Étale cohomology - Étale cohomology

Em matemática , os grupos de cohomologia étale de uma variedade ou esquema algébrico são análogos algébricos dos grupos cohomológicos usuais com coeficientes finitos de um espaço topológico , introduzidos por Grothendieck para provar as conjecturas de Weil . A teoria da cohomologia Étale pode ser usada para construir a cohomologia ℓ-adic , que é um exemplo de uma teoria da cohomologia Weil em geometria algébrica. Isso tem muitas aplicações, como a prova das conjecturas de Weil e a construção de representações de grupos finitos do tipo Lie .

História

Étale cohomology foi introduzido por Alexander Grothendieck ( 1960 ), usando algumas sugestões de Jean-Pierre Serre , e foi motivado pela tentativa de construir uma teoria da cohomologia de Weil a fim de provar as conjecturas de Weil . As fundações foram logo depois elaboradas por Grothendieck junto com Michael Artin , e publicadas como ( Artin 1962 ) e SGA 4 . Grothendieck usou étale cohomology para provar algumas das conjecturas de Weil ( Bernard Dwork já havia conseguido provar a parte da racionalidade das conjecturas em 1960 usando métodos p-ádicos ), e a conjectura restante, o análogo da hipótese de Riemann foi provada por Pierre Deligne (1974) usando cohomologia ℓ-adic.

O contato posterior com a teoria clássica foi encontrado na forma da versão Grothendieck do grupo Brauer ; isto foi aplicado rapidamente à geometria diofantina , por Yuri Manin . O fardo e o sucesso da teoria geral certamente consistiam em integrar todas essas informações e provar resultados gerais como a dualidade de Poincaré e o teorema de ponto fixo de Lefschetz neste contexto.

Grothendieck desenvolveu originalmente a cohomologia étale em um ambiente extremamente geral, trabalhando com conceitos como topos de Grothendieck e universos de Grothendieck . Em retrospecto, muito desse mecanismo se mostrou desnecessário para a maioria das aplicações práticas da teoria étale, e Deligne (1977) deu uma exposição simplificada da teoria étale cohomology. O uso de Grothendieck desses universos (cuja existência não pode ser provada na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) levou a algumas especulações de que a cohomologia étale e suas aplicações (como a prova do Último Teorema de Fermat ) requerem axiomas além de ZFC. No entanto, na prática étale cohomology é usado principalmente no caso de feixes construtíveis sobre esquemas de tipo finito sobre os inteiros, e isso não precisa de axiomas profundos da teoria dos conjuntos: com cuidado, os objetos necessários podem ser construídos sem o uso de quaisquer conjuntos incontáveis, e isso pode ser feito no ZFC e até mesmo em teorias muito mais fracas.

Étale cohomology rapidamente encontrou outras aplicações, por exemplo Deligne e George Lusztig usaram-no para construir representações de grupos finitos do tipo Lie ; veja a teoria de Deligne-Lusztig .

Motivação

Para variedades algébricas complexas, os invariantes da topologia algébrica, como o grupo fundamental e os grupos de cohomologia, são muito úteis, e gostaríamos de ter análogos desses para variedades sobre outros campos, como campos finitos. (Uma razão para isso é que Weil sugeriu que as conjecturas de Weil poderiam ser provadas usando tal teoria de cohomologia.) No caso da cohomologia de feixes coerentes , Serre mostrou que se poderia obter uma teoria satisfatória apenas usando a topologia de Zariski do algébrico variedade, e no caso de variedades complexas, isso dá os mesmos grupos de cohomologia (para feixes coerentes) que a topologia complexa muito mais fina. No entanto, para feixes constantes, como o feixe de inteiros, isso não funciona: os grupos de cohomologia definidos usando a topologia de Zariski estão mal comportados. Por exemplo, Weil imaginou uma teoria de cohomologia para variedades sobre campos finitos com poder semelhante à cohomologia singular usual de espaços topológicos, mas, na verdade, qualquer feixe constante em uma variedade irredutível tem cohomologia trivial (todos os grupos de cohomologia superiores desaparecem).

