Teoria da onda piloto - Pilot wave theory

Experimentos de Couder, "materializando" o modelo de onda piloto .

Na física teórica , a teoria da onda piloto , também conhecida como mecânica de Bohm , foi o primeiro exemplo conhecido de uma teoria de variável oculta , apresentada por Louis de Broglie em 1927. Sua versão mais moderna, a teoria de de Broglie-Bohm , interpreta a mecânica quântica como uma teoria determinística , evitando noções problemáticas como dualidade onda-partícula , colapso instantâneo da função de onda e o paradoxo do gato de Schrödinger . Para resolver esses problemas, a teoria é inerentemente não local .

A teoria da onda piloto de de Broglie-Bohm é uma das várias interpretações da mecânica quântica (não relativística). Uma extensão do caso relativístico foi desenvolvida desde a década de 1990.

História

Os primeiros resultados de Louis de Broglie sobre a teoria da onda piloto foram apresentados em sua tese (1924) no contexto de orbitais atômicos onde as ondas são estacionárias. As primeiras tentativas de desenvolver uma formulação geral para a dinâmica dessas ondas-guia em termos de uma equação de onda relativística foram malsucedidas até que em 1926 Schrödinger desenvolveu sua equação de onda não relativística . Ele ainda sugeriu que, uma vez que a equação descrevia ondas no espaço de configuração, o modelo de partícula deveria ser abandonado. Pouco depois, Max Born sugeriu que a função de onda da equação de onda de Schrödinger representa a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula. Seguindo esses resultados, de Broglie desenvolveu as equações dinâmicas para sua teoria da onda piloto. Inicialmente, de Broglie propôs uma abordagem de solução dupla , na qual o objeto quântico consiste em uma onda física ( u -wave) no espaço real que possui uma região esférica singular que dá origem a um comportamento semelhante a uma partícula; nesta forma inicial de sua teoria, ele não teve que postular a existência de uma partícula quântica. Mais tarde, ele a formulou como uma teoria em que uma partícula é acompanhada por uma onda piloto.

De Broglie apresentou a teoria da onda piloto na Conferência Solvay de 1927 . No entanto, Wolfgang Pauli levantou uma objeção a ele na conferência, dizendo que não lidava adequadamente com o caso de espalhamento inelástico . De Broglie não foi capaz de encontrar uma resposta para essa objeção e abandonou a abordagem de onda-piloto. Ao contrário de David Bohm anos depois, de Broglie não completou sua teoria para abranger o caso de muitas partículas. O caso de muitas partículas mostra matematicamente que a dissipação de energia no espalhamento inelástico poderia ser distribuída para a estrutura do campo circundante por um mecanismo ainda desconhecido da teoria das variáveis ​​ocultas.

Em 1932, John von Neumann publicou um livro, parte do qual afirmava provar que todas as teorias de variáveis ​​ocultas eram impossíveis. Esse resultado foi considerado defeituoso por Grete Hermann três anos depois, embora isso tenha passado despercebido pela comunidade da física por mais de cinquenta anos.

Em 1952, David Bohm , insatisfeito com a ortodoxia prevalecente, redescobriu a teoria da onda piloto de de Broglie. Bohm desenvolveu a teoria da onda piloto no que agora é chamado de teoria de de Broglie-Bohm . A própria teoria de de Broglie-Bohm poderia ter passado despercebida pela maioria dos físicos, se não tivesse sido defendida por John Bell , que também contestou as objeções a ela. Em 1987, John Bell redescobriu o trabalho de Grete Hermann e, assim, mostrou à comunidade da física que as objeções de Pauli e von Neumann "apenas" mostravam que a teoria da onda piloto não tinha localidade .

Yves Couder e colegas de trabalho em 2010 relataram um sistema de onda piloto macroscópica na forma de gotas ambulantes . Dizia-se que esse sistema exibia o comportamento de uma onda piloto, até então considerada reservada a fenômenos microscópicos. No entanto, experimentos de dinâmica de fluidos mais cuidadosos foram realizados desde 2015 por dois grupos americanos e uma equipe dinamarquesa liderada por Tomas Bohr (neto de Niels Bohr ). Esses novos experimentos não replicaram os resultados do experimento de 2010 a partir de 2018.

A teoria da onda piloto

Princípios

(a) Um caminhante em um curral circular. Trajetórias de comprimento crescente são codificadas por cores de acordo com a velocidade local da gota (b) A distribuição de probabilidade da posição do caminhante corresponde aproximadamente à amplitude do modo de onda de Faraday do curral.

A teoria da onda piloto é uma teoria de variável oculta . Consequentemente:

• a teoria tem realismo (o que significa que seus conceitos existem independentemente do observador);
• a teoria tem determinismo .

As posições das partículas são consideradas variáveis ​​ocultas. O observador não só não conhece o valor preciso dessas variáveis ​​do sistema quântico considerado, como também não pode conhecê-las precisamente porque qualquer medida as perturba. Por outro lado, um (o observador) é definido não pela função de onda de seus átomos, mas pelas posições dos átomos. Portanto, o que a pessoa vê ao seu redor também são as posições das coisas próximas, não suas funções de onda.

