Propriedade topológica - Topological property

Em topologia e áreas relacionadas da matemática , uma propriedade topológica ou invariante topológico é uma propriedade de um espaço topológico que é invariante sob homeomorfismos . Ou seja, uma propriedade dos espaços é uma propriedade topológica se sempre que um espaço X possuir essa propriedade todo espaço homeomórfico a X possuir essa propriedade. Informalmente, uma propriedade topológica é uma propriedade do espaço que pode ser expressa usando conjuntos abertos .

Um problema comum em topologia é decidir se dois espaços topológicos são homeomórficos ou não. Para provar que dois espaços não são homeomórficos, é suficiente encontrar uma propriedade topológica que não é compartilhada por eles.

Propriedades topológicas comuns

Funções cardeais

A cardinalidade | X | do espaço X .
A cardinalidade τ ( X ) da topologia do espaço X . ${\ displaystyle \ vert}$ ${\ displaystyle \ vert}$
Peso w ( X ), a menos cardinalidade de uma base da topologia do espaço X .
Densidade d ( X ), a menos cardinalidade de um subconjunto de X cujo fecho é X .

Separação

Observe que alguns desses termos são definidos de maneira diferente na literatura matemática mais antiga; veja a história dos axiomas de separação .

T ₀ ou Kolmogorov . Um espaço é de Kolmogorov se, para cada par de pontos distintos x e y no espaço, há, pelo menos, quer um conjunto aberto contendo X mas não y , ou um conjunto aberto contendo y mas não x .
T ₁ ou Fréchet . Um espaço é Fréchet se, para cada par de pontos distintos x e y no espaço, há um conjunto aberto contendo X mas não y . (Compare com T ₀ ; aqui, podemos especificar qual ponto estará contido no conjunto aberto.) Equivalentemente, um espaço é T ₁ se todos os seus singletons estiverem fechados. Os espaços T ₁ são sempre T ₀ .
Sóbrio . Um espaço é sóbrio se todo conjunto fechado irredutível C tem um ponto genérico único p . Em outras palavras, se C não é a união (possivelmente não disjunta) de dois subconjuntos fechados menores, então existe um p tal que o fechamento de { p } é igual a C e p é o único ponto com esta propriedade.
T ₂ ou Hausdorff . Um espaço é Hausdorff se cada dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Os espaços T ₂ são sempre T ₁ .
T _2½ ou Urysohn . Um espaço é Urysohn se cada dois pontos distintos possuem vizinhanças fechadas disjuntas . Os espaços T _2½ são sempre T ₂ .
Completamente T ₂ ou completamente Hausdorff . Um espaço é completamente t ₂ se de dois em dois pontos distintos são separados por uma função . Cada espaço completamente Hausdorff é Urysohn.
Regular . Um espaço é regular se sempre que C for um conjunto fechado ep for um ponto que não está em C , então C e p tiverem vizinhanças disjuntas.
T ₃ ou Regular Hausdorff . Um espaço é Hausdorff regular se for um espaço T ₀ regular . (Um espaço regular é Hausdorff se e somente se for T ₀ , então a terminologia é consistente .)
Completamente regular . Um espaço é completamente regular se sempre que C for um conjunto fechado ep for um ponto que não está em C , então C e { p } serão separados por uma função .
T _3½ , Tychonoff , Hausdorff totalmente regular ou Totalmente T ₃ . Um espaço Tychonoff é um espaço T ₀ completamente regular . (Um espaço completamente regular é Hausdorff se e somente se for T ₀ , então a terminologia é consistente.) Os espaços de Tychonoff são sempre Hausdorff regulares.
Normal . Um espaço é normal se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos tiverem vizinhanças disjuntas. Os espaços normais admitem partições de unidade .
T ₄ ou Normal Hausdorff . Um espaço normal é Hausdorff se e somente se for T ₁ . Os espaços normais de Hausdorff são sempre Tychonoff.
Completamente normal . Um espaço é completamente normal se quaisquer dois conjuntos separados tiverem vizinhanças disjuntas.
T ₅ ou Hausdorff completamente normal . Um espaço completamente normal é Hausdorff se e somente se for T ₁ . Espaços de Hausdorff completamente normais são sempre Hausdorff normais.
Perfeitamente normal . Um espaço é perfeitamente normal se quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos forem precisamente separados por uma função . Um espaço perfeitamente normal também deve ser completamente normal.
T ₆ ou perfeitamente normal de Hausdorff , ou perfeitamente T ₄ . Um espaço é perfeitamente normal Hausdorff , se ele é ao mesmo tempo perfeitamente normal e T ₁ . Um espaço de Hausdorff perfeitamente normal também deve ser de Hausdorff completamente normal.
Espaço discreto . Um espaço é discreto se todos os seus pontos estiverem completamente isolados, ou seja, se algum subconjunto estiver aberto.
Número de pontos isolados . O número de pontos isolados de um espaço topológico.

