Subespaço invariável - Invariant subspace

Em matemática , um subespaço invariante de um mapeamento linear T  : V → V de algum espaço vetorial V para si mesmo, é um subespaço W de V que é preservado por T ; isto é,  t ( W ) ⊆ W .

Descrição geral

Considere um mapeamento linear ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Um subespaço invariante de tem a propriedade de que todos os vetores são transformados em vetores também contidos em . Isso pode ser declarado como ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in W}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in W \ implica T (\ mathbf {v}) \ in W.}$

Exemplos triviais de subespaços invariantes

• ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$: Uma vez que mapeia todos os vetores em${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$
• ${\ displaystyle \ {0 \}}$: Uma vez que um mapa linear deve ser mapeado ${\ displaystyle 0 \ mapsto 0.}$

Subespaço invariante unidimensional U

A base de um espaço unidimensional é simplesmente um vetor diferente de zero . Consequentemente, qualquer vetor pode ser representado como onde é um escalar. Se representarmos por uma matriz , então, para ser um subespaço invariante, deve satisfazer ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} \ em U}$${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ in U \; \ exists \ alpha \ in \ mathbb {R}: A \ mathbf {x} = \ alpha \ mathbf {v}.}$

Sabemos que com . ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in U \ Rightarrow \ mathbf {x} = \ beta \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

Portanto, a condição para a existência de um subespaço invariante unidimensional é expressa como:

${\ displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$, onde é um escalar (no campo base do espaço vetorial.${\ displaystyle \ lambda}$

Observe que esta é a formulação típica de um problema de autovalor , o que significa que qualquer autovetor de forma um subespaço invariante unidimensional em . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$

Descrição formal

Um subespaço invariável de um mapeamento linear

${\ displaystyle T: V \ a V}$

de algum espaço vectorial V a si é um subespaço W de V de tal modo que T ( W ) está contido em W . Um subespaço invariante de T também é chamado de T invariante .

Se W for T -invariante, podemos restringir T a W para chegar a um novo mapeamento linear

${\ displaystyle T | _ {W}: W \ a W.}$

Este mapeamento linear é chamado de restrição de T em W e é definido por

${\ displaystyle T | _ {W} (\ mathbf {x}) = T (\ mathbf {x}) {\ text {para todos}} \ mathbf {x} \ in W.}$

A seguir, damos alguns exemplos imediatos de subespaços invariantes.

Certamente V em si, e o subespaço {0}, são trivialmente subespaços invariantes para cada operador linear T  : V → V . Para certos operadores lineares, não há subespaço invariante não trivial ; considere, por exemplo, uma rotação de um espaço vetorial real bidimensional .

Seja v um autovetor de T , ou seja, T  v = λ v . Então W = span { v } é T -invariante. Como consequência do teorema fundamental da álgebra , todo operador linear em um espaço vetorial complexo de dimensão finita diferente de zero tem um autovetor. Portanto, todo operador linear tem um subespaço invariante não trivial. O fato de que os números complexos são um campo algebraicamente fechado é necessário aqui. Comparando com o exemplo anterior, pode-se ver que os subespaços invariantes de uma transformação linear dependem do campo de base de V .

Um vetor invariante (ou seja, um ponto fixo de T ), diferente de 0, abrange um subespaço invariante de dimensão 1. Um subespaço invariante de dimensão 1 terá ação de T por um escalar e consiste em vetores invariantes se e somente se esse escalar é 1.

Como os exemplos acima indicam, os subespaços invariantes de uma determinada transformação linear t lançar luz sobre a estrutura de T . Quando V é um espaço de dimensão finita vector sobre um corpo algebricamente fechado, transformações lineares que actuam em V são caracterizados (até similaridade) pela forma canónica Jordan , que se decompõe V em subespaços invariantes de T . Muitas questões fundamentais do T pode ser traduzido para perguntas sobre subespaços invariantes de T .

Mais geralmente, subespaços invariantes são definidos para conjuntos de operadores como subespaços invariantes para cada operador no conjunto. Seja L ( V ) a álgebra das transformações lineares em V , e Lat ( T ) a família de subespaços invariante sob T ∈ L ( V ). (A notação "Lat" refere-se ao fato de que Lat ( T ) forma uma rede ; veja a discussão abaixo.) Dado um conjunto não vazio Σ ⊂ L ( V ), considera-se que os subespaços invariantes são invariantes sob cada T ∈ Σ. Em símbolos,

${\ displaystyle \ operatorname {Lat} (\ Sigma) = \ bigcap _ {T \ in \ Sigma} \ operatorname {Lat} (T).}$

Por exemplo, é claro que se Σ = L ( V ), então Lat (Σ) = {{0}, V  }.

