Teoria de Morse - Morse theory

Em matemática , especificamente em topologia diferencial , a teoria de Morse permite que se analise a topologia de uma variedade estudando funções diferenciáveis nessa variedade. De acordo com os insights básicos de Marston Morse , uma função diferenciável típica em uma variedade refletirá a topologia de maneira bastante direta. A teoria de Morse permite encontrar estruturas CW e lidar com decomposições em variedades e obter informações substanciais sobre sua homologia .

Antes de Morse, Arthur Cayley e James Clerk Maxwell desenvolveram algumas das idéias da teoria de Morse no contexto da topografia . Morse originalmente aplicou sua teoria à geodésica ( pontos críticos do funcional da energia em caminhos). Essas técnicas foram usadas na prova de Raoul Bott de seu teorema de periodicidade .

O análogo da teoria de Morse para variedades complexas é a teoria de Picard-Lefschetz .

Conceitos Básicos

Considere, para fins de ilustração, uma paisagem montanhosa Se é a função que envia cada ponto à sua elevação, então a imagem inversa de um ponto em é uma linha de contorno (mais geralmente, um conjunto de nível ). Cada componente conectado de uma linha de contorno é um ponto, uma curva fechada simples ou uma curva fechada com um ponto duplo . As linhas de contorno também podem ter pontos de ordem superior (pontos triplos, etc.), mas estes são instáveis ​​e podem ser removidos por uma ligeira deformação da paisagem. Pontos duplos em linhas de contorno ocorrem em pontos de sela , ou passagens. Os pontos de sela são pontos onde a paisagem circundante se curva para cima em uma direção e para baixo na outra. ${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Imagine inundar esta paisagem com água. Então, a região coberta pela água quando a água atinge uma elevação de é , ou os pontos com elevação menor ou igual a Considere como a topologia desta região muda conforme a água sobe. Parece, intuitivamente, que não muda exceto quando passa a altura de um ponto crítico ; ou seja, um ponto onde o gradiente de é (ou seja, a matriz Jacobiana atuando como um mapa linear do espaço tangente naquele ponto para o espaço tangente em sua imagem sob o mapa não tem classificação máxima). Em outras palavras, ele não muda exceto quando a água (1) começa a encher uma bacia, (2) cobre uma sela (uma passagem na montanha ) ou (3) submerge um pico. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$${\ displaystyle a.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f}$

A cada um desses três tipos de pontos críticos - bacias, passagens e picos (também chamados de mínimos, selas e máximos) - associa-se um número chamado índice. Falando intuitivamente, o índice de um ponto crítico é o número de direções independentes em torno das quais diminui. Mais precisamente, o índice de um ponto crítico não degenerado de representa a dimensão do subespaço maior do espaço tangente para a em que a Hesse de é definida negativa. Portanto, os índices de bacias, passes e picos são e, respectivamente. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0,1,}$${\ displaystyle 2,}$

Defina como . Saindo do contexto da topografia, pode-se fazer uma análise semelhante de como a topologia das mudanças à medida que aumenta quando está um toro orientado como na imagem e é uma projeção no eixo vertical, levando um ponto à sua altura acima do plano. ${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f}$

Partindo da parte inferior do toro, sejam e sejam os quatro pontos críticos do índice e, respectivamente. Quando for menor que então é o conjunto vazio. Depois de passar o nível de quando, então é um disco , que é homotopia equivalente a um ponto (uma célula 0), que foi "anexado" ao conjunto vazio. Em seguida, quando excede o nível de e então é um cilindro, e é homotopia equivalente a um disco com uma célula anexada (imagem à esquerda). Uma vez que passa o nível de e então é um toro com um disco removido, que é homotopia equivalente a um cilindro com uma célula anexada (imagem à direita). Finalmente, quando é maior que o nível crítico de é um toro. Um toro, é claro, é o mesmo que um toro com um disco removido com um disco (um de 2 células) anexado. ${\ displaystyle p, q, r,}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle 0,1,1,}$${\ displaystyle 2,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f (p) = 0,}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p,}$${\ displaystyle 0 <a <f (q),}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q,}$${\ displaystyle f (q) <a <f (r),}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle r,}$${\ displaystyle f (r) <a <f (s),}$${\ displaystyle M ^ {1}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle s,}$ ${\ displaystyle M ^ {a}}$

