mediana da hipotenusa - ou seja, ela passa pelo vértice em ângulo reto e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice. Isso ocorre porque o ortocentro do triângulo retângulo, a interseção de suas altitudes , cai no vértice em ângulo reto, enquanto seu circuncentro, a interseção de suas bissetoras perpendiculares dos lados, cai no ponto médio da hipotenusa.

Triângulo isósceles

A linha de Euler de um triângulo isósceles coincide com o eixo de simetria . Em um triângulo isósceles, o incentivo cai na linha de Euler.

Triângulo automediano

A linha de Euler de um triângulo automediano (cujas medianas estão nas mesmas proporções, embora na ordem oposta, dos lados) é perpendicular a uma das medianas.

Sistemas de triângulos com linhas de Euler simultâneas

Considere um triângulo ABC com os pontos F ₁ e F _{2 de} Fermat – Torricelli . As linhas de Euler dos 10 triângulos com vértices escolhidos de A, B, C, F ₁ e F ₂ são concorrentes no centróide do triângulo ABC .

As linhas de Euler dos quatro triângulos formados por um sistema ortocêntrico (um conjunto de quatro pontos em que cada um é o ortocentro do triângulo com vértices nos outros três pontos) são concorrentes no centro de nove pontos comum a todos os triângulos.

Generalizações

Quadrilátero

Em um quadrilátero convexo , o quase - ortocentro H , o "centroide de área" G e o quase - circuncentro O são colineares nesta ordem na linha de Euler e HG = 2 GO .

Tetraedro

Um tetraedro é um objeto tridimensional delimitado por quatro faces triangulares . Sete linhas associadas a um tetraedro são simultâneas em seu centróide; seus seis planos médios se cruzam em seu ponto Monge ; e há uma circunsfera passando por todos os vértices, cujo centro é o circuncentro. Esses pontos definem a "linha de Euler" de um tetraedro análogo ao de um triângulo. O centróide é o ponto médio entre seu ponto Monge e o circuncentro ao longo desta linha. O centro da esfera de doze pontos também está na linha de Euler.

Politopo Simplicial

Um politopo simplicial é um politopo cujas facetas são todas simples . Por exemplo, todo polígono é um politopo simplicial. A linha de Euler associada a tal politopo é a linha determinada por seu centróide e circuncentro de massa . Esta definição de linha de Euler generaliza as anteriores.

Suponha que seja um polígono. A linha de Euler é sensível às simetrias das seguintes maneiras: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P}$

1. Se tem uma linha de simetria de reflexão , então é ou um ponto ligado . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$

2. Se tiver um centro de simetria rotacional , então . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle E = C}$

3. Se todos os lados de, exceto um, tiverem o mesmo comprimento, então é ortogonal ao último lado. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle E}$

Construções relacionadas

A parábola de Kiepert de um triângulo é a única parábola tangente aos lados (dois deles estendidos ) do triângulo e tem a linha de Euler como sua diretriz .

Referências

links externos

• Um miniaplicativo interativo que mostra vários centros de triângulos localizados na linha de Euler .
• "Linha de Euler" e "Contínuo do Triângulo Não Euclidiano" no Projeto de Demonstrações do Wolfram
• Generalização da linha de Euler e cônica de nove pontos , Uma generalização da linha de Euler adicional e A linha quase-Euler de um quadrilátero e um hexágono em esboços de geometria dinâmica
• Bogomolny, Alexander , " Altitudes and the Euler Line " e " Euler Line and 9-Point Circle ", Cut-the-Knot
• Kimberling, Clark , "Triangle centra-se na linha de Euler" , Triangle Centres CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
• Stankova, Zvezdelina (1 de fevereiro de 2016), "Triangles have a Magic Highway" , Numberphile , YouTube CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
• Weisstein, Eric W. "Euler Line" . MathWorld .