Condições de contagem

Separável . Um espaço é separável se tiver um subconjunto denso contável .
Primeira contagem . Um espaço é contável pela primeira vez se cada ponto tiver uma base local contável .
Segunda contagem . Um espaço é contável por segundo se tiver uma base contável para sua topologia. Espaços de segunda contagem são sempre separáveis, primeira contagem e Lindelöf.

Conectividade

Conectado . Um espaço está conectado se não for a união de um par de conjuntos abertos não vazios separados. Equivalentemente, um espaço é conectado se os únicos conjuntos clopen forem o conjunto vazio e ele mesmo.
Conectado localmente . Um espaço está conectado localmente se cada ponto tiver uma base local consistindo de conjuntos conectados.
Totalmente desconectado . Um espaço está totalmente desconectado se não tiver nenhum subconjunto conectado com mais de um ponto.
Conectado ao caminho . Um espaço X é conectado por caminho se para cada dois pontos x , y em X , houver um caminho p de x a y , ou seja, um mapa contínuo p : [0,1] → X com p (0) = x e p (1) = y . Espaços conectados por caminhos estão sempre conectados.
Conectado localmente por caminho . Um espaço é localmente conectado por caminho se cada ponto tiver uma base local que consiste em conjuntos conectados por caminho. Um espaço conectado por caminho local é conectado se, e somente se, estiver conectado por caminho.
Conectado ao arco . Um espaço X é conectado por arco se para cada dois pontos x , y em X , houver um arco f de x a y , ou seja, um mapa contínuo injetivo f : [0,1] → X com p (0) = x e p (1) = y . Espaços conectados a arco são conectados por caminhos.
Simplesmente conectado . Um espaço X é simplesmente conectado se for conectado por caminho e todo mapa contínuo f : S ¹ → X é homotópico a um mapa constante.
Simplesmente conectado localmente . Um espaço X está localmente conectado de forma simples se cada ponto x em X tiver uma base local de vizinhanças U que está simplesmente conectada.
Simplesmente conectado semilocalmente . Um espaço X é semi-localmente simplesmente ligado se cada ponto possui uma base local de bairros L de tal modo que cada ciclo em L é contraível em X . A conectividade simples semi-local, uma condição estritamente mais fraca do que a conectividade simples local, é uma condição necessária para a existência de uma cobertura universal .
Contratível . Um espaço X é contraível se o mapa de identidade em X for homotópico a um mapa constante. Os espaços contraíveis estão sempre simplesmente conectados.
Hiperconectado . Um espaço é hiperconectado se não houver dois conjuntos abertos não vazios separados. Todo espaço hiperconectado está conectado.
Ultraconectado . Um espaço é ultraconectado se não houver dois conjuntos fechados não vazios separados. Todo espaço ultraconectado é conectado por caminhos.
Indiscreto ou trivial . Um espaço é indiscreto se os únicos conjuntos abertos são o conjunto vazio e ele mesmo. Diz-se que esse espaço tem a topologia trivial .

Compacidade

Compacto . Um espaço é compacto se toda tampa aberta tiver uma subcobertura finita . Alguns autores chamam esses espaços de quase compactos e reservam compactos para espaços de Hausdorff onde cada tampa aberta tem subcobertura finita. Os espaços compactos são sempre Lindelöf e paracompactos. Espaços compactos de Hausdorff são, portanto, normais.
Sequencialmente compacto . Um espaço é sequencialmente compacto se cada sequência tem uma subsequência convergente.
Contavelmente compacto . Um espaço é contavelmente compacto se cada tampa aberta contável tiver uma subcobertura finita.
Pseudocompact . Um espaço é pseudocompacto se todas as funções contínuas de valor real no espaço forem limitadas.
σ-compacto . Um espaço é σ-compacto se for a união de muitos subconjuntos compactos contáveis.
Lindelöf . Um espaço é Lindelöf se toda tampa aberta tiver uma subcobertura contável .
Paracompact . Um espaço é paracompacto se cada tampa aberta tem um refinamento local finito aberto. Espaços de Hausdorff paracompactos são normais.
Localmente compacto . Um espaço é localmente compacto se cada ponto tiver uma base local consistindo de vizinhanças compactas. Definições ligeiramente diferentes também são usadas. Espaços localmente compactos de Hausdorff são sempre Tychonoff.
Compacto ultraconectado . Em um ultra-conectado compacto espaço X cada tampa aberta deve conter X em si. Espaços compactos ultraconectados não vazios têm um maior subconjunto aberto apropriado denominado monólito .