Portanto, parece ter a seguinte regra: a topologia de não muda, exceto quando passa a altura de um ponto crítico, e quando passa a altura de um ponto crítico de índice , uma célula é anexada a Isso não aborda a questão de o que acontece quando dois pontos críticos estão na mesma altura. Essa situação pode ser resolvida por uma ligeira perturbação de. No caso de uma paisagem (ou uma variedade embutida no espaço euclidiano ), essa perturbação pode ser simplesmente inclinar levemente a paisagem ou girar o sistema de coordenadas. ${\ displaystyle M ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M ^ {\ alpha}.}$${\ displaystyle f.}$

Deve-se ter cuidado e verificar a não degenerescência dos pontos críticos. Para ver o que pode representar um problema, vamos e deixe Então é um ponto crítico de mas a topologia não muda quando passa O problema é que a segunda derivada da é também a que é, o Hessian da desaparece e este ponto crítico é degenerada . Observe que esta situação é instável: ao deformar levemente, o ponto crítico degenerado é removido ou se divide em dois pontos críticos não degenerados. ${\ displaystyle M = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {3}.}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle M ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f,}$

Desenvolvimento formal

Para uma função suave com valor real em uma variedade diferenciável, os pontos onde o diferencial de desaparece são chamados de pontos críticos de e suas imagens sob são chamados de valores críticos . Se em um ponto crítico a matriz das derivadas parciais secundárias (a matriz de Hessian ) for não singular, então é chamada de${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b,}$${\ displaystyle b}$ ponto crítico não degenerado ; se o Hessian é singular, entãoé um${\ displaystyle b}$ponto crítico degenerado .

Para as funções

de a tem um ponto crítico na origem se que é não degenerado se (isto é, é da forma ) e degenerado se (isto é, é da forma ). Um exemplo menos trivial de um ponto crítico degenerado é a origem da sela do macaco . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b = 0,}$${\ displaystyle c \ neq 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a + cx ^ {2} + \ cdots}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a + dx ^ {3} + \ cdots}$

O índice de um ponto crítico não degenerado de representa a dimensão do subespaço maior do

espaço tangente para a em que a é de Hesse negativa definida . Isso corresponde à noção intuitiva de que o índice é o número de direções em que diminui. A degenerescência e o índice de um ponto crítico independem da escolha do sistema de coordenadas local utilizado, conforme mostra a Lei de Sylvester . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$

Lema de Morse

Deixe ser um ponto crítico não degenerado de Então existe um

gráfico em uma vizinhança de tal que para todos e ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f: M \ para R.}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x_ {i} (b) = 0}$${\ displaystyle i}$

$${\ displaystyle f (x) = f (b) -x_ {1} ^ {2} - \ cdots -x _ {\ alpha} ^ {2} + x _ {\ alpha +1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}$$

ao longo de Aqui é igual ao índice de em Como corolário do lema de Morse, vê-se que os pontos críticos não degenerados estão isolados . (Com relação a uma extensão para o domínio complexo, consulte Complex Morse Lemma . Para uma generalização, consulte o lema de Morse-Palais ). ${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b.}$

Teoremas fundamentais

Uma função de valor real suave em uma variedade é uma

função de Morse se não tiver pontos críticos degenerados. Um resultado básico da teoria de Morse diz que quase todas as funções são funções de Morse. Tecnicamente, as funções de Morse formam um subconjunto aberto e denso de todas as funções suaves na topologia. Isso às vezes é expresso como "uma função típica é Morse" ou "uma função genérica é Morse". ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C ^ {2}}$

Como indicado antes, estamos interessados ​​na questão de quando a topologia das mudanças varia. Metade da resposta a esta pergunta é dada pelo seguinte teorema. ${\ displaystyle M ^ {a} = f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$${\ displaystyle a}$

