Triangulação (topologia) - Triangulation (topology)
Em matemática , a topologia generaliza a noção de triangulação de uma forma natural da seguinte forma:
- Uma triangulação de um espaço topológico X é um complexo simplicial K , homeomorfos a X , em conjunto com um homeomorphism h : K → X .
A triangulação é útil para determinar as propriedades de um espaço topológico. Por exemplo, pode-se calcular grupos de homologia e cohomologia de um espaço triangulado usando homologia simplicial e teorias de cohomologia em vez de teorias de homologia e cohomologia mais complicadas.
Estruturas lineares por partes
Para variedades topológicas , há uma noção um pouco mais forte de triangulação: uma triangulação linear por partes (às vezes apenas chamada de triangulação) é uma triangulação com a propriedade extra definida para dimensões 0, 1, 2,. . . indutivamente - que o link de qualquer simplex é uma esfera linear por partes. A ligação de um simples s em um complexo simplicial K é um subcomplexo de K consistindo do simplices t que são disjuntos de s e de tal modo que ambos s e t são caras de alguns simplex de dimensão superior em K . Por exemplo, em uma variedade linear por partes bidimensional formada por um conjunto de vértices, arestas e triângulos , a ligação de um vértice s consiste no ciclo de vértices e arestas em torno de s : se t é um vértice neste ciclo, t e s são ambos os pontos finais de uma aresta de K , e se t é uma vantagem neste ciclo, e s são ambas as faces de um triângulo de K . Este ciclo é homeomórfico a um círculo, que é uma esfera unidimensional. Mas, neste artigo, a palavra "triangulação" é usada apenas para significar homeomorfo a um complexo simplicial.
Para variedades de dimensão no máximo 4, qualquer triangulação de uma variedade é uma triangulação linear por partes: Em qualquer complexo simplicial homeomórfico a uma variedade, a ligação de qualquer simplex só pode ser homeomórfica a uma esfera. Mas na dimensão n ≥ 5 a ( n - 3) -fold suspensão da esfera de Poincaré é uma variedade topológica (homeomorphic à n -sphere) com uma triangulação que não é linear por partes: tem um simplex cujo elo é o Poincaré esfera , uma variedade tridimensional que não é homeomórfica a uma esfera. Este é o teorema da suspensão dupla , devido a James W. Cannon e RD Edwards na década de 1970.
A questão de quais variedades têm triangulações lineares por partes levou a muitas pesquisas em topologia. Variedades diferenciáveis (Stewart Cairns, JHC Whitehead , LEJ Brouwer , Hans Freudenthal , James Munkres ) e conjuntos subanalíticos ( Heisuke Hironaka e Robert Hardt) admitem uma triangulação linear por partes, tecnicamente passando pela categoria PDIFF . Variedades topológicas de dimensões 2 e 3 são sempre trianguláveis por uma triangulação essencialmente única (até equivalência linear por partes); isso foi provado para superfícies por Tibor Radó na década de 1920 e para três variedades por Edwin E. Moise e RH Bing na década de 1950, com simplificações posteriores por Peter Shalen . Conforme mostrado independentemente por James Munkres , Steve Smale e JHC Whitehead , cada uma dessas variedades admite uma estrutura suave , única até o difeomorfismo . Na dimensão 4, no entanto, a variedade E8 não admite uma triangulação, e algumas variedades compactas de 4 têm um número infinito de triangulações, todas inequivalentes lineares por partes. Em dimensão maior que 4, Rob Kirby e Larry Siebenmann construíram variedades que não têm triangulações lineares por partes (ver Hauptvermutung ). Além disso, Ciprian Manolescu provou que existem variedades compactas de dimensão 5 (e, portanto, de todas as dimensões maiores que 5) que não são homeomórficas a um complexo simplicial, ou seja, que não admitem uma triangulação.
Métodos explícitos de triangulação
Um caso especial importante de triangulação topológica é o de superfícies bidimensionais ou variedades 2 fechadas . Existe uma prova padrão de que superfícies compactas lisas podem ser trianguladas. De fato, se a superfície receber uma métrica Riemanniana , cada ponto x estará contido dentro de um pequeno triângulo geodésico convexo situado dentro de uma bola normal com centro x . Os interiores de um número finito de triângulos cobrirão a superfície; uma vez que as bordas de triângulos diferentes coincidem ou se cruzam transversalmente, este conjunto finito de triângulos pode ser usado iterativamente para construir uma triangulação.
Outro procedimento simples para triangular variedades diferenciáveis foi dado por Hassler Whitney em 1957, com base em seu teorema de incorporação . Na verdade, se X é uma n - subvariedade fechada de R m , subdivida uma rede cúbica em R m em simplicidade para obter uma triangulação de R m . Tomando a malha da rede pequena o suficiente e movendo-se levemente finitamente muitos dos vértices, a triangulação estará na posição geral em relação a X : portanto, não há simplicidade de dimensão < s = m - n intersecta X e cada s- simples intersecciona X
- faz isso exatamente em um ponto interno;
- faz um ângulo estritamente positivo com o plano tangente;
- mentiras totalmente dentro de algum bairro tubular de X .
Esses pontos de interseção e seus baricentros (correspondendo a simplicidades dimensionais superiores que se cruzam com X ) geram um subcomplexo simplicial n- dimensional em R m , totalmente dentro da vizinhança tubular. A triangulação é dada pela projecção deste complexo simplicial para X .
Gráficos em superfícies
Uma triangulação de Whitney ou triangulação limpa de uma superfície é uma incorporação de um gráfico na superfície de tal forma que as faces da incorporação sejam exatamente os cliques do gráfico. Equivalentemente, cada face é um triângulo, cada triângulo é uma face e o gráfico não é em si um clique. O complexo de cliques do grafo é então homeomórfico à superfície. Os 1- esqueletos das triangulações de Whitney são exatamente os gráficos localmente cíclicos diferentes de K 4 .
Referências
Leitura adicional
- Dieudonné, Jean (1989), A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X