Derivados de Wirtinger - Wirtinger derivatives

Na análise complexa de uma e várias variáveis ​​complexas , os derivados de Wirtinger (às vezes também chamados de operadores de Wirtinger ), nomeados em homenagem a Wilhelm Wirtinger que os introduziu em 1927 no curso de seus estudos sobre a teoria das funções de várias variáveis ​​complexas , são operadores diferenciais parciais de a primeira ordem que se comporta de maneira muito semelhante às derivadas ordinárias em relação a uma variável real , quando aplicada a funções holomórficas , funções anti- holomórficas ou simplesmente funções diferenciáveis em domínios complexos . Esses operadores permitem a construção de um cálculo diferencial para tais funções que é inteiramente análogo ao cálculo diferencial ordinário para funções de variáveis ​​reais .

Notas históricas

Primeiros dias (1899–1911): a obra de Henri Poincaré

Derivados de Wirtinger foram usados ​​em análises complexas pelo menos já no artigo ( Poincaré 1899 ), como brevemente observado por Cherry & Ye (2001 , p. 31) e por Remmert (1991 , pp. 66-67). De fato, no terceiro parágrafo de seu artigo de 1899, Henri Poincaré primeiro define a variável complexa em e seu conjugado complexo como segue ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {k} + iy_ {k} = z_ {k} \\ x_ {k} -iy_ {k} = u_ {k} \ end {cases}} \ qquad 1 \ leqslant k \ leqslant n.}$

Em seguida, ele escreve a equação definindo as funções que ele chama de biharmonique , previamente escrita usando derivadas parciais em relação às variáveis reais com variação de 1 a , exatamente da seguinte maneira ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x_ {k}, y_ {q}}$${\ displaystyle k, q}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} V} {dz_ {k} \, du_ {q}}} = 0}$

Isso implica que ele usou implicitamente a definição 2 abaixo: para ver isso, é suficiente comparar as equações 2 e 2 'de ( Poincaré 1899 , p. 112). Aparentemente, este artigo não foi notado pelos primeiros pesquisadores na teoria das funções de várias variáveis ​​complexas : nos artigos de Levi-Civita (1905) , Levi (1910) (e Levi 1911 ) e de Amoroso (1912) todos os diferenciais parciais fundamentais operadores da teoria são expressos diretamente usando derivadas parciais em relação às partes reais e imaginárias das variáveis ​​complexas envolvidas. No longo artigo de pesquisa de Osgood (1966) (publicado pela primeira vez em 1913), as derivadas parciais com respeito a cada variável complexa de uma função holomórfica de várias variáveis ​​complexas parecem ser entendidas como derivadas formais : na verdade, quando Osgood expressa o operador pluri-harmônico e operador Levi , segue a prática estabelecida de Amoroso , Levi e Levi-Civita .

A obra de Dimitrie Pompeiu em 1912 e 1913: uma nova formulação

Segundo Henrici (1993 , p. 294), um novo passo na definição do conceito foi dado por Dimitrie Pompeiu : no artigo ( Pompeiu 1912 ), dada uma função diferenciada valorada complexa (no sentido de análise real ) de um variável complexa definida na vizinhança de um dado ponto ele define a derivada areolar como o seguinte limite ${\ displaystyle g (z)}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C},}$

${\ displaystyle {{\ frac {\ partial g} {\ partial {\ bar {z}}}} (z_ {0})} {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {1} {2 \ pi ir ^ {2}}} \ oint _ {\ Gamma (z_ {0}, r)} g (z) \ mathrm {d} z,}$

onde é o limite de um disco de raio inteiramente contida no domínio de definição de por exemplo o seu delimitadora círculo . Esta é evidentemente uma definição alternativa da derivada de Wirtinger em relação à variável conjugada complexa : é uma definição mais geral, uma vez que, como notado por Henrici (1993 , p. 294), o limite pode existir para funções que nem mesmo são diferenciáveis em Segundo Fichera (1969 , p. 28), o primeiro a identificar a derivada areolar como uma derivada fraca no sentido de Sobolev foi Ilia Vekua . Em seu artigo seguinte, Pompeiu (1913) usa esse conceito recém-definido para introduzir sua generalização da fórmula integral de Cauchy , a agora chamada fórmula de Cauchy-Pompeiu . ${\ displaystyle \ Gamma (z_ {0}, r) = \ parcial D (z_ {0}, r)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle g (z),}$ ${\ displaystyle z = z_ {0}.}$