A razão pela qual a topologia Zariski não funciona bem é que ela é muito grosseira: ela tem poucos conjuntos abertos. Parece não haver uma boa maneira de corrigir isso usando uma topologia mais precisa em uma variedade algébrica geral. O insight principal de Grothendieck foi perceber que não há razão para que os conjuntos abertos mais gerais sejam subconjuntos da variedade algébrica: a definição de um feixe funciona perfeitamente para qualquer categoria, não apenas a categoria de subconjuntos abertos de um espaço. Ele definiu a cohomologia étale substituindo a categoria de subconjuntos abertos de um espaço pela categoria de mapeamentos étale para um espaço: grosso modo, eles podem ser pensados como subconjuntos abertos de coberturas finitas não ramificadas do espaço. Estes acabam (após muito trabalho) para fornecer apenas conjuntos abertos extras o suficiente para que se possa obter grupos de cohomologia razoáveis para alguns coeficientes constantes, em particular para coeficientes Z / n Z quando n é coprime da característica do campo em que se está trabalhando sobre.

Algumas intuições básicas da teoria são estas:

O requisito étale é a condição que permitiria aplicar o teorema da função implícita se ele fosse verdadeiro na geometria algébrica (mas não é - as funções algébricas implícitas são chamadas de algebroid na literatura mais antiga).
Existem certos casos básicos, de dimensão 0 e 1, e para uma variedade abeliana , onde as respostas com feixes constantes de coeficientes podem ser previstas (via cohomologia de Galois e módulos de Tate ).

Definições

Para qualquer esquema X a categoria Et ( X ) representa a categoria de todos os morphisms étalé a partir de um esquema de X . É um análogo da categoria de subconjuntos abertos de um espaço topológico, e seus objetos podem ser pensados informalmente como "subconjuntos abertos étalé" de X . A interseção de dois conjuntos abertos de um topológicas corresponde espaço para a retirada de dois étale mapeia para X . Há um problema teórico de conjunto bastante menor aqui, uma vez que Et ( X ) é uma categoria "grande": seus objetos não formam um conjunto.

Uma pré - capa em um espaço topológico X é um functor contravariante da categoria de subconjuntos abertos para conjuntos. Por analogia, definimos uma pré - capa étale em um esquema X como um functor contravariante de Et ( X ) para conjuntos.

Um pré-feixe F em um espaço topológico é chamado de feixe se satisfizer a condição do feixe: sempre que um subconjunto aberto é coberto por subconjuntos abertos U _i , e recebemos elementos de F ( U _i ) para todos os i cujas restrições a U _i ∩ U _j concorda para todos os i , j , então eles são imagens de um elemento único de F ( U ). Por analogia, uma pré-capa étale é chamada de feixe se satisfizer a mesma condição (com interseções de conjuntos abertos substituídos por retrocessos de morfismos étale, e onde um conjunto de mapas étale para U é dito cobrir U se o espaço topológico subjacente U for a união de suas imagens). De maneira mais geral, pode-se definir um feixe para qualquer topologia de Grothendieck em uma categoria de maneira semelhante.

A categoria de feixes de grupos abelianos sobre um esquema tem objetos injetivos suficientes, portanto, pode-se definir functores derivados à direita de functores exatos à esquerda. Os grupos de cohomologia étale H ⁱ ( F ) do feixe F de grupos abelianos são definidos como os functores derivados corretos do functor de seções,

{\ displaystyle F \ to \ Gamma (F)}

(onde o espaço das seções Γ ( F ) de F é F ( X )). As seções de um feixe podem ser consideradas Hom ( Z , F ), onde Z é o feixe que retorna os inteiros como um grupo abeliano . A ideia de functor derivado aqui é que o functor de seções não respeita sequências exatas, pois não é exatamente exato; de acordo com os princípios gerais da álgebra homológica , haverá uma sequência de functores H ⁰ , H ¹ , ... que representam as 'compensações' que devem ser feitas para restaurar alguma medida de exatidão (longas sequências exatas surgindo de curtas) . O functor H ⁰ coincide com o functor de seção Γ.

Mais geralmente, um morfismo de esquemas f : X → Y induz um mapa f _∗ de feixes étale sobre X para feixes étale sobre Y , e seus functores derivados à direita são denotados por R ^q f _∗ , para q um inteiro não negativo. No caso especial em que Y é o espectro de um campo algébricamente fechado (um ponto), R ^q f _∗ ( F ) é o mesmo que H ^q ( F ).

