Equação de Liouville - Liouville's equation

Para a equação de Liouville em sistemas dinâmicos, consulte o teorema de Liouville (Hamiltoniano) .

Para a equação de Liouville em mecânica quântica, consulte a equação de Von Neumann .

Para a equação de Liouville no espaço euclidiano, consulte a equação de Liouville – Bratu – Gelfand .

Em geometria diferencial , a equação de Liouville , nomeada em homenagem a Joseph Liouville , é a equação diferencial parcial não linear satisfeita pelo fator conforme f de uma métrica f ² (d x ²  + d y ² ) em uma superfície de curvatura Gaussiana constante K :

${\ displaystyle \ Delta _ {0} \ log f = -Kf ^ {2},}$

onde ∆ ₀ é o operador plano Laplace

${\ displaystyle \ Delta _ {0} = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial y ^ {2 }}} = 4 {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}}}}.}$

A equação de Liouville aparece no estudo de coordenadas isotérmicas em geometria diferencial: as variáveis ​​independentes x, y são as coordenadas, enquanto f pode ser descrito como o fator conforme em relação à métrica plana. Ocasionalmente, é o quadrado f ² que é referido como o fator conforme, em vez do próprio f .

A equação de Liouville também foi tomada como exemplo por David Hilbert na formulação de seu décimo nono problema .

Outras formas comuns da equação de Liouville

Usando a mudança das variáveis log  f  ↦  u , outra forma comumente encontrada da equação de Liouville é obtida:

${\ displaystyle \ Delta _ {0} u = -Ke ^ {2u}.}$

Outras duas formas da equação, comumente encontradas na literatura, são obtidas usando a ligeira variante 2 log  f  ↦  u da mudança anterior de variáveis ​​e cálculo de Wirtinger :${\ displaystyle \ Delta _ {0} u = -2Ke ^ {u} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {{\ parcial z} {\ parcial {\ bar {z} }}}} = - {\ frac {K} {2}} e ^ {u}.}$

Observe que é exatamente na primeira das duas formas anteriores que a equação de Liouville foi citada por David Hilbert na formulação de seu décimo nono problema .

Uma formulação usando o operador Laplace-Beltrami

De uma forma mais invariável, a equação pode ser escrita em termos do operador intrínseco de Laplace-Beltrami

${\ displaystyle \ Delta _ {\ mathrm {LB}} = {\ frac {1} {f ^ {2}}} \ Delta _ {0}}$

do seguinte modo:

${\ displaystyle \ Delta _ {\ mathrm {LB}} \ log \; f = -K.}$

Propriedades

Relação com as equações de Gauss-Codazzi

A equação de Liouville é equivalente às equações de Gauss-Codazzi para imersões mínimas no espaço 3, quando a métrica é escrita em coordenadas isotérmicas tais que o diferencial de Hopf é . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ mathrm {d} z ^ {2}}$

Solução geral da equação

Em um domínio Ω simplesmente conectado , a solução geral da equação de Liouville pode ser encontrada usando o cálculo de Wirtinger. Sua forma é dada por

${\ displaystyle u (z, {\ bar {z}}) = \ ln \ left (4 {\ frac {\ left | {\ mathrm {d} f (z)} / {\ mathrm {d} z} \ direita | ^ {2}} {(1 + K \ esquerda | f (z) \ direita | ^ {2}) ^ {2}}} \ direita)}$

onde f  ( z ) é qualquer função meromórfica tal que

• d f/d z( z ) ≠ 0 para todo z  ∈ Ω .
• f  ( z ) tem no máximo pólos simples em Ω .

Aplicativo

A equação de Liouville pode ser usada para provar os seguintes resultados de classificação para superfícies:

Teorema . Uma superfície no 3-espaço euclidiano com métrica d l ²  =  g ( z ,_z) d z d_z, e com curvatura escalar constante K é localmente isométrico para:

1. a esfera se K  > 0 ;
2. o plano euclidiano se K  = 0 ;
3. o plano Lobachevskiano se K  <0 .

Veja também

• Teoria de campo de Liouville , uma teoria de campo conformada bidimensional cuja equação clássica de movimento é uma generalização da equação de Liouville

Notas

Citações

Trabalhos citados