Funções especiais - Special functions

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Funções especiais são funções matemáticas particulares que têm nomes e notações mais ou menos estabelecidos devido à sua importância na análise matemática , análise funcional , geometria , física ou outras aplicações.

O termo é definido por consenso e, portanto, carece de uma definição formal geral, mas a Lista de funções matemáticas contém funções que são comumente aceitas como especiais.

Tabelas de funções especiais

Muitas funções especiais aparecem como soluções de equações diferenciais ou integrais de funções elementares . Portanto, as tabelas de integrais geralmente incluem descrições de funções especiais e as tabelas de funções especiais incluem as integrais mais importantes; pelo menos, a representação integral de funções especiais. Como as simetrias das equações diferenciais são essenciais tanto para a física quanto para a matemática, a teoria das funções especiais está intimamente relacionada à teoria dos grupos de Lie e álgebras de Lie , bem como a certos tópicos da física matemática .

Os motores de computação simbólica geralmente reconhecem a maioria das funções especiais.

Notações usadas para funções especiais

Funções com notações internacionais estabelecidas são o seno ( ), cosseno ( ), função exponencial ( ) e função de erro ( ou ). ${\ displaystyle \ sin}$ ${\ displaystyle \ cos}$ ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ operatorname {erf}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {erfc}}$

Algumas funções especiais têm várias notações:

O logaritmo natural pode ser denotado , , , ou , dependendo do contexto. ${\ displaystyle \ ln}$ ${\ displaystyle \ log}$ ${\ displaystyle \ log _ {e}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log}}$
A função tangente pode ser denotada , ou ( é usada principalmente na literatura russa e búlgara ). ${\ displaystyle \ tan}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tan}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tg}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tg}}$
O arco de tangente pode ser denotado , , , ou . ${\ displaystyle \ arctan}$ ${\ displaystyle \ operatorname {atan}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {arctg}}$ ${\ displaystyle \ tan ^ {- 1}}$
As funções de Bessel podem ser denotadas
- ${\ displaystyle J_ {n} (x),}$
- ${\ displaystyle \ operatorname {besselj} (n, x),}$
- ${\ displaystyle {\ rm {BesselJ}} [n, x].}$

Freqüentemente, os subscritos são usados para indicar argumentos, normalmente números inteiros. Em alguns casos, o ponto-e-vírgula (;) ou mesmo a barra invertida (\) é usado como separador. Nesse caso, a tradução para linguagens algorítmicas admite ambigüidade e pode gerar confusão.

Os sobrescritos podem indicar não apenas exponenciação, mas modificação de uma função. Exemplos (particularmente com funções trigonométricas e funções hiperbólicas ) incluem:

${\ displaystyle \ cos ^ {3} (x)}$ geralmente indica ${\ displaystyle (\ cos (x)) ^ {3}}$
${\ displaystyle \ cos ^ {2} (x)}$ é tipicamente , mas nunca ${\ displaystyle (\ cos (x)) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ cos (\ cos (x))}$
${\ displaystyle \ cos ^ {- 1} (x)}$ geralmente significa , e não ; este normalmente causa a maior confusão, uma vez que a interpretação com este valor de expoente é inconsistente com os outros. ${\ displaystyle \ arccos (x)}$ ${\ displaystyle (\ cos (x)) ^ {- 1}}$

Avaliação de funções especiais

A maioria das funções especiais é considerada uma função de uma variável complexa . Eles são analíticos ; as singularidades e cortes são descritos; as representações diferenciais e integrais são conhecidas e a expansão para as séries de Taylor ou séries assintóticas estão disponíveis. Além disso, às vezes existem relações com outras funções especiais; uma função especial complicada pode ser expressa em termos de funções mais simples. Várias representações podem ser usadas para a avaliação; a maneira mais simples de avaliar uma função é expandi-la para uma série de Taylor. No entanto, essa representação pode convergir lentamente ou não convergir. Em linguagens algorítmicas, aproximações racionais são normalmente usadas, embora possam se comportar mal no caso de argumento (s) complexo (s).

História de funções especiais

Teoria clássica

Embora a trigonometria possa ser codificada - como já estava claro para os matemáticos especialistas do século XVIII (se não antes) - a busca por uma teoria completa e unificada das funções especiais continuou desde o século XIX. O ponto alto da teoria das funções especiais no período de 1800–1900 foi a teoria das funções elípticas ; tratados essencialmente completos, como o de Tannery e Molk , poderiam ser escritos como manuais para todas as identidades básicas da teoria. Eles foram baseados em técnicas de análise complexa .