Suponha que X seja um esquema Noetheriano. Um étale abelian maço F sobre X é chamado finito localmente constante se ele é representado por uma cobertura étale de X . É chamado de construtível se X pode ser coberto por uma família finita de subesquemas em cada um dos quais a restrição de F é finita localmente constante. Ele é chamado de torção , se F ( U ) é um grupo de torção para todas as tampas étalé U de X . Feixes finitos localmente constantes são construtíveis, e feixes construtíveis são de torção. Cada feixe de torção é um limite indutivo filtrado de feixes construtíveis.

grupos de cohomologia ℓ-adic

Em aplicações à geometria algébrica sobre um corpo finito F _q com característica p , o objetivo principal era encontrar uma substituição para os grupos de cohomologia singulares com coeficientes inteiros (ou racionais), que não estão disponíveis da mesma forma que para a geometria de um algébrico variedade no campo de número complexo . Étale cohomology funciona bem para coeficientes Z / n Z para n co-prime para p , mas dá resultados insatisfatórios para coeficientes de não torção. Para obter grupos de cohomologia sem torção da cohomologia étale, é necessário tomar um limite inverso de grupos de cohomologia étale com certos coeficientes de torção; isso é chamado de cohomologia ℓ-ádica , onde ℓ representa qualquer número primo diferente de p . Considera-se, para os esquemas V , os grupos de cohomologia

{\ displaystyle H ^ {i} (V, \ mathbf {Z} / \ ell ^ {k} \ mathbf {Z})}

e define o grupo de cohomologia ℓ-adic

{\ displaystyle H ^ {i} (V, \ mathbf {Z} _ {\ ell}) = \ varprojlim H ^ {i} (V, \ mathbf {Z} / \ ell ^ {k} \ mathbf {Z} )}

como seu limite inverso . Aqui Z _ℓ indica os números inteiros l-adic , mas a definição é por meio do sistema de roldanas 'constante' com os coeficientes finitos Z / ℓ ^K Z . (Há uma armadilha notória aqui: a cohomologia não comuta com a tomada de limites inversos, e o grupo de cohomologia ℓ-adic, definido como um limite inverso, não é a cohomologia com coeficientes no feixe étale Z _ℓ ; o último grupo de cohomologia existe, mas fornece os grupos de cohomologia "errados".)

Mais geralmente, se F é um sistema inverso de feixes de étale F _i , então a cohomologia de F é definida como o limite inverso da cohomologia dos feixes F _i

{\ displaystyle H ^ {q} (X, F) = \ varprojlim H ^ {q} (X, F_ {i}),}

e embora haja um mapa natural

{\ displaystyle H ^ {q} (X, \ varprojlim F_ {i}) \ to \ varprojlim H ^ {q} (X, F_ {i}),}

isso geralmente não é um isomorfismo. Um feixe ℓ-adic é um tipo especial de sistema inverso de feixes de étale F _i , onde i passa por inteiros positivos, e F _i é um módulo sobre Z / ℓ ⁱ Z e o mapa de F _{i +1} a F _i é apenas redução da modificação Z / ℓ ⁱ Z .

Quando V é um não singular curva algébrica do género g , H ¹ é uma livre Z _ℓ -module do posto 2 g , dupla para o módulo de Tate da variedade Jacobiana de V . Como o primeiro número de Betti de uma superfície de Riemann do gênero g é 2 g , isso é isomórfico à cohomologia singular usual com coeficientes Z _ℓ para curvas algébricas complexas. Também mostra uma razão pela qual a condição ℓ ≠ p é necessária: quando ℓ = p a classificação do módulo Tate é no máximo g .

Subgrupos de torção podem ocorrer e foram aplicados por Michael Artin e David Mumford a questões geométricas. Para remover qualquer subgrupo de torção dos grupos de cohomologia ℓ-adic e obter grupos de cohomologia que são espaços vetoriais sobre campos de característica 0, define-se

{\ displaystyle H ^ {i} (V, \ mathbf {Q} _ {\ ell}) = H ^ {i} (V, \ mathbf {Z} _ {\ ell}) \ otimes \ mathbf {Q} _ {\ ell}.}

Esta notação é enganosa: o símbolo Q _ℓ à esquerda não representa um feixe étale nem um feixe ℓ-ádico. A cohomologia etale com coeficientes no feixe etale constante Q _ℓ também existe, mas é bastante diferente de . Confundir esses dois grupos é um erro comum. ${\ displaystyle H ^ {i} (V, \ mathbf {Z} _ {\ ell}) \ otimes \ mathbf {Q} _ {\ ell}}$

Propriedades

Em geral, os grupos de cohomologia ℓ-adic de uma variedade tendem a ter propriedades semelhantes aos grupos de cohomologia singulares de variedades complexas, exceto que eles são módulos sobre os inteiros ℓ-adic (ou números) em vez de inteiros (ou racionais). Eles satisfazem uma forma de dualidade de Poincaré em variedades projetivas não singulares, e os grupos de cohomologia ℓ-adic de um "mod p de redução" de uma variedade complexa tendem a ter a mesma classificação que os grupos de cohomologia singulares. Uma fórmula de Künneth também é válida.