Teorema. Suponha que uma função de valor real suave seja

compacta e não haja valores críticos entre e Então é difeomórfico para e a deformação retrai para${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle a <b,}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} [a, b]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b.}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle M ^ {b},}$${\ displaystyle M ^ {b}}$ ${\ displaystyle M ^ {a}.}$

Também é interessante saber como a topologia das mudanças muda quando passa um ponto crítico. O teorema a seguir responde a essa pergunta. ${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$

Teorema. Suponha que seja uma função de valor real suave on e um ponto crítico não degenerado de do índice e que Suponha seja compacta e não contenha pontos críticos além de Then é

homotopia equivalente a com uma célula anexada.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ gamma,}$${\ displaystyle f (p) = q.}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [q- \ varepsilon, q + \ varepsilon]}$${\ displaystyle p.}$${\ displaystyle M ^ {q + \ varepsilon}}$${\ displaystyle M ^ {q- \ varepsilon}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Esses resultados generalizam e formalizam a 'regra' declarada na seção anterior.

Usando os dois resultados anteriores e o fato de que existe uma função de Morse em qualquer variedade diferenciável, pode-se provar que qualquer variedade diferenciável é um complexo CW com uma célula para cada ponto crítico do índice. Para fazer isso, é necessário o fato técnico de que pode-se providenciar para que haja um único ponto crítico em cada nível crítico, o que geralmente é comprovado pelo uso

de campos vetoriais do tipo gradiente para reorganizar os pontos críticos. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n.}$

Desigualdades de Morse

A teoria de Morse pode ser usada para provar alguns resultados fortes na homologia de variedades. O número de pontos críticos de índice de é igual ao número de células na estrutura CW em obtido de "escalada" usando o fato de que a soma alternada das fileiras dos grupos de homologia de um espaço topológico é igual à soma alternada de as classificações dos grupos de cadeia a partir dos quais a homologia é calculada, então, usando os grupos de cadeia celular (ver

homologia celular ), é claro que a característica de Euler é igual à soma ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f.}$ ${\ displaystyle \ chi (M)}$

$${\ displaystyle \ sum (-1) ^ {\ gamma} C ^ {\ gamma} \, = \ chi (M)}$$

onde é o número de pontos críticos do índice. Também por homologia celular, a classificação do ^º grupo de homologia de um complexo CW é menor ou igual ao número de células em Portanto, a classificação do ^º grupo de homologia, isto é, o número de Betti , é menor ou igual ao número de pontos críticos do índice de uma função de Morse em Esses fatos podem ser reforçados para obter o${\ displaystyle C ^ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma.}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle b _ {\ gamma} (M)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M.}$Desigualdades de Morse :

$${\ displaystyle C ^ {\ gamma} -C ^ {\ gamma -1} \ pm \ cdots + (- 1) ^ {\ gamma} C ^ {0} \ geq b _ {\ gamma} (M) -b_ { \ gamma -1} (M) \ pm \ cdots + (- 1) ^ {\ gamma} b_ {0} (M).}$$

Em particular, para qualquer

$${\ displaystyle \ gamma \ in \ {0, \ ldots, n = \ dim M \},}$$

um tem

$${\ displaystyle C ^ {\ gamma} \ geq b _ {\ gamma} (M).}$$

Isso fornece uma ferramenta poderosa para estudar a topologia múltipla. Suponha que em uma variedade fechada exista uma função de Morse com precisamente

k pontos críticos. De que forma a existência da função restringe ? O caso foi estudado por Georges Reeb em 1952; o teorema da esfera de Reeb afirma que é homeomórfico a uma esfera O caso é possível apenas em um pequeno número de dimensões baixas, e M é homeomórfico a uma variedade de Eells-Kuiper . Em 1982, Edward Witten desenvolveu uma abordagem analítica para as desigualdades de Morse, considerando o complexo de Rham para o operador perturbado ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle S ^ {n}.}$${\ displaystyle k = 3}$${\ displaystyle d_ {t} = e ^ {- tf} de ^ {tf}.}$

