Número piramidal quadrado - Square pyramidal number

Representação geométrica do número piramidal quadrado 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Em matemática, um número de pirâmide , ou número piramidal quadrado , representa o número de esferas empilhadas em uma pirâmide com base quadrada. O estudo desses números remonta a Arquimedes e Fibonacci . Eles fazem parte de um tópico mais amplo de números figurados que representam os números de pontos formando padrões regulares dentro de diferentes formas.

Além de contar esferas em uma pirâmide, esses números podem ser descritos algebricamente como uma soma dos primeiros números quadrados positivos ou como os valores de um polinômio cúbico . Eles podem ser usados para resolver vários outros problemas de contagem, incluindo a contagem de quadrados em uma grade quadrada e a contagem de triângulos agudos formados a partir dos vértices de um polígono regular ímpar . Eles são iguais às somas de números tetraédricos consecutivos e são um quarto de um número tetraédrico maior. A soma de dois números piramidais quadrados consecutivos é um número octaédrico . ${\estilo de exibição n}$

História

Os números piramidais eram um dos poucos tipos de números figurados tridimensionais estudados na matemática grega , em obras de Nicômaco , Teão de Esmirna e Jâmblico . Fórmulas para somar quadrados consecutivos para dar um polinômio cúbico, cujos valores são os números quadrados piramidais, são dadas por Arquimedes , que usou essa soma como lema como parte de um estudo do volume de um cone , e por Fibonacci , como parte de uma solução mais geral para o problema de encontrar fórmulas para somas de progressões de quadrados. Os números piramidais quadrados também foram uma das famílias de números figurados estudados pelos matemáticos japoneses do período wasan, que os nomearam "kirei saijo suida".

O mesmo problema, formulado como o de contar as balas de canhão em uma pirâmide quadrada, foi proposto por Walter Raleigh ao matemático Thomas Harriot no final dos anos 1500, enquanto ambos estavam em uma viagem marítima. Diz-se que o problema da bala de canhão , perguntando se existem números piramidais quadrados que também são números quadrados diferentes de 1 e 4900, se desenvolveu a partir dessa troca. Édouard Lucas encontrou a pirâmide de 4.900 bolas com um número quadrado de bolas e, ao tornar o problema da bala de canhão mais conhecido, sugeriu que era a única solução não trivial. Após provas incompletas de Lucas e Claude-Séraphin Moret-Blanc, a primeira prova completa de que não existem outros números desse tipo foi dada por GN Watson em 1918.

Fórmula

Reproduzir mídia

Seis cópias de uma pirâmide quadrada com

n

degraus podem caber em um paralelepípedo de tamanho

n (n + 1)(2 n + 1)

Se as esferas são empacotadas em pirâmides quadradas cujo número de camadas é 1, 2, 3, etc., então os números piramidais quadrados que dão o número de esferas em cada pirâmide são:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... .

Esses números podem ser calculados algebricamente, como segue. Se uma pirâmide de esferas é decomposta em suas camadas quadradas com um número quadrado de esferas em cada uma, então o número total de esferas pode ser contado como a soma do número de esferas em cada quadrado, ${\estilo de exibição P_{n}}$

P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},

e esta soma pode ser resolvida para dar um polinômio cúbico , que pode ser escrito de várias maneiras equivalentes:

P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.

Esta equação para uma soma de quadrados é um caso especial da fórmula de Faulhaber para somas de potências, e pode ser provada por indução matemática .

Mais geralmente, os números figurados contam os números de pontos geométricos dispostos em padrões regulares dentro de certas formas. Os centros das esferas em uma pirâmide de esferas formam um desses padrões, mas para muitos outros tipos de números figurados não faz sentido pensar nos pontos como sendo centros de esferas. Na matemática moderna, problemas relacionados de contar pontos em poliedros inteiros são formalizados pelos polinômios de Ehrhart . Estes diferem dos números figurados em que, para polinômios de Ehrhart, os pontos são sempre dispostos em uma rede inteira em vez de ter um arranjo que é mais cuidadosamente ajustado à forma em questão, e a forma em que eles se encaixam é um poliedro com pontos de rede como seus vértices. Especificamente, o polinômio de Ehrhart $L (P, t)$ de um poliedro inteiro $P$ é um polinômio que conta o número de pontos inteiros em uma cópia de $P$ que é expandida pela multiplicação de todas as suas coordenadas pelo número $t$ . A forma simétrica usual de uma pirâmide quadrada, com um quadrado unitário como base, não é um poliedro inteiro, porque o ponto mais alto da pirâmide, seu vértice, não é um ponto inteiro. Em vez disso, o polinômio de Ehrhart pode ser aplicado a uma pirâmide quadrada assimétrica $P$ com uma base quadrada unitária e um vértice que pode ser qualquer ponto inteiro uma unidade acima do plano base. Para esta escolha de $P$ , o polinômio de Ehrhart de uma pirâmide é $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ( t + 1)( t + 2)(2 t + 3)/6= Pt +$ 1 $.$