Por exemplo, o primeiro grupo de cohomologia de uma curva elíptica complexa é um módulo livre de classificação 2 sobre os inteiros, enquanto o primeiro grupo de cohomologia ℓ-adic de uma curva elíptica sobre um corpo finito é um módulo livre de classificação 2 sobre o ℓ- inteiros adic, desde que ℓ não seja a característica do campo em questão, e seja dual para seu módulo Tate .

Há uma maneira pela qual os grupos de cohomologia ℓ-adic são melhores do que os grupos de cohomologia singulares: eles tendem a ser atuados por grupos de Galois . Por exemplo, se uma variedade complexa é definida sobre os números racionais, seus grupos de cohomologia ℓ-adic são influenciados pelo grupo absoluto de Galois dos números racionais: eles fornecem representações de Galois .

Os elementos do grupo de Galois dos racionais, além da identidade e da conjugação complexa , não costumam agir continuamente sobre uma variedade complexa definida sobre os racionais, portanto, não agem sobre os grupos singulares de cohomologia. Esse fenômeno das representações de Galois está relacionado ao fato de o grupo fundamental de um espaço topológico atuar sobre os grupos singulares da cohomologia, pois Grothendieck mostrou que o grupo de Galois pode ser considerado uma espécie de grupo fundamental. (Veja também a teoria de Galois de Grothendieck .)

Cálculo de grupos de cohomologia étale para curvas algébricas

O principal passo inicial no cálculo de grupos de cohomologia étale de uma variedade é calculá-los para curvas algébricas suaves conectadas completas X sobre campos algebricamente fechados k . Os grupos de cohomologia étale de variedades arbitrárias podem então ser controlados usando análogos da maquinaria usual da topologia algébrica, como a seqüência espectral de uma fibração. Para curvas, o cálculo leva várias etapas, como segue ( Artin 1962 ). Deixe G _m denotar o feixe de funções que não desaparecem.

Cálculo de H ¹ ( X , G _m )

A seqüência exata de feixes de étale

{\ displaystyle 1 \ to \ mathbf {G} _ {m} \ to j _ {*} \ mathbf {G} _ {m, K} \ to \ bigoplus _ {x \ in | X |} i_ {x *} \ mathbf {Z} \ para 1}

dá uma longa sequência exata de grupos de cohomologia

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & \ to H ^ {0} (\ mathbf {G} _ {m}) \ to H ^ {0} (j _ {*} \ mathbf {G} _ {m, K }) \ para \ bigoplus \ nolimits _ {x \ in | X |} H ^ {0} (i_ {x *} \ mathbf {Z}) \ para \\ & \ para H ^ {1} (\ mathbf { G} _ {m}) \ para H ^ {1} (j _ {*} \ mathbf {G} _ {m, K}) \ para \ bigoplus \ nolimits _ {x \ in | X |} H ^ {1 } (i_ {x *} \ mathbf {Z}) \ para \\ & \ para \ cdots \ end {alinhado}}}

Aqui j é a injeção do ponto genérico, i _x é a injeção de um ponto fechado x , G _{m , K} é o feixe G _m em Spec K (o ponto genérico de X ), e Z _x é uma cópia de Z para cada ponto fechado de X . Os grupos H ⁱ ( i _{x *} Z ) desaparecer se i > 0 (porque i _{x *} Z é um maço arranha-céus ) e para i = 0 são Z pelo que a sua soma é apenas o grupo divisor de X . Além disso, o primeiro grupo de cohomologia H ¹ ( X , j _∗G _{m , K} ) é isomórfico ao grupo de cohomologia de Galois H ¹ ( K , K *) que desaparece pelo teorema de Hilbert 90 . Portanto, a longa seqüência exata de grupos de cohomologia étale dá uma seqüência exata

{\ displaystyle K \ to \ mathrm {Div} (X) \ to H ^ {1} (\ mathbf {G} _ {m}) \ to 1}

onde Div ( X ) é o grupo de divisores de X e K é seu campo de função. Em particular H ¹ ( X , G _m ) é o grupo Picard Pic ( X ) (e os primeiros grupos de cohomologia de G _m são os mesmos para as topologias étale e Zariski). Esta etapa funciona para variedades X de qualquer dimensão (com pontos substituídos por subvariedades de codimensão 1), não apenas curvas.