Uma coleção de partículas tem uma onda de matéria associada, que evolui de acordo com a equação de Schrödinger . Cada partícula segue uma trajetória determinística, que é guiada pela função de onda; coletivamente, a densidade das partículas está de acordo com a magnitude da função de onda. A função de onda não é influenciada pela partícula e pode existir também como uma função de onda vazia .

A teoria traz à luz a não localidade que está implícita na formulação não relativística da mecânica quântica e a usa para satisfazer o teorema de Bell . Pode-se demonstrar que esses efeitos não locais são compatíveis com o teorema da não comunicação , que impede o uso deles para uma comunicação mais rápida do que a luz e, portanto, é empiricamente compatível com a relatividade.

Fundamentos matemáticos

Para derivar a onda-piloto de de Broglie-Bohm para um elétron, o Lagrangiano quântico

${\ displaystyle L (t) = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} - (V + Q),}$

onde está a energia potencial, é a velocidade e é o potencial associado à força quântica (a partícula sendo empurrada pela função de onda), é integrada precisamente ao longo de um caminho (aquele que o elétron realmente segue). Isso leva à seguinte fórmula para o propagador Bohm : ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle K ^ {Q} (X_ {1}, t_ {1}; X_ {0}, t_ {0}) = {\ frac {1} {J (t) ^ {\ frac {1} {2 }}}} \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} L (t) \, dt \ right].}$

Este propagador permite rastrear o elétron com precisão ao longo do tempo sob a influência do potencial quântico . ${\ displaystyle Q}$

Derivação da equação de Schrödinger

A teoria da onda piloto é baseada na dinâmica de Hamilton-Jacobi , ao invés da dinâmica Lagrangiana ou Hamiltoniana . Usando a equação de Hamilton-Jacobi

${\ displaystyle H \ left (\, {\ vec {x}} \ ,, \; {\ vec {\ nabla}} _ {\! x} \, S \ ,, \; t \, \ right) + {\ parcial S \ over \ partial t} \ left (\, {\ vec {x}}, \, t \, \ right) = 0}$

é possível derivar a equação de Schrödinger :

Considere uma partícula clássica - cuja posição não é conhecida com certeza. Devemos lidar com isso estatisticamente, para que apenas a densidade de probabilidade seja conhecida. A probabilidade deve ser conservada, ou seja, para cada um . Portanto, deve satisfazer a equação de continuidade ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t)}$${\ displaystyle \ int \ rho \, \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {x}} = 1}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {\, \ partial \ rho \,} {\ partial t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ cdot (\ rho \, {\ vec {v}}) \ qquad \ qquad (1)}$

onde está a velocidade da partícula. ${\ displaystyle \, {\ vec {v}} ({\ vec {x}}, t) \,}$

Na formulação de Hamilton-Jacobi da mecânica clássica , a velocidade é dada por onde é uma solução da equação de Hamilton-Jacobi ${\ displaystyle \; {\ vec {v}} ({\ vec {x}}, t) = {\ frac {1} {\, m \,}} \, {\ vec {\ nabla}} _ { \! x} S ({\ vec {x}}, \, t) \;}$${\ displaystyle \, S ({\ vec {x}}, t) \,}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = {\ frac {\; \ left | \, \ nabla S \, \ right | ^ {2} \,} {2m}} + {\ tilde {V}} \ qquad \ qquad (2)}$

${\ displaystyle \, (1) \,}$e podem ser combinados em uma única equação complexa, introduzindo a função complexa, então as duas equações são equivalentes a ${\ displaystyle \, (2) \,}$${\ displaystyle \; \ psi = {\ sqrt {\ rho \,}} \, e ^ {\ frac {\, i \, S \,} {\ hbar}} \ ;,}$

${\ displaystyle i \, \ hbar \, {\ frac {\, \ partial \ psi \,} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + {\ tilde {V}} - Q \ direita) \ psi \ quad}$

com

${\ displaystyle \; Q = - {\ frac {\; \ hbar ^ {2} \,} {\, 2m \,}} {\ frac {\ nabla ^ {2} {\ sqrt {\ rho \,} }} {\ sqrt {\ rho \,}}} ~.}$

A equação de Schrödinger dependente do tempo é obtida se começarmos com o potencial usual com um potencial quântico extra . O potencial quântico é o potencial da força quântica, que é proporcional (em aproximação) à curvatura da amplitude da função de onda. ${\ displaystyle \; {\ tilde {V}} = V + Q \ ;,}$ ${\ displaystyle Q}$

Formulação matemática para uma única partícula

A onda de matéria de de Broglie é descrita pela equação de Schrödinger dependente do tempo:

${\ displaystyle i \, \ hbar \, {\ frac {\, \ partial \ psi \,} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {\, 2m \ ,}} \ nabla ^ {2} + V \ direita) \ psi \ quad}$

A função de onda complexa pode ser representada como:

${\ displaystyle \ psi = {\ sqrt {\ rho \,}} \; \ exp \ left ({\ frac {i \, S} {\ hbar}} \ right) ~}$