Daí em diante, seria assumido que a teoria da função analítica , que já havia unificado as funções trigonométricas e exponenciais , era uma ferramenta fundamental. O final do século também viu uma discussão muito detalhada sobre os harmônicos esféricos .

Mudanças e motivações fixas

É claro que o desejo de uma teoria ampla incluindo o maior número possível das funções especiais conhecidas tem seu apelo intelectual, mas vale a pena observar outras motivações. Por muito tempo, as funções especiais estiveram na esfera particular da matemática aplicada ; as aplicações às ciências físicas e à engenharia determinaram a importância relativa das funções. Nos dias anteriores ao computador eletrônico , o último elogio a uma função especial era o cálculo, à mão, de tabelas estendidas de seus valores . Este foi um processo de capital intensivo, destinado a disponibilizar a função por consulta , como para as tabelas de logaritmos familiares . Os aspectos da teoria que importavam então poderiam ser dois:

para análise numérica , descoberta de séries infinitas ou outra expressão analítica que permita cálculos rápidos; e
redução de tantas funções quanto possível para a função dada.

Em contraste, pode-se dizer, existem abordagens típicas dos interesses da matemática pura : análise assintótica , continuação analítica e monodromia no plano complexo , e a descoberta de princípios de simetria e outras estruturas por trás da fachada de fórmulas infinitas em filas. Não há um conflito real entre essas abordagens, na verdade.

Século vinte

O século XX viu várias ondas de interesse na teoria das funções especiais. O livro clássico de Whittaker e Watson (1902) procurou unificar a teoria usando variáveis complexas ; o livro de GN Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, levou as técnicas o mais longe possível para um tipo importante que admitia o estudo de assintóticos.

O posterior Projeto de Manuscrito Bateman , sob a direção de Arthur Erdélyi , tentou ser enciclopédico e surgiu na época em que a computação eletrônica estava surgindo e a tabulação deixava de ser a questão principal.

Teorias contemporâneas

A teoria moderna de polinômios ortogonais é de um escopo definido, mas limitado. As séries hipergeométricas tornaram-se uma teoria intrincada, necessitando de um arranjo conceitual posterior. Os grupos de Lie , e em particular sua teoria de representação , explicam o que uma função esférica pode ser em geral; a partir de 1950, partes substanciais da teoria clássica puderam ser reformuladas em termos de grupos de Lie. Além disso, o trabalho em combinatória algébrica também reavivou o interesse em partes mais antigas da teoria. As conjecturas de Ian G. Macdonald ajudaram a abrir novos campos grandes e ativos com o sabor típico de função especial. As equações de diferença começaram a tomar seu lugar, além das equações diferenciais, como uma fonte para funções especiais.

Funções especiais na teoria dos números

Na teoria dos números , certas funções especiais têm sido tradicionalmente estudadas, como séries específicas de Dirichlet e formas modulares . Quase todos os aspectos da teoria das funções especiais são refletidos lá, assim como alguns novos, como os que surgiram da monstruosa teoria do luar .

Pesquisadores

Veja também

Referências

^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [outubro de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabela de integrais, séries e produtos . Traduzido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funções matemáticas .

Andrews, George E .; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999). Funções especiais . Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações. 71 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-62321-6. MR 1688958 .

links externos

Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia , Departamento de Comércio dos Estados Unidos. Biblioteca digital de funções matemáticas do NIST . Arquivado do original em 13 de dezembro de 2018.
Weisstein, Eric W. "Special Function" . MathWorld .
Calculadora online , calculadora científica online com mais de 100 funções (> = 32 dígitos, muitos complexos) (idioma alemão)
Funções especiais em EqWorld: The World of Mathematical Equations
Funções especiais e polinômios de Gerard 't Hooft e Stefan Nobbenhuis (8 de abril de 2013)
Métodos Numéricos para Funções Especiais , de A. Gil, J. Segura, NM Temme (2007).
R. Jagannathan, (P, Q) -Funções especiais
Funções especiaiswiki

[Zwillinger_2014-1] Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [outubro de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabela de integrais, séries e produtos . Traduzido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .

[IRENE-2] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funções matemáticas .

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