Cálculo de H ⁱ ( X , G _m )

A mesma longa sequência exata acima mostra que se i ≥ 2 então o grupo de cohomologia H ⁱ ( X , G _m ) é isomórfico a H ⁱ ( X , j _*G _{m , K} ), que é isomórfico ao grupo de cohomologia de Galois H ⁱ ( K , K *). O teorema de Tsen implica que o grupo de Brauer de um campo de função K em uma variável sobre um campo algebraicamente fechado desaparece. Isso, por sua vez, implica que todos os grupos de cohomologia de Galois H ⁱ ( K , K *) desaparecem para i ≥ 1, então todos os grupos de cohomologia H ⁱ ( X , G _m ) desaparecem se i ≥ 2.

Cálculo de H ⁱ ( X , μ _n )

Se μ _n for o feixe de n- ésimas raízes da unidade en e a característica do campo k forem inteiros coprimos, então:

{\ displaystyle H ^ {i} (X, \ mu _ {n}) = {\ begin {cases} \ mu _ {n} (k) & i = 0 \\\ mathrm {Pic} _ {n} (X ) & i = 1 \\\ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z} & i = 2 \\ 0 & i \ geqslant 3 \ end {casos}}}

onde Pic _n ( X ) é o grupo de n pontos de torção de Pic ( X ). Isso segue dos resultados anteriores usando a longa sequência exata

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} 0 & \ a H ^ {0} (X, \ mu _ {n}) \ a H ^ {0} (X, \ mathbf {G} _ {m}) \ a H ^ {0} (X, \ mathbf {G} _ {m}) \ para \\ & \ para H ^ {1} (X, \ mu _ {n}) \ para H ^ {1} (X, \ mathbf {G} _ {m}) \ para H ^ {1} (X, \ mathbf {G} _ {m}) \ para \\ & \ para H ^ {2} (X, \ mu _ {n} ) \ para H ^ {2} (X, \ mathbf {G} _ {m}) \ para H ^ {2} (X, \ mathbf {G} _ {m}) \ para \\ & \ para \ cdots \ end {alinhado}}}

da seqüência exata de Kummer de feixes de étale

{\ displaystyle 1 \ a \ mu _ {n} \ a \ mathbf {G} _ {m} {\ xrightarrow {(\ cdot) ^ {n}}} \ mathbf {G} _ {m} \ a 1. }

e inserindo os valores conhecidos

{\ displaystyle H ^ {i} (X, \ mathbf {G} _ {m}) = {\ begin {cases} k ^ {*} & i = 0 \\\ mathrm {Pic} (X) & i = 1 \ \ 0 & i \ geqslant 2 \ end {casos}}}

Em particular, obtemos uma sequência exata

{\ displaystyle 1 \ a H ^ {1} (X, \ mu _ {n}) \ a \ mathrm {Pic} (X) {\ xrightarrow {\ times n}} \ mathrm {Pic} (X) \ a H ^ {2} (X, \ mu _ {n}) \ a 1.}

Se n é divisível por p, este argumento é interrompido porque p -ésimas raízes da unidade se comportam estranhamente sobre campos da característica p . No Zariski topologia da sequência Kummer não é exata à direita, como um não-desaparecendo função não costumam ter um n raiz -ésimo localmente para a topologia de Zariski, então este é um lugar onde o uso da topologia étale ao invés do A topologia Zariski é essencial.