Metrizabilidade

Metrizável . Um espaço é metrizável se for homeomorfo a um espaço métrico . Espaços metrizáveis são sempre de Hausdorff e paracompactos (e, portanto, normais e Tychonoff), e contáveis pela primeira vez. Além disso, um espaço topológico (X, T) é considerado metrizável se houver uma métrica para X de modo que a topologia métrica T (d) seja idêntica à topologia T.
Polonês . Um espaço é chamado de polonês se for metrizável com uma métrica separável e completa.
Metrizável localmente . Um espaço é localmente metrizável se cada ponto tiver uma vizinhança metrizável.

Diversos

Espaço Baire . Um espaço X é um espaço Baire se não for escasso em si mesmo. Equivalentemente, X é um espaço de Baire se a interseção de muitos conjuntos abertos densos for densa.
Espaço da porta . Um espaço topológico é um espaço de porta se cada subconjunto estiver aberto ou fechado (ou ambos).
Homogeneidade topológica . Um espaço X é (topologicamente) homogéneo se para todos os x e y em X , há uma homeomorphism tal que Intuitivamente falando, isto significa que o espaço tem a mesma aparência em todos os pontos. Todos os grupos topológicos são homogêneos. ${\ displaystyle f: X \ a X}$ ${\ displaystyle f (x) = y.}$
Gerado finamente ou Alexandrov . Um espaço X é Alexandrov se as interseções arbitrárias de conjuntos abertos em X estiverem abertas, ou equivalentemente, se as uniões arbitrárias de conjuntos fechados forem fechadas. Esses são precisamente os membros finitamente gerados da categoria de espaços topológicos e mapas contínuos.
Dimensão zero . Um espaço tem dimensão zero se tiver uma base de conjuntos clopen. Esses são precisamente os espaços com uma pequena dimensão indutiva de 0 .
Quase discreto . Um espaço é quase discreto se todos os conjuntos abertos forem fechados (portanto, clopen). Os espaços quase discretos são precisamente os espaços de dimensão zero gerados finitamente.
Boolean . Um espaço é booleano se for zero dimensional, compacto e Hausdorff (equivalentemente, totalmente desconectado, compacto e Hausdorff). Esses são precisamente os espaços homeomórficos aos espaços Stone das álgebras booleanas .
Torção Reidemeister
${\ displaystyle \ kappa}$ -resolvível . Diz-se que um espaço é κ-resolvível (respectivamente: quase κ-resolvível) se ele contém κ conjuntos densos que são disjuntos em pares (respectivamente: quase disjuntos sobre o ideal de subconjuntos densos em lugar nenhum). Se o espaço não for -resolvível, ele será chamado de -irresolvível. ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ kappa}$
Maximamente resolvível . O espaço é maximamente resolvível se for -resolvível, onde Número é chamado de caractere de dispersão de ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Delta (X)}$ ${\ displaystyle \ Delta (X) = \ min \ {| G |: G \ neq \ varnothing, G {\ mbox {está aberto}} \}.}$ ${\ displaystyle \ Delta (X)}$ ${\ displaystyle X.}$
Extremamente discreto . Set é um subconjunto fortemente discreto do espaço se os pontos em podem ser separados por vizinhanças disjuntas aos pares. O espaço é considerado fortemente discreto se cada ponto não isolado de for o ponto de acumulação de algum conjunto fortemente discreto. ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Propriedades não topológicas

Existem muitos exemplos de propriedades de espaços métricos , etc, que não são propriedades topológicas. Para mostrar que uma propriedade não é topológica, basta encontrar dois espaços topológicos homeomórficos tais que tem , mas não tem . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle X \ cong Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle P}$

Por exemplo, as propriedades do espaço métrico de limitação e integridade não são propriedades topológicas. Deixe e seja espaços métricos com a métrica padrão. Depois, via homeomorfismo . No entanto, é completo, mas não limitado, enquanto é limitado, mas não completo. ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle Y = (- {\ tfrac {\ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}})}$ ${\ displaystyle X \ cong Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {arctan} \ dois pontos X \ a Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Veja também

Citações

Referências

Willard, Stephen (1970). Topologia geral . Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN 9780486434797.
Munkres, James R. (2000). Topologia . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein e Graciana Puentes, Engenharia de entrelaçamento e proteção topológica por passeios quânticos de tempo discreto, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

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