O trabalho de Wilhelm Wirtinger

A primeira introdução sistemática de derivados de Wirtinger parece dever-se a Wilhelm Wirtinger no artigo Wirtinger 1926 a fim de simplificar os cálculos de grandezas que ocorrem na teoria das funções de várias variáveis ​​complexas : como resultado da introdução desses operadores diferenciais , a forma de todos os operadores diferenciais comumente usados ​​na teoria, como o operador Levi e o operador Cauchy – Riemann , são consideravelmente simplificados e, conseqüentemente, mais fáceis de manusear. O artigo é escrito deliberadamente de um ponto de vista formal, ou seja, sem fornecer uma derivação rigorosa das propriedades deduzidas.

Definição formal

Apesar de seu uso onipresente, parece que não há nenhum texto listando todas as propriedades dos derivados de Wirtinger: no entanto, referências bastante completas são o curso de curta duração sobre análise complexa multidimensional de Andreotti (1976 , pp. 3-5), a monografia de Gunning & Rossi (1965 , pp. 3-6), e a monografia de Kaup & Kaup (1983 , p. 2,4) que são usados ​​como referências gerais nesta e nas seções seguintes.

Funções de uma variável complexa

Definição 1. Considere o plano complexo. As derivadas de Wirtinger são definidas como os seguintes operadores diferenciais parciais lineares de primeira ordem: ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ equiv \ mathbb {R} ^ {2} = \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}.}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} & = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} -i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) \\ {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}}}} & = {\ frac {1} {2} } \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) \ end {alinhado}}}$

Claramente, o domínio natural de definição desses operadores diferenciais parciais é o espaço de funções em um domínio , mas, uma vez que esses operadores são lineares e têm coeficientes constantes , eles podem ser prontamente estendidos a todo espaço de funções generalizadas . ${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2},}$

Funções de n > 1 variáveis ​​complexas

Definição 2. Considere o espaço euclidiano no campo complexo. As derivadas de Wirtinger são definidas como os seguintes operadores diferenciais parciais lineares de primeira ordem: ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {2n} = \ left \ {\ left (\ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ right) = \ left (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n} \ right) \ mid \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \direito\}.}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y_ {1}}} \ right) \\\ qquad \ vdots \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {n}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y_ {n}}} \ right ) \\\ end {cases}}, \ qquad {\ begin {cases} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {1}}} = {\ frac {1} {2 }} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y_ {1}}} \ right) \\\ qquad \ vdots \\ {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {n}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n }}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y_ {n}}} \ right) \\\ end {cases}}.}$

Quanto às derivadas de Wirtinger para funções de uma variável complexa, o domínio natural de definição desses operadores diferenciais parciais é novamente o espaço de funções em um domínio e novamente, uma vez que esses operadores são lineares e têm coeficientes constantes , eles podem ser prontamente estendidos para cada espaço de funções generalizadas . ${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2n},}$

Propriedades básicas

Na presente seção e nas seguintes assume-se que é um vetor complexo e que onde estão vetores reais , com n  ≥ 1: também se assume que o subconjunto pode ser pensado como um domínio no espaço euclidiano real ou em sua contraparte complexa isomórfica Todas as provas são conseqüências fáceis da definição 1 e da definição 2 e das propriedades correspondentes das derivadas (ordinárias ou parciais ). ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle z \ equiv (x, y) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n})}$${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Linearidade