Cálculo de H ⁱ ( X , Z / n Z)

Fixando uma n- ésima raiz primitiva da unidade, podemos identificar o grupo Z / n Z com o grupo μ _n de n- ésimas raízes da unidade. O grupo étale H ⁱ ( X , Z / n Z ) é então um módulo livre sobre o anel Z / n Z e sua classificação é dada por:

{\ displaystyle {\ text {rank}} (H ^ {i} (X, \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z})) = {\ begin {cases} 1 & i = 0 \\ 2g & i = 1 \\ 1 & i = 2 \\ 0 & i \ geqslant 3 \ end {casos}}}

em que g é o género da curva X . Isso segue do resultado anterior, usando o fato de que o grupo de Picard de uma curva são os pontos de sua variedade Jacobiana , uma variedade abeliana de dimensão ge , se n for coprime da característica, então os pontos de ordem dividindo n em um abeliano variedade de dimensão g sobre um campo algebraicamente fechado forma um grupo isomórfico a ( Z / n Z ) ^{2 g} . Esses valores para o grupo étale H ⁱ ( X , Z / n Z ) são os mesmos que os grupos de cohomologia singulares correspondentes quando X é uma curva complexa.

Cálculo de H ⁱ ( X , Z / p Z)

É possível calcular grupos de cohomologia étale com coeficientes de ordem constantes divisíveis pela característica de forma semelhante, usando a sequência de Artin-Schreier.

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \ to K \ {\ xrightarrow {{} \ atop x \ mapsto x ^ {p} -x}} \ K \ to 0}

em vez da sequência de Kummer. (Para coeficientes em Z / p ⁿ Z, há uma sequência semelhante envolvendo vetores de Witt .) Os grupos de cohomologia resultantes geralmente têm classificações menores do que os grupos correspondentes na característica 0.

Exemplos de grupos de cohomologia étale

Se X é o espectro de um campo K com o grupo Galois absoluto G , então os feixes étale sobre X correspondem a conjuntos contínuos (ou grupos abelianos) atuados pelo grupo (profinito) G , e a cohomologia étale do feixe é a mesma que o cohomología grupo de G , isto é, a co-homologia de Galois de K .
Se X for uma variedade complexa, então étale cohomology com coeficientes finitos é isomorphic to singular cohomology com coeficientes finitos. (Isso não vale para coeficientes inteiros.) Mais geralmente, a cohomologia com coeficientes em qualquer feixe construtível é a mesma.
Se F for um feixe coerente (ou G _m ), então a cohomologia de feixe de F é a mesma que a cohomologia de feixe coerente de Serre calculada com a topologia de Zariski (e se X for uma variedade complexa, é o mesmo que a cohomologia de feixe calculada com o usual topologia complexa).
Para variedades e curvas abelianas, há uma descrição elementar da cohomologia ℓ-ádica. Para variedades abelianas, o primeiro grupo de cohomologia ℓ-adic é o dual do módulo de Tate , e os grupos de cohomologia superiores são dados por seus poderes externos. Para curvas, o primeiro grupo de cohomologia é o primeiro grupo de cohomologia de seu Jacobiano. Isso explica por que Weil foi capaz de dar uma prova mais elementar das conjecturas de Weil nesses dois casos: em geral, espera-se encontrar uma prova elementar sempre que houver uma descrição elementar da cohomologia ℓ-adic.

Dualidade e cohomologia de Poincaré com suporte compacto

Os grupos de cohomologia étale com suporte compacto de uma variedade X são definidos como

{\ displaystyle H_ {c} ^ {q} (X, F) = H ^ {q} (Y, j _ {!} F)}

onde j é uma imersão aberta de X em uma variedade apropriada Y e j _!é a extensão por 0 da étale feixe F para Y . Isso é independente da imersão j . Se X tem dimensão no máximo n e F é um feixe de torção, então esses grupos de cohomologia com suporte compacto desaparecem se q > 2 n , e se, além disso, X é afim de tipo finito em um campo fechado separavelmente, os grupos de cohomologia desaparecem para q > n (para a última declaração, consulte SGA 4, XIV, Cor.3.2). ${\ displaystyle H_ {c} ^ {q} (X, F)}$ ${\ displaystyle H ^ {q} (X, F)}$

Mais geralmente, se f é um morfismo separado de tipo finito de X para S (com X e S Noetheriano), então as imagens diretas mais altas com suporte compacto R ^q f _!são definidos por

{\ displaystyle R ^ {q} f _ {!} (F) = R ^ {q} g _ {*} (j _ {!} F)}

para qualquer torção feixe F . Aqui j é qualquer imersão aberto de X para um esquema de Y com uma morfismo adequada g de S (com f = GJ ), e como anteriormente a definição não dependem da escolha de J e Y . Cohomologia com suporte compacto é o caso especial deste com ponto S a. Se f é um morfismo separado de tipo finito então R ^q f _!leva roldanas constructible em X para roldanas constructible em S . Se além disso as fibras de f têm dimensão no máximo n então R ^q f _!desaparece nas polias de torção para q > 2n . Se X for uma variedade complexa, então R ^q f _!é o mesmo que a imagem direta superior usual com suporte compacto (para a topologia complexa) para polias de torção.

