Instabilidade de Rayleigh-Taylor - Rayleigh–Taylor instability

A perturbação introduzida no sistema é descrita por um campo de velocidade de amplitude infinitesimalmente pequena. Como o fluido é considerado incompressível, este campo de velocidade tem a representação da função de fluxo${\ displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}$

${\ displaystyle {\ textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}) , \,}$

onde os subscritos indicam derivadas parciais . Além disso, em um fluido incompressível inicialmente estacionário, não há vorticidade, e o fluido permanece irrotacional , portanto . Na representação da função de fluxo, Next, por causa da invariância translacional do sistema na direção x , é possível fazer o ansatz${\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$

${\ displaystyle \ psi \ left (x, z, t \ right) = e ^ {i \ alpha \ left (x-ct \ right)} \ Psi \ left (z \ right), \,}$

onde está um número de onda espacial. Assim, o problema se reduz a resolver a equação ${\ displaystyle \ alpha \,}$

${\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}$

O domínio do problema é o seguinte: o fluido com o rótulo 'L' vive na região , enquanto o fluido com o rótulo 'G' vive no semiplano superior . Para especificar a solução totalmente, é necessário fixar as condições nos limites e na interface. Isso determina a velocidade da onda c , que por sua vez determina as propriedades de estabilidade do sistema. ${\ displaystyle - \ infty <z \ leq 0 \,}$${\ displaystyle 0 \ leq z <\ infty \,}$

A primeira dessas condições é fornecida por detalhes no limite. As velocidades de perturbação devem satisfazer uma condição de ausência de fluxo, de modo que o fluido não vaze nos limites. Assim, em , e em . Em termos de função de fluxo, isso é ${\ displaystyle w '_ {i} \,}$${\ displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$${\ displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$${\ displaystyle z = - \ infty \,}$${\ displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$${\ displaystyle z = \ infty \,}$

${\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}$

As outras três condições são fornecidas por detalhes na interface . ${\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

Continuidade da velocidade vertical: At , as velocidades verticais correspondem ,. Usando a representação da função stream, isso dá ${\ displaystyle z = \ eta}$${\ displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$

${\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (\ eta \ right) = \ Psi _ {G} \ left (\ eta \ right). \,}$

Expandindo sobre ofertas ${\ displaystyle z = 0 \,}$

${\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (0 \ right) = \ Psi _ {G} \ left (0 \ right) + {\ text {HOT}}, \,}$

onde HOT significa 'termos de ordem superior'. Esta equação é a condição interfacial necessária.

A condição de superfície livre: Na superfície livre , a condição cinemática se mantém: ${\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + u '{\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = w' \ left (\ eta \ right). \, }$

Linearizando, isso é simplesmente

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = w '\ left (0 \ right), \,}$

onde a velocidade é linearizada na superfície . Usando as representações de modo normal e função de fluxo, esta condição é a segunda condição interfacial. ${\ displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$${\ displaystyle z = 0 \,}$${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

Relação de pressão através da interface: Para o caso com tensão superficial , a diferença de pressão sobre a interface em é dada pela equação de Young-Laplace : ${\ displaystyle z = \ eta}$

${\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,}$

onde σ é a tensão superficial e κ é a curvatura da interface, que em uma aproximação linear é

${\ displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}$

Assim,

${\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}$

No entanto, esta condição se refere à pressão total (base + perturbada), portanto

${\ displaystyle \ left [P_ {G} \ left (\ eta \ right) + p '_ {G} \ left (0 \ right) \ right] - \ left [P_ {L} \ left (\ eta \ right ) + p '_ {L} \ left (0 \ right) \ right] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}$

(Como de costume, as quantidades perturbadas podem ser linearizadas na superfície z = 0. ) Usando o equilíbrio hidrostático , na forma

${\ displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}$

isso se torna

${\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}$

As pressões perturbadas são avaliadas em termos de funções de fluxo, usando a equação de momento horizontal das equações de Euler linearizadas para as perturbações,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i} '} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {\ partial p_ {i}'} {\ parcial x}} \,}$   com ${\ displaystyle i = L, G, \,}$

ceder

${\ displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} cD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}$

Colocando esta última equação e a condição de salto juntas, ${\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L}}$

${\ displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}$

Substituindo a segunda condição interfacial e usando a representação do modo normal, esta relação torna-se ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

${\ displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}$

onde não há necessidade de rotular (apenas seus derivados) porque em${\ displaystyle \ Psi \,}$${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$${\ displaystyle z = 0. \,}$

Solução

Agora que o modelo de fluxo estratificado foi configurado, a solução está à mão. A equação da função de fluxo com as condições de contorno tem a solução ${\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \,}$${\ displaystyle \ Psi \ left (\ pm \ infty \ right) \,}$

${\ displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alpha z}. \,}$

A primeira condição interfacial afirma que em , que força A terceira condição interfacial afirma que ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$${\ displaystyle z = 0 \,}$${\ displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$

${\ displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi. \,}$

Conectar a solução a esta equação dá a relação

${\ displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right ) - \ sigma \ alpha ^ {2} A. \,}$

O A cancela de ambos os lados e ficamos com

${\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,}$

Para entender as implicações desse resultado por completo, é útil considerar o caso da tensão superficial zero. Então,

${\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}$

e claramente

• Se , e c é real. Isso acontece quando o fluido de isqueiro fica no topo;${\ displaystyle \ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,}$${\ displaystyle c ^ {2}> 0 \,}$
• Se , e c é puramente imaginário. Isso acontece quando o fluido mais pesado fica no topo.${\ displaystyle \ rho _ {G}> \ rho _ {L} \,}$${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

Agora, quando o fluido mais pesado fica no topo , e ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

${\ displaystyle c = \ pm i {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G } - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}$

onde está o número de Atwood . Ao tomar a solução positiva, vemos que a solução tem a forma ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

${\ displaystyle \ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g {\ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ right) \,}$

e isso está associado à posição da interface η por: Agora defina${\ displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$${\ displaystyle B = A / c. \,}$