Enumeração geométrica

Todos os 30 quadrados em uma grade 4×4

Além de contar esferas em uma pirâmide, esses números podem ser usados para resolver vários outros problemas de contagem. Por exemplo, um quebra-cabeça matemático comum envolve encontrar o número de quadrados em uma grande grade quadrada de $n$ por $n .$ Este número pode ser derivado da seguinte forma:

O número de quadrados 1 × 1 encontrados na grade é $n 2$ .
O número de quadrados 2 × 2 encontrados na grade é $(n - 1) 2$ . Estes podem ser contados contando todos os cantos superiores esquerdos possíveis de 2 × 2 quadrados.
O número de $k \times k$ quadrados $(1 \leq k \leq n)$ encontrados na grade é $(n - k + 1) 2$ . Estes podem ser contados contando todos os cantos superiores esquerdos possíveis de $k \times k$ quadrados.

Segue-se que o número de quadrados em uma grade quadrada $n \times n é:$

n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.

Ou seja, a solução do quebra-cabeça é dada pelo

enésimo

número piramidal quadrado. O número de retângulos em uma grade quadrada é dado pelos números triangulares quadrados .

O número piramidal quadrado também conta o número de triângulos agudos formados a partir dos vértices de um polígono regular de lados . Por exemplo, um triângulo equilátero contém apenas um triângulo agudo (ele mesmo), um pentágono regular tem cinco triângulos áureos agudos dentro dele, um heptágono regular tem 14 triângulos agudos de duas formas, etc. uma matriz são consideradas equivalentes, o número de matrizes com coeficientes inteiros não negativos somando , para valores ímpares de , é um número piramidal quadrado. ${\estilo de exibição P_{n}}$ ${\estilo de exibição (2n+1)}$ ${\estilo de exibição 2\vezes 2}$ ${\estilo de exibição n}$ ${\estilo de exibição n}$

Relações com outros números figurados

Uma pirâmide quadrada de balas de canhão no Castelo de Rye, na Inglaterra

4900 bolas dispostas como uma pirâmide quadrada de lado 24 e um quadrado de lado 70

O problema da bala de canhão pede os tamanhos das pirâmides das balas de canhão que também podem ser espalhadas para formar uma matriz quadrada, ou equivalentemente, quais números são quadrados e piramidais quadrados. Além de 1, há apenas um outro número que tem essa propriedade: 4900, que é o número 70º quadrado e o número piramidal 24º quadrado.

Os números piramidais quadrados podem ser expressos como somas de coeficientes binomiais :

P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.

Os coeficientes binomiais que ocorrem nesta representação são números tetraédricos , e esta fórmula expressa um número piramidal quadrado como a soma de dois números tetraédricos da mesma forma que os números quadrados são as somas de dois números triangulares consecutivos . Se um tetraedro é refletido em uma de suas faces, as duas cópias formam uma bipirâmide triangular . Os números piramidais quadrados são também os números figurados das bipirâmides triangulares, e esta fórmula pode ser interpretada como uma igualdade entre os números piramidais quadrados e os números bipiramidais triangulares. Analogamente, refletir uma pirâmide quadrada em sua base produz um octaedro, do qual se segue que cada número octaédrico é a soma de dois números piramidais quadrados consecutivos.

Os números piramidais quadrados também estão relacionados aos números tetraédricos de uma maneira diferente: os pontos de quatro cópias da mesma pirâmide quadrada podem ser rearranjados para formar um único tetraedro com o dobro de pontos ao longo de cada aresta. Aquilo é,

4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.

Outras propriedades

A série alternada de frações unitárias com os números piramidais quadrados como denominadores está intimamente relacionada à fórmula de Leibniz para $π$ , embora convirja mais rapidamente. Isto é:

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0,849556.\ \\end{alinhado}}

Na teoria da aproximação , as sequências de números ímpares, somas de números ímpares (números quadrados), somas de números quadrados (números piramidais quadrados), etc., formam os coeficientes em um método para converter aproximações de Chebyshev em polinômios .

Referências

links externos

Weisstein, Eric W. , "Número piramidal quadrado" , MathWorld

Languages

In other projects