Quadrilátero ex-tangencial - Ex-tangential quadrilateral

Um quadrilátero ex-tangencial ABCD e seu círculo

Na geometria euclidiana , um quadrilátero ex-tangencial é um quadrilátero convexo onde as extensões de todos os quatro lados são tangentes a um círculo fora do quadrilátero. Também foi chamado de quadrilátero exscriptible . O círculo é chamado de círculo , seu raio de exradius e seu centro de excentro ( E na figura). O excentro encontra-se na intersecção de seis bissetores de ângulo. Estes são os bissetores do ângulo interno em dois ângulos de vértice opostos, os bissetores do ângulo externo (bissetores do ângulo suplementar ) nos outros dois ângulos do vértice e os bissetores do ângulo externo nos ângulos formados onde as extensões dos lados opostos se cruzam (veja a figura ao lado do direita, onde quatro desses seis são segmentos de linha pontilhada). O quadrilátero ex-tangencial está intimamente relacionado ao quadrilátero tangencial (onde os quatro lados são tangentes a um círculo).

Outro nome para um círculo é um círculo escrito, mas esse nome também foi usado para um círculo tangente a um lado de um quadrilátero convexo e as extensões dos dois lados adjacentes. Nesse contexto, todos os quadriláteros convexos têm quatro círculos descritos, mas podem ter no máximo um círculo.

Casos especiais

Os papagaios são exemplos de quadriláteros ex-tangenciais. Os paralelogramos (que incluem quadrados , losangos e retângulos ) podem ser considerados quadriláteros ex-tangenciais com ex- raio infinito, pois satisfazem as caracterizações na próxima seção, mas o círculo não pode ser tangente a ambos os pares de extensões de lados opostos (uma vez que são paralelos ) Quadriláteros convexos cujos comprimentos laterais formam uma progressão aritmética são sempre ex-tangenciais, pois satisfazem a caracterização abaixo para comprimentos laterais adjacentes.

Caracterizações

Um quadrilátero convexo é ex-tangencial se e somente se houver seis bissetores de ângulos concorrentes . Estas são as bissetoras do ângulo interno em dois ângulos de vértice opostos, as bissetoras do ângulo externo nos outros dois ângulos do vértice e as bissetoras do ângulo externo nos ângulos formados onde as extensões dos lados opostos se cruzam.

Para efeitos de cálculo, uma caracterização mais útil é que um quadrilátero convexo com lados sucessivos a, b, c, d é ex-tangencial se e somente se a soma de dois lados adjacentes for igual à soma dos outros dois lados. Isso é possível de duas maneiras diferentes - como

{\ displaystyle a + b = c + d}

ou

{\ displaystyle a + d = b + c.}

Isso foi provado por Jakob Steiner em 1846. No primeiro caso, o círculo está fora do maior dos vértices A ou C , enquanto no segundo caso está fora do maior dos vértices B ou D , desde que os lados do quadrilátero ABCD são a = AB , b = BC , c = CD e d = DA . Uma forma de combinar essas caracterizações em relação aos lados é que os valores absolutos das diferenças entre os lados opostos são iguais para os dois pares de lados opostos,

{\ displaystyle | ac | = | bd |.}

Essas equações estão intimamente relacionadas ao teorema de Pitot para quadriláteros tangenciais , onde as somas dos lados opostos são iguais para os dois pares de lados opostos.

Teorema de Urquhart

Se lados opostos em um quadrilátero convexo ABCD se cruzam em E e F , então

{\ displaystyle AB + BC = AD + DC \ quad \ Leftrightarrow \ quad AE + EC = AF + FC.}

A implicação à direita tem o nome de LM Urquhart (1902–1966), embora tenha sido provado muito antes por Augustus De Morgan em 1841. Daniel Pedoe o nomeou o teorema mais elementar da geometria euclidiana, uma vez que diz respeito apenas a linhas retas e distâncias. Que de fato existe uma equivalência foi provado por Mowaffac Hajja, o que faz da igualdade à direita outra condição necessária e suficiente para um quadrilátero ser ex-tangencial.

Comparação com um quadrilátero tangencial

Algumas das caracterizações métricas dos quadriláteros tangenciais (a coluna da esquerda na tabela) têm contrapartes muito semelhantes para os quadriláteros ex-tangenciais (as colunas do meio e da direita na tabela), como pode ser visto na tabela abaixo. Assim, um quadrilátero convexo tem um incircle ou um excircle fora do vértice apropriado (dependendo da coluna) se e somente se qualquer uma das cinco condições necessárias e suficientes abaixo for satisfeita.

Incircle	Circule fora de A ou C	Circular fora de B ou D
${\ displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${\ displaystyle R_ {1} + R_ {2} = R_ {3} + R_ {4}}$	${\ displaystyle R_ {1} + R_ {4} = R_ {2} + R_ {3}}$
${\ displaystyle agh + cef = beh + dfg}$	${\ displaystyle agh + beh = cef + dfg}$	${\ displaystyle agh + dfg = beh + cef}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {3}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {3}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {4}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {3}}}}$
${\ displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {z} {2}} = \ tan {\ frac {y} {2}} \ tan {\ frac {w} {2 }}}$	${\ displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {w} {2}} = \ tan {\ frac {y} {2}} \ tan {\ frac {z} {2 }}}$	${\ displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {y} {2}} = \ tan {\ frac {z} {2}} \ tan {\ frac {w} {2 }}}$
${\ displaystyle R_ {a} R_ {c} = R_ {b} R_ {d}}$	${\ displaystyle R_ {a} R_ {b} = R_ {c} R_ {d}}$	${\ displaystyle R_ {a} R_ {d} = R_ {b} R_ {c}}$

As notações nesta tabela são como se segue: Em um quadrilátero convexo ABCD , as diagonais se intersectam no P . R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ são os circunradios nos triângulos ABP , BCP , CDP , DAP ; h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ são as altitudes de P aos lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA respectivamente nos mesmos quatro triângulos; e , f , g , h são as distâncias dos vértices A , B , C , D respectivamente a P ; x , y , z , w são os ângulos ABD , ADB , BDC , DBC respectivamente; e R _a , R _b , R _c , R _d são os raios nos círculos externamente tangentes aos lados a , b , c , d respectivamente e as extensões dos dois lados adjacentes para cada lado.

Área

Um quadrilátero ex-tangencial ABCD com os lados a, b, c, d tem área

{\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}} \ sin {\ frac {B + D} {2}}.}

Observe que esta é a mesma fórmula que aquela para a área de um quadrilátero tangencial e também é derivada da fórmula de Bretschneider da mesma maneira.

Exradius

O exradius para um quadrilátero ex-tangencial com lados consecutivos a , b , c , d é dado por

{\ displaystyle r = {\ frac {K} {| ac |}} = {\ frac {K} {| bd |}}}

onde K é a área do quadrilátero. Para um quadrilátero ex-tangencial com lados dados, o ex-raio é máximo quando o quadrilátero também é cíclico (e, portanto, um quadrilátero ex-bicêntrico). Essas fórmulas explicam por que todos os paralelogramos têm exradius infinito.

Quadrilátero ex-bicêntrico

Se um ex-tangencial quadrilátero também tem um circumcircle , ele é chamado um quadrilátero ex-bicentric . Então, como tem dois ângulos suplementares opostos , sua área é dada por

{\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}}

que é o mesmo que para um quadrilátero bicêntrico .

Se x for a distância entre o circuncentro e o excentro, então

{\ displaystyle {\ frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2 }}},}

onde R e R são o circumradius e exradius respectivamente. Esta é a mesma equação do teorema de Fuss para um quadrilátero bicêntrico. Mas ao resolver para x , devemos escolher a outra raiz da equação quadrática para o quadrilátero ex-bicêntrico em comparação com o bicêntrico. Portanto, para o ex-bicêntrico, temos

{\ displaystyle x = {\ sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} + r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}

Desta fórmula segue que

{\ displaystyle \ displaystyle x> R + r,}

o que significa que a circunferência e a circunferência nunca podem se cruzar.

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