Aplicação à classificação de 2-manifolds fechados

A teoria de Morse foi usada para classificar duas variedades fechadas até o difeomorfismo. Se é orientado, então é classificado por seu gênero e é difeomórfico para uma esfera com alças: assim se é difeomórfico para a 2-esfera; e se é difeomórfico à

soma conectada de 2-tori. Se não for orientável, é classificado por um número e é difeomórfico à soma conectada de espaços projetivos reais. Em particular, duas variedades 2 fechadas são homeomórficas se e somente se forem difeomórficas. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g = 0,}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g> 0,}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle g> 0}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2}.}$

Homologia de morse

A homologia de Morse é uma maneira particularmente fácil de entender a homologia de variedades suaves . É definido usando uma escolha genérica da função de Morse e da métrica Riemanniana . O teorema básico é que a homologia resultante é uma invariante da variedade (isto é, independente da função e da métrica) e isomórfica à homologia singular da variedade; isso implica que os números de Morse e de

Betti singulares concordam e fornece uma prova imediata das desigualdades de Morse. Um análogo de dimensão infinita da homologia de Morse em geometria simplética é conhecido como homologia de Floer .

Teoria de Morse-Bott

A noção de uma função de Morse pode ser generalizada para considerar funções que possuem variedades não degeneradas de pontos críticos. UMAA função Morse-Bott é uma função suave em uma variedade cujoconjunto críticoé uma subvariedade fechada e cujo Hessian é não degenerado na direção normal. (Equivalentemente, o núcleo do Hessiano em um ponto crítico é igual ao espaço tangente à subvariedade crítica.) Uma função de Morse é o caso especial em que as variedades críticas são de dimensão zero (então o Hessiano em pontos críticos é não degenerado em cada direção, ou seja, não tem kernel).

O índice é pensado mais naturalmente como um par

$${\ displaystyle \ left (i _ {-}, i _ {+} \ right),}$$

onde é a dimensão da variedade instável em um determinado ponto da variedade crítica, e é igual a mais a dimensão da variedade crítica. Se a função de Morse-Bott é perturbada por uma pequena função no locus crítico, o índice de todos os pontos críticos da função perturbada em uma variedade crítica da função não perturbada ficará entre e${\ displaystyle i _ {-}}$${\ displaystyle i _ {+}}$${\ displaystyle i _ {-}}$${\ displaystyle i _ {-}}$${\ displaystyle i _ {+}.}$

As funções de Morse-Bott são úteis porque as funções de Morse genéricas são difíceis de trabalhar; as funções que podemos visualizar e com as quais podemos calcular facilmente, geralmente têm simetrias. Eles geralmente levam a variedades críticas de dimensão positiva. Raoul Bott usou a teoria de Morse-Bott em sua prova original do teorema da periodicidade de Bott .

Funções redondas são exemplos de

funções Morse-Bott, onde os conjuntos críticos são (uniões disjuntas de) círculos.

A homologia de Morse também pode ser formulada para funções de Morse-Bott; o diferencial na homologia de Morse-Bott é calculado por uma sequência espectral . Frederic Bourgeois esboçou uma abordagem no curso de seu trabalho em uma versão Morse-Bott da teoria simplética do campo, mas este trabalho nunca foi publicado devido a dificuldades analíticas substanciais.

Veja também

• Teoria mín-máx de Almgren-Pitts
• Teoria de Morse Digital
• Teoria de Morse discreta
• Conjunto Jacobi
• Lagrangian Grassmannian
• Categoria Lusternik – Schnirelmann
• Sistema Morse-Smale
• Teorema da passagem da montanha
• Lema de Sard
• Teoria de Morse estratificada

Referências

Leitura adicional

• Bott, Raoul (1988). "Teoria Morse Indomável" . Publicações Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99–114. doi : 10.1007 / bf02698544 .
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• Cayley, Arthur (1859). "On Contour and Slope Lines" (PDF) . The Philosophical Magazine . 18 (120): 264–268.
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