Se X é uma variedade algébrica suave de dimensão N e n é coprime da característica, então há um mapa de rastreamento

{\ displaystyle \ mathrm {Tr}: H_ {c} ^ {2N} (X, \ mu _ {n} ^ {N}) \ rightarrow \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}}

e a forma bilinear Tr ( a ∪ b ) com valores em Z / n Z identifica cada um dos grupos

{\ displaystyle H_ {c} ^ {i} (X, \ mu _ {n} ^ {N})}

e

{\ displaystyle H ^ {2N-i} (X, \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z})}

com o dual do outro. Este é o análogo da dualidade de Poincaré para a cohomologia de étale.

Uma aplicação para curvas

É assim que a teoria poderia ser aplicada à função zeta local de uma curva algébrica .

Teorema. Seja $X$ uma curva do gênero $g$ definida sobre $F p$ , o corpo finito com $p$ elementos. Então, para $n \geq 1$

{\ displaystyle \ #X \ left (\ mathbf {F} _ {p ^ {n}} \ right) = p ^ {n} + 1- \ sum _ {i = 1} ^ {2g} \ alpha _ { i} ^ {n},}

onde $α i$ são certos números algébricos que satisfazem $| α i | = \sqrt p$ .

Isso concorda com $P 1 (F p n)$ sendo uma curva de gênero0 com $p n + 1$ pontos. Também mostra que o número de pontos em qualquer curva é bastante próximo (dentro de $2 gp n / 2$ ) ao da linha projetiva; em particular, ele generaliza o teorema de Hasse sobre curvas elípticas .

Ideia de prova

De acordo com o teorema do ponto fixo de Lefschetz , o número de pontos fixos de qualquer morfismo $f : X \to X$ é igual à soma

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {2 \ dim (X)} (- 1) ^ {i} \ mathrm {Tr} \ left (f | _ {H ^ {i} (X)} \ direito).}

Esta fórmula é válida para variedades topológicas comuns e topologia comum, mas é errada para a maioria das topologias algébricas . No entanto, essa fórmula é válida para a cohomologia étale (embora isso não seja tão simples de provar).

Os pontos de $X$ que são definidos sobre $F p n$ são aqueles fixados por $F n$ , onde $F$ é o automorfismo de Frobenius na característica $p$ .

Os números de Betti da cohomologia étale de $X$ nas dimensões 0, 1, 2 são 1, 2 ge 1, respectivamente.

De acordo com tudo isso,

{\ displaystyle \ #X \ left (\ mathbf {F} _ {p ^ {n}} \ right) = \ mathrm {Tr} \ left (F ^ {n} | _ {H ^ {0} (X) } \ right) - \ mathrm {Tr} \ left (F ^ {n} | _ {H ^ {1} (X)} \ right) + \ mathrm {Tr} \ left (F ^ {n} | _ { H ^ {2} (X)} \ direita).}

Isso dá a forma geral do teorema.

A afirmação sobre os valores absolutos de $α i$ é a hipótese de Riemann unidimensional das conjecturas de Weil.

A ideia toda se encaixa na estrutura de motivos : formalmente [ X ] = [ponto] + [linha] + [1 parte] e [1 parte] tem algo como $\sqrt p$ pontos.

Veja também

Referências

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Artin, Michael (1972), Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 , Lecture Notes in Mathematics (em francês), 269 , Berlim; Nova York: Springer-Verlag , xix, 525
Artin, Michael (1972), Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 2 , Lecture Notes in Mathematics (em francês), 270 , Berlin; Nova York: Springer-Verlag , pp. Iv, 418
Artin, Michael (1972), Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 , Lecture Notes in Mathematics (em francês), 305 , Berlim; Nova York: Springer-Verlag , pp. Vi, 640
Danilov, VI (2001) [1994], "Étale cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
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links externos

Archibald e Savitt Étale cohomology
Programa Goresky Langlands para físicos
Milne, James S. (1998), Lectures on Étale Cohomology
Dolgachev, IV (2001) [1994], "L-adic-cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

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