Fator de Lorentz - Lorentz factor
O fator de Lorentz ou termo de Lorentz é uma quantidade que expressa o quanto as medidas de tempo, comprimento e outras propriedades físicas mudam para um objeto enquanto esse objeto está se movendo. A expressão aparece em várias equações da relatividade especial e surge nas derivações das transformações de Lorentz . O nome se origina de seu aparecimento anterior na eletrodinâmica Lorentziana - em homenagem ao físico holandês Hendrik Lorentz .
Geralmente é denotado γ (a letra grega minúscula gama ). Às vezes (especialmente na discussão do movimento superluminal ) o fator é escrito como Γ (grego maiúsculo-gama) em vez de γ .
Definição
O fator de Lorentz γ é definido como
- ,
Onde:
- v é a velocidade relativa entre os referenciais inerciais,
- c é a velocidade da luz no vácuo ,
- β é a razão de v para c ,
- t é coordenar o tempo ,
- τ é o tempo adequado para um observador (medindo intervalos de tempo no próprio referencial do observador).
Este é o formulário usado com mais frequência na prática, embora não seja o único (veja abaixo os formulários alternativos).
Para complementar a definição, alguns autores definem a recíproca
veja a fórmula de adição de velocidade .
Ocorrência
A seguir está uma lista de fórmulas da relatividade especial que usam γ como uma abreviação:
- A transformação de Lorentz : o caso mais simples é um aumento na direção x (formas mais gerais, incluindo direções arbitrárias e rotações não listadas aqui), que descreve como as coordenadas do espaço-tempo mudam de um quadro inercial usando as coordenadas ( x , y , z , t ) para outro ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) com velocidade relativa v :
Corolários das transformações acima são os resultados:
-
Dilatação do tempo : O tempo (∆ t ′ ) entre dois tiques, medido no quadro em que o relógio está se movendo, é maior do que o tempo (∆ t ) entre esses tiques medido no quadro restante do relógio:
-
Contração de comprimento : O comprimento (∆ x ′ ) de um objeto, medido no quadro em que está se movendo, é mais curto do que seu comprimento (∆ x ) em seu próprio quadro de repouso:
A aplicação da conservação de momento e energia leva a estes resultados:
-
Massa relativística : A massa m de um objeto em movimento é dependentee a massa de repouso m 0 :
-
Momento relativístico : Arelação do momento relativísticoassume a mesma forma que para o momento clássico, mas usando a massa relativística acima:
-
Energia cinética relativística : Arelação de energia cinética relativísticaassume a forma ligeiramente modificada:
Valores numéricos
Na tabela abaixo, a coluna da esquerda mostra as velocidades como diferentes frações da velocidade da luz (ou seja, em unidades de c ). A coluna do meio mostra o fator de Lorentz correspondente, o final é o recíproco. Os valores em negrito são exatos.
Velocidade (unidades de c), |
Fator de Lorentz, |
Recíproca, |
---|---|---|
0,000 | 1,000 | 1,000 |
0,050 | 1.001 | 0,999 |
0,100 | 1,005 | 0,995 |
0,150 | 1.011 | 0,989 |
0,200 | 1.021 | 0,980 |
0,250 | 1.033 | 0,968 |
0,300 | 1.048 | 0,954 |
0,400 | 1.091 | 0,917 |
0,500 | 1,155 | 0,866 |
0,600 | 1.250 | 0,800 |
0,700 | 1.400 | 0,714 |
0,750 | 1.512 | 0,661 |
0,800 | 1.667 | 0,600 |
0,866 | 2.000 | 0,500 |
0,900 | 2.294 | 0,436 |
0,990 | 7.089 | 0,141 |
0,999 | 22.366 | 0,045 |
0,99995 | 100,00 | 0,010 |
Representações alternativas
Existem outras maneiras de escrever o fator. Acima, a velocidade v foi usada, mas variáveis relacionadas como momentum e rapidez também podem ser convenientes.
Momentum
Resolver a equação do momento relativístico anterior para γ leva a
- .
Essa forma raramente é usada, embora apareça na distribuição Maxwell-Jüttner .
Rapidez
Aplicando a definição de rapidez como o ângulo hiperbólico :
também leva a γ (pelo uso de identidades hiperbólicas ):
Usando a propriedade da transformação de Lorentz , pode-se mostrar que a rapidez é aditiva, uma propriedade útil que a velocidade não possui. Assim, o parâmetro de rapidez forma um grupo de um parâmetro , uma base para modelos físicos.
Expansão em série (velocidade)
O fator Lorentz tem a série Maclaurin :
que é um caso especial de uma série binomial .
A aproximação γ ≈ 1 +1/2 β 2 pode ser usado para calcular efeitos relativísticos em baixas velocidades. Ele se mantém dentro de 1% de erro para v <0,4 c ( v <120.000 km / s), e dentro de 0,1% de erro para v <0,22 c ( v <66.000 km / s).
As versões truncadas dessa série também permitem que os físicos provem que a relatividade especial se reduz à mecânica newtoniana em baixas velocidades. Por exemplo, na relatividade especial, as duas equações a seguir são válidas:
Para γ ≈ 1 e γ ≈ 1 +1/2 β 2 , respectivamente, estes reduzem aos seus equivalentes newtonianos:
A equação do fator de Lorentz também pode ser invertida para render
Isso tem uma forma assintótica
- .
Os primeiros dois termos são usados ocasionalmente para calcular rapidamente as velocidades a partir de grandes valores de γ . A aproximação β ≈ 1 -1/2 γ −2 mantém-se dentro da tolerância de 1% para γ > 2, e dentro da tolerância de 0,1% para γ > 3,5.
Aplicações em astronomia
O modelo padrão de explosões de raios gama de longa duração (GRBs) afirma que essas explosões são ultrarrelativísticas (inicial maior que aproximadamente 100), o que é invocado para explicar o chamado problema de "compactação": ausente esta expansão ultrarrelativística , o material ejetado seria opticamente espesso para emparelhar a produção em energias espectrais de pico típicas de alguns 100 keV, enquanto a emissão imediata é observada como não térmica.
As partículas subatômicas chamadas múons viajam a uma velocidade tal que têm um fator de Lorentz relativamente alto e, portanto, experimentam uma dilatação extrema do tempo . Por exemplo, múons geralmente têm uma vida útil média de cerca de2,2 μs, que significa múons gerados a partir de colisões de raios cósmicos a cerca de 10 km na atmosfera, deveriam ser não detectáveis no solo devido à sua taxa de decaimento. No entanto, foi descoberto que ~ 10% dos múons ainda são detectados na superfície, provando assim que, para serem detectáveis, suas taxas de decaimento diminuíram em relação ao nosso referencial inercial.
Veja também
Referências
links externos
- Merrifield, Michael. "γ - Fator de Lorentz (e dilatação do tempo)" . Sessenta símbolos . Brady Haran para a Universidade de Nottingham .
- Merrifield, Michael. "γ2 - Gamma Reloaded" . Sessenta símbolos . Brady Haran para a Universidade de Nottingham .