Lema 1. Se e são números complexos , então para as seguintes igualdades são válidas ${\ displaystyle f, g \ in C ^ {1} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {i}}} \ left (\ alpha f + \ beta g \ right) & = \ alpha {\ frac {\ partial f} { \ parcial z_ {i}}} + \ beta {\ frac {\ parcial g} {\ parcial z_ {i}}} \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i }}} \ left (\ alpha f + \ beta g \ right) & = \ alpha {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} + \ beta {\ frac { \ parcial g} {\ parcial {\ bar {z}} _ {i}}} \ end {alinhado}}}$

Regra do produto

Lema 2. Se, então, para a regra do produto se mantém ${\ displaystyle f, g \ in C ^ {1} (\ Omega),}$${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {i}}} (f \ cdot g) & = {\ frac {\ partial f} {\ partial z_ {i}}} \ cdot g + f \ cdot {\ frac {\ partial g} {\ partial z_ {i}}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} ( f \ cdot g) & = {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} \ cdot g + f \ cdot {\ frac {\ partial g} {\ partial { \ bar {z}} _ {i}}} \ end {alinhado}}}$

Esta propriedade implica que as derivadas de Wirtinger são derivadas do ponto de vista da álgebra abstrata , exatamente como as derivadas comuns .

Regra da corrente

Essa propriedade tem duas formas diferentes, respectivamente, para as funções de um e várias variáveis complexas : para n  > 1 caso, para expressar a regra da cadeia em toda a sua generalidade é necessário considerar dois domínios e e dois mapas e tendo naturais lisura requisitos. ${\ displaystyle \ Omega '\ subseteq \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ displaystyle \ Omega '' \ subseteq \ mathbb {C} ^ {p}}$ ${\ displaystyle g: \ Omega '\ to \ Omega}$${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ Omega ''}$

Funções de uma variável complexa

Lema 3.1 Se e então a regra da cadeia se mantém ${\ displaystyle f, g \ in C ^ {1} (\ Omega),}$${\ displaystyle g (\ Omega) \ subseteq \ Omega,}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} (f \ circ g) & = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ circ g \ right) {\ frac {\ partial g} {\ partial z}} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} \ circ g \ right) {\ frac {\ partial {\ bar {g}}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}}}} (f \ circ g) & = \ left ({ \ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ circ g \ right) {\ frac {\ partial g} {\ partial {\ bar {z}}}} + \ left ({\ frac {\ partial f } {\ parcial {\ bar {z}}}} \ circ g \ direita) {\ frac {\ parcial {\ bar {g}}} {\ parcial {\ bar {z}}}} \ end {alinhado} }}$

Funções de n > 1 variáveis ​​complexas

Lema 3.2 Se e então para a seguinte forma da regra da cadeia vale ${\ displaystyle g \ in C ^ {1} (\ Omega ', \ Omega)}$${\ displaystyle f \ in C ^ {1} (\ Omega, \ Omega ''),}$${\ displaystyle i = 1, \ dots, m}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {i}}} \ left (f \ circ g \ right) & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ esquerda ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial z_ {j}}} \ circ g \ direita) {\ frac {\ parcial g_ {j}} {\ parcial z_ {i}}} + \ sum _ { j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {j}}} \ circ g \ right) {\ frac {\ partial {\ bar {g}} _ {j}} {\ partial z_ {i}}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} \ left (f \ circ g \ direita) & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ esquerda ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial z_ {j}}} \ circ g \ direita) {\ frac {\ parcial g_ {j}} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {j}}} \ circ g \ right) {\ frac {\ partial {\ bar {g}} _ {j}} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} \ end {alinhado}}}$

Conjugação

Lema 4. Se, então, para as seguintes igualdades valem ${\ displaystyle f \ in C ^ {1} (\ Omega),}$${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ overline {\ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z_ {i}}} \ right)}} & = {\ frac {\ partial {\ bar { f}}} {\ partial {\ bar {z}} _ {i}}} \\ {\ overline {\ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {i }}} \ right)}} & = {\ frac {\ partial {\ bar {f}}} {\ partial z_ {i}}} \ end {alinhados}}}$

Veja também

• Função CR
• Complexo Dolbeault
• Operador Dolbeault
• Função pluriharmônica

Notas

Referências