Ao inserir isso na equação de Schrödinger, pode-se derivar duas novas equações para as variáveis ​​reais. A primeira é a equação de continuidade para a densidade de probabilidade ${\ displaystyle \, \ rho \ ,:}$

${\ displaystyle {\ frac {\, \ partial \ rho \,} {\, \ partial t \,}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left (\ rho \, {\ vec {v} } \ right) = 0 ~,}$

onde o campo de velocidade é determinado pela "equação de orientação"

${\ displaystyle {\ vec {v}} \ left (\, {\ vec {r}}, \, t \, \ right) = {\ frac {1} {\, m \,}} \, {\ vec {\ nabla}} S \ left (\, {\ vec {r}}, \, t \, \ right) ~.}$

De acordo com a teoria da onda piloto, a partícula pontual e a onda de matéria são entidades físicas reais e distintas (ao contrário da mecânica quântica padrão, onde partículas e ondas são consideradas as mesmas entidades, conectadas pela dualidade onda-partícula). A onda piloto orienta o movimento das partículas pontuais conforme descrito pela equação de orientação.

A mecânica quântica comum e a teoria da onda piloto são baseadas na mesma equação diferencial parcial. A principal diferença é que na mecânica quântica comum, a equação de Schrödinger está conectada à realidade pelo postulado de Born, que afirma que a densidade de probabilidade da posição da partícula é dada pela teoria da onda piloto considera a equação de orientação como a lei fundamental, e vê a regra de Born como um conceito derivado. ${\ displaystyle \; \ rho = | \ psi | ^ {2} ~.}$

A segunda equação é uma equação de Hamilton-Jacobi modificada para a ação S :

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = {\ frac {\; \ left | \, {\ vec {\ nabla}} S \, \ right | ^ {2} \, } {\, 2m \,}} + V + Q ~,}$

onde Q é o potencial quântico definido por

${\ displaystyle Q = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {\, 2m \,}} {\ frac {\ nabla ^ {2} {\ sqrt {\ rho \,}}} {\ sqrt { \ rho \,}}} ~.}$

Se escolhermos negligenciar Q , nossa equação é reduzida à equação de Hamilton-Jacobi de uma partícula pontual clássica. Portanto, o potencial quântico é responsável por todos os misteriosos efeitos da mecânica quântica.

Também se pode combinar a equação de Hamilton-Jacobi modificada com a equação de orientação para derivar uma equação de movimento quase newtoniana

${\ displaystyle m \, {\ frac {d} {dt}} \, {\ vec {v}} = - {\ vec {\ nabla}} (V + Q) ~,}$

onde o derivado de tempo hidrodinâmico é definido como

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {\ partial} {\, \ partial t \,}} + {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} ~ .}$

Formulação matemática para partículas múltiplas

A equação de Schrödinger para a função de onda de muitos corpos é dada por ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}, \ cdots, t)}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ nabla _ {i} ^ {2}} {m_ {i}}} + V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ cdots \ mathbf {r} _ {N}) \ right) \ psi}$

A função de onda complexa pode ser representada como:

${\ displaystyle \ psi = {\ sqrt {\ rho \,}} \; \ exp \ left ({\ frac {i \, S} {\ hbar}} \ right)}$

A onda piloto guia o movimento das partículas. A equação de orientação para a j-ésima partícula é:

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {j} = {\ frac {\ nabla _ {j} S} {m_ {j}}} \ ;.}$

A velocidade da j-ésima partícula depende explicitamente das posições das outras partículas. Isso significa que a teoria não é local.

Função de onda vazia

Lucien Hardy e John Stewart Bell enfatizaram que na imagem de Broglie-Bohm da mecânica quântica pode haver ondas vazias , representadas por funções de onda que se propagam no espaço e no tempo, mas não transportam energia ou momento, e não estão associadas a uma partícula. O mesmo conceito foi chamado de ondas fantasmas (ou "Gespensterfelder", campos fantasmas ) por Albert Einstein . A noção de função de onda vazia foi discutida de forma controversa. Em contraste, a interpretação de muitos mundos da mecânica quântica não exige funções de onda vazia.

Veja também

• Análogos quânticos hidrodinâmicos
• Modelo atômico em queda livre - pesquisa moderna para trajetória de elétrons
• Potencial quântico

Notas

Referências

links externos

• "Pilot-wave hydrodynamics" Bush, JWM, 2014, Annu. Rev. Fluid Mech., 49, 269–292.
• "Mecânica quântica em grande escala" , Bush, JWM, 2010.
• "Ondas piloto, metafísica Bohmiana e os fundamentos da mecânica quântica" , curso de aula sobre teoria das ondas piloto por Mike Towler , Cambridge University (2009).
• "Análogos quânticos hidrodinâmicos" Pesquisa sobre análogos quânticos hidrodinâmicos e teoria da onda piloto hidrodinâmica, por John Bush (MIT) e colegas de trabalho.
• Página enciclopédica HTML mais completa sobre o assunto .
• Demonstrações da mecânica bohmiana de Klaus von Bloh em: Wolfram Demonstrations Project