Grupo poliédrico - Polyhedral group
Simetria involucional C s , (*) [] = |
Simetria cíclica C nv , (* nn) [n] = |
Simetria diedral D nh , (* n22) [n, 2] = |
|
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
Simetria tetraédrica T d , (* 332) [3,3] = |
Simetria octaédrica O h , (* 432) [4,3] = |
Simetria icosaédrica I h , (* 532) [5,3] = |
Em geometria , o grupo poliédrico é qualquer um dos grupos de simetria dos sólidos platônicos .
Grupos
Existem três grupos poliédricos:
- O grupo tetraédrico de ordem 12, grupo de simetria rotacional do tetraedro regular . É isomórfico a A 4 .
- As classes de conjugação de T são:
- identidade
- 4 × rotação de 120 °, ordem 3, cw
- 4 × rotação de 120 °, ordem 3, ccw
- 3 × rotação de 180 °, ordem 2
- As classes de conjugação de T são:
- O grupo octaédrico de ordem 24, grupo de simetria rotacional do cubo e o octaedro regular . É isomórfico a S 4 .
- As classes de conjugação de O são:
- identidade
- 6 × rotação de ± 90 ° em torno dos vértices, ordem 4
- 8 × rotação de ± 120 ° em torno dos centros do triângulo, ordem 3
- 3 × rotação de 180 ° em torno dos vértices, ordem 2
- 6 × rotação de 180 ° em torno dos pontos médios das arestas, ordem 2
- As classes de conjugação de O são:
- O grupo icosaédrico de ordem 60, grupo de simetria rotacional do dodecaedro regular e do icosaedro regular . É isomórfico a A 5 .
- As classes de conjugação de I são:
- identidade
- 12 × rotação de ± 72 °, ordem 5
- 12 × rotação de ± 144 °, ordem 5
- 20 × rotação em ± 120 °, ordem 3
- 15 × rotação em 180 °, ordem 2
- As classes de conjugação de I são:
Essas simetrias dobram para 24, 48, 120, respectivamente, para os grupos refletivos completos. As simetrias de reflexão têm 6, 9 e 15 espelhos, respectivamente. A simetria octaédrica, [4,3] pode ser vista como a união de 6 espelhos de simetria tetraédrica [3,3] e 3 espelhos de simetria diédrica Dih 2 , [2,2]. A simetria piritoédrica é outra duplicação da simetria tetraédrica.
As classes de conjugação de simetria tetraédrica completa, T d ≅ S 4 , são:
- identidade
- 8 × rotação de 120 °
- 3 × rotação em 180 °
- 6 × reflexão em um plano através de dois eixos de rotação
- 6 × rotorreflecção em 90 °
As classes de conjugação de simetria piritoédrica, T h , incluem as de T , com as duas classes de 4 combinadas, e cada uma com inversão:
- identidade
- 8 × rotação de 120 °
- 3 × rotação em 180 °
- inversão
- 8 × rotorreflecção em 60 °
- 3 × reflexão em um plano
As classes de conjugação do grupo octaédrico completo, O h ≅ S 4 × C 2 , são:
- inversão
- 6 × rotorreflecção em 90 °
- 8 × rotorreflecção em 60 °
- 3 × reflexão em um plano perpendicular a um eixo de 4 vezes
- 6 × reflexão em um plano perpendicular a um eixo de 2 dobras
As classes de conjugação de simetria icosaédrica completa, I h ≅ A 5 × C 2 , incluem também cada uma com inversão:
- inversão
- 12 × rotorreflecção em 108 °, ordem 10
- 12 × rotorreflecção em 36 °, ordem 10
- 20 × rotorreflecção em 60 °, ordem 6
- 15 × reflexão, ordem 2
Grupos poliédricos quirais
Nome ( orbe ) |
Notação de Coxeter |
Pedido | Estrutura abstrata |
Pontos de rotação # valência |
Diagramas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Estereográfico | |||||||
T (332) |
[3,3] + |
12 | A 4 | 4 3 3 2 |
||||
T h (3 * 2) |
[4,3 + ] |
24 | A 4 × 2 | 4 3 3 * 2 |
||||
O (432) |
[4,3] + |
24 | S 4 | 3 4 4 3 6 2 |
||||
I (532) |
[5,3] + |
60 | A 5 | 6 5 10 3 15 2 |
Grupos poliédricos completos
Weyl Schoe. ( Orbe ) |
Notação de Coxeter |
Pedido | Estrutura abstrata |
Número de Coxeter (h) |
Espelhos (m) |
Diagramas de espelho | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Estereográfico | ||||||||
A 3 T d (* 332) |
[3,3] |
24 | S 4 | 4 | 6 | ||||
B 3 O h (* 432) |
[4,3] |
48 | S 4 × 2 | 8 | 3 6 |
||||
H 3 I h (* 532) |
[5,3] |
120 | A 5 × 2 | 10 | 15 |
Veja também
Referências
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3rd ed. Nova York: Dover, 1973. ( The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46-47)