Arc (geometria) - Arc (geometry)


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Um sector circular é sombreada em verde. Sua fronteira curva de comprimento L é um arco circular.

Na geometria euclidiana , um arco (símbolo: ) é um fechada segmento de um diferenciável curva . Um exemplo comum no plano (um colector bidimensional ), é um segmento de um círculo chamado um arco circular . No espaço, se o arco é parte de um grande círculo (ou grande elipse ), ele é chamado um grande arco .

Cada par de pontos distintos sobre um círculo determina dois arcos. Se os dois pontos não estão directamente opostas uma à outra, um destes arcos, o arco menor , irá subtender um ângulo ao centro do círculo que é menos do que ¸ radianos (180 graus), e o outro arco, o arco principal , irá subtender um ângulo maior do que ¸ radianos.

arcos circulares

Comprimento de um arco de um círculo

O comprimento (mais precisamente, o comprimento do arco ), L , de um arco de um círculo com um raio r e subtende um ângulo θ (medido em radianos) com o centro do círculo - isto é, o ângulo central - é igual a θr . Isto é porque

Substituindo na circunferência

e, com α sendo o mesmo ângulo medido em graus, desde θ  =  α / 180 π , o comprimento do arco é igual

Um modo prático para determinar o comprimento de um arco de um círculo é traçar duas linhas de pontos de extremidade do arco para o centro do círculo, medir o ângulo em que as duas linhas se encontram no centro, em seguida, resolva L por cross-multiplicando a instrução :

medida de ângulo em graus / 360 ° = L / circunferência.

Por exemplo, se a medida do ângulo é de 60 graus e o perímetro é de 24 polegadas, então

Isto é assim porque a circunferência de um círculo e os graus de um círculo, do qual não são sempre 360, são directamente proporcionais.

área setor Arc

A área do sector formado por um arco e o centro de um círculo (delimitada pelo arco e os dois raios desenhados com os terminais) é

A área A tem a mesma proporção para a área de círculo como o ângulo θ de um círculo completo:

Podemos cancelar π em ambos os lados:

Multiplicando ambos os lados por r 2 , obtemos o resultado final:

Usando a conversão descrita acima, descobrimos que a área do sector para um ângulo central é medido em graus

área de segmento de arco

A área da forma delimitada pelo arco e a linha recta entre os dois pontos finais é

Para obter a área do segmento de arco , é preciso subtrair a área do triângulo, determinado pelo centro do círculo e os dois pontos finais do arco, a partir da área . Veja segmento Circular para mais detalhes.

raio do arco

O produto da segmentos de linha PA e PB é igual ao produto do segmentos de linha CP e PD. Se o arco tem uma, em seguida, o diâmetro do círculo AB e altura largura CP

Utilizando o teorema cordas de intersecção (também conhecido como potência de um ponto ou teorema tangente secante) é possível calcular o raio R de um círculo tendo em conta a altura H e a largura W de um arco:

Considere o acorde com os mesmos parâmetros como o arco. A sua mediatriz é outra corda, que é um diâmetro do círculo. O comprimento da primeira corda é W , e divide-se pela bissectriz em duas metades iguais, cada uma com comprimento W / 2 . O comprimento total do diâmetro é 2 r , e isto é dividido em duas partes pelo primeiro acorde. O comprimento de um lado é o sagitta do arco, H , e a outra parte é o restante do diâmetro, com o comprimento de 2 r  -  H . Aplicando o teorema acordes interseção desses dois acordes produz

de onde

assim

arcos parabólicos

Veja também

Referências

links externos

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  • Math Abra a página de Referência em Radius de um arco circular ou segmento Com animação interativa
  • Weisstein, Eric W. "Arc" . MathWorld .