Dada uma representação de um grupo L de um espaço vector V , que têm uma transformação linear T ( g ): V → V para cada elemento g de L . Se um subespaço W de V é invariante em relação a todas essas transformações, então ele é uma sub -representação e o grupo G atua em W de uma forma natural.

Como outro exemplo, sejam T ∈ L ( V ) e Σ a álgebra gerada por {1,  T  }, onde 1 é o operador de identidade. Então Lat ( T ) = Lat (Σ). Porque T está em Σ trivialmente, Lat (Σ) ⊂ Lat ( T ). Por outro lado, Σ consiste em polinômios em 1 e T e, portanto, a inclusão reversa também é válida.

Representação matricial

Sobre um espaço vetorial de dimensão finita, toda transformação linear T  : V → V pode ser representada por uma matriz, uma vez que uma base de V tenha sido escolhida.

Suponha agora que W é um subespaço T -invariante. Escolher uma base C = { v ₁ , ..., v _k } de W e completá-la com uma base B do V . Então, com respeito a esta base, a representação matricial de T assume a forma:

${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} \\ 0 & T_ {22} \ end {bmatrix}}}$

onde o bloco superior esquerdo T ₁₁ é a restrição de T a W .

Em outras palavras, dado um subespaço invariante W de T , V pode ser decomposto na soma direta

${\ displaystyle V = W \ oplus W '.}$

Visualizando T como uma matriz de operador

${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} \\ T_ {21} & T_ {22} \ end {bmatrix}}: {\ begin {matrix} W \\\ oplus \\ W '\ end {matriz}} \ rightarrow {\ begin {matriz} W \\\ oplus \\ W' \ end {matriz}},}$

é claro que T ₂₁ : W → W ' deve ser zero.

Determinar se um dado subespaço W é invariante sob T é aparentemente um problema de natureza geométrica. A representação de matriz permite formular esse problema algebricamente. O operador de projecção P para W é definido por P ( w + w ' ) = w , em que w ∈ W e w' ∈ W' . A projeção P tem representação matricial

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}: {\ begin {matrix} W \\\ oplus \\ W '\ end {matrix}} \ rightarrow {\ begin {matrix } W \\\ oplus \\ W '\ end {matriz}}.}$

Um cálculo simples mostra que W = correu  P , o intervalo de P , é invariante sob T se e somente se PTP =  TP . Em outras palavras, um subespaço W sendo um elemento de Lat ( T ) é equivalente à projeção correspondente que satisfaz a relação PTP =  TP .

Se P é uma projeção (isto é, P ² = P ), então 1 -  P também é , onde 1 é o operador de identidade. Resulta do que precede que TP = PT , se e somente se ambos RAN  P e RAN (1 -  P ) são invariáveis sob T . Nesse caso, T tem representação de matriz

${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} T_ {11} & 0 \\ 0 & T_ {22} \ end {bmatrix}}: {\ begin {matrix} \ operatorname {Ran} P \\\ oplus \\\ operatorname { Ran} (1-P) \ end {matriz}} \ rightarrow {\ begin {matriz} \ operatorname {Ran} P \\\ oplus \\\ operatorname {Ran} (1-P) \ end {matriz}} \ ;.}$

Coloquialmente, uma projeção que comuta com T "diagonaliza" T .

Problema de subespaço invariável

Artigo principal: Problema de subespaço invariável

O problema do subespaço invariante diz respeito ao caso em que V é um espaço de Hilbert separável sobre os números complexos , de dimensão> 1, e T é um operador limitado . O problema é decidir se cada um desses T tem um subespaço não trivial, fechado e invariante. Este problema não foi resolvido em 2021.

No caso mais geral em que V é assumido como um espaço de Banach , há um exemplo de um operador sem um subespaço invariante devido a Per Enflo (1976). Um exemplo concreto de um operador sem um subespaço invariante foi produzido em 1985 por Charles Read .

Malha de subespaço invariante

Dado um conjunto não vazio Σ ⊂ L ( V ), os subespaços invariantes invariantes sob cada elemento de Σ formam uma rede , às vezes chamada de rede de subespaço invariante de Σ e denotada por Lat (Σ).

As operações de rede são definidas de forma natural: para Σ ′ ⊂ Σ, a operação de encontro é definida por

${\ displaystyle \ bigwedge _ {W \ in \ Sigma '} W = \ bigcap _ {W \ in \ Sigma'} W}$

enquanto a operação de junção é definida por

${\ displaystyle \ bigvee _ {W \ in \ Sigma '} W = \ operatorname {span} \ bigcup _ {W \ in \ Sigma'} W.}$

Um elemento mínimo em Lat (Σ) é considerado um subespaço invariante mínimo .

Teorema fundamental da álgebra não comutativa

Assim como o teorema fundamental da álgebra garante que toda transformação linear agindo em um espaço vetorial complexo de dimensão finita tenha um subespaço invariante não trivial, o teorema fundamental da álgebra não comutativa afirma que Lat (Σ) contém elementos não triviais para certos Σ.

Teorema (Burnside) Suponha que V é um espaço vetorial complexo de dimensão finita. Para cada subálgebra própria Σ de L ( V ), Lat (Σ) contém um elemento não trivial.

O teorema de Burnside é de fundamental importância na álgebra linear . Uma conseqüência é que toda família comutante em L ( V ) pode ser triangularizada simultaneamente para cima.

Um conjunto não vazio Σ ⊂ L ( V ) é considerado triangularizável se existe uma base { e ₁ , ..., e _n } de V tal que

${\ displaystyle \ operatorname {span} \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {k} \} \ in \ operatorname {Lat} (\ Sigma) \ {\ text {para todos}} \ k \ geq 1 \ ;.}$

Em outras palavras, Σ é triangularizável se existir uma base tal que cada elemento de Σ tenha uma representação de matriz triangular superior nessa base. Segue do teorema de Burnside que toda álgebra comutativa Σ em L ( V ) é triangularizável. Conseqüentemente, toda família de comutação em L ( V ) pode ser triangularizada simultaneamente para cima.

Ideais de esquerda

Se A é uma álgebra , pode-se definir uma representação regular à esquerda Φ em A : Φ ( a ) b = ab é um homomorfismo de A a L ( A ), a álgebra de transformações lineares em A

Os subespaços invariantes de Φ são precisamente os ideais de esquerda de A . Um ideal esquerdo M de A dá um subrepresentation de A em M .

Se M é uma esquerda ideal de A então o Φ representação regular, à esquerda na M agora desce para um Φ representação' no espaço quociente vector A / M . Se [ b ] denota uma classe de equivalência em A / M , Φ '( a ) [ b ] = [ ab ]. O núcleo da representação Φ 'é o conjunto { a ∈ A | ab ∈ M para todo b }.

A representação Φ 'é irredutível se e somente se M for um ideal máximo à esquerda, uma vez que um subespaço V ⊂ A / M é um invariante sob {Φ' ( a ) | um ∈ Um } se e apenas se a sua preimage sob o quociente, V + H , é um ideal esquerda na Uma .

Meiosespaços quase invariantes

Relacionados aos subespaços invariantes estão os chamados meios-espaços quase invariantes ( AIHS's ). Diz-se que um subespaço fechado de um espaço de Banach é quase invariante sob um operador se for para algum subespaço de dimensão finita ; equivalentemente, é quase invariante sob se houver um operador de classificação finita tal que , isto é , se é invariante (no sentido usual) sob . Nesse caso, a dimensão mínima possível de (ou classificação de ) é chamada de defeito . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T \ in {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle TY \ subseteq Y + E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle (T + F) Y \ subseteq Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T + F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$

Claramente, todo subespaço finito-dimensional e finito-codimensional é quase invariante em cada operador. Assim, para tornar as coisas não triviais, dizemos que é um meio-espaço sempre que for um subespaço fechado com dimensão infinita e codimensão infinita. ${\ displaystyle Y}$

O problema AIHS pergunta se todos os operadores admitem um AIHS. No cenário complexo já foi resolvido; isto é, se é um espaço de Banach infinito-dimensional complexo e então admite um AIHS de defeito no máximo 1. Não se sabe atualmente se o mesmo é válido se é um espaço de Banach real. No entanto, alguns resultados parciais foram estabelecidos: por exemplo, qualquer operador auto-adjunto em um espaço de Hilbert real de dimensão infinita admite um AIHS, assim como qualquer operador estritamente singular (ou compacto) agindo em um espaço reflexivo de dimensão infinita real. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T \ in {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$

Veja também

• Variedade invariante

Bibliografia

• Abramovich, Yuri A .; Aliprantis, Charalambos D. (2002). Um convite à teoria do operador . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2146-6.

• Beauzamy, Bernard (1988). Introdução à teoria do operador e subespaços invariantes . Holanda do Norte.

• Enflo, Per ; Lomonosov, Victor (2001). "Alguns aspectos do problema do subespaço invariante". Manual da geometria dos espaços de Banach . Eu . Amsterdã: Holanda do Norte. pp. 533–559.

• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2006). Subespaços invariantes de matrizes com aplicativos . Clássicos em Matemática Aplicada. 51 (Reimpressão, com lista de erratas e novo prefácio, da edição de Wiley de 1986). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. xxii + 692. ISBN 978-0-89871-608-5.

• Lyubich, Yurii I. (1988). Introdução à teoria das representações de grupos de Banach (traduzido da edição em russo de 1985). Kharkov, Ucrânia: Birkhäuser Verlag.

• Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). Invariant Subspaces (atualização de 1973 Springer-Verlag ed.). Publicações de Dover. ISBN 